2016年泰州市姜堰区高一数学下期中试卷（有答案和解释）

1 / 21 2016年泰州市姜堰区高一数学下期中试卷（有答案和解释） 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 XX-2016 学年江苏省泰州市姜堰区高一（下）期中数学试卷 一、填空题（本大题共 17小题，每小题 5 分，满分 70分） 1 sin135= 2已知 ABc 为直角三角形， c=90 ， B=30 ， AB=2，则 Ac= 3直线 y=2x+1的斜率为 4圆（ x 1） 2+y2=9的半径为 5等差数列 an， a1=1， a2=2，则 a3= 6函数 f（ x） =sin2x+sinxcosx 的周期为 7在 ABc 中，内角 A， B， c 所对的边分别是 a， b， c，已知 b c=a， 2sinB=3sinc，则 cosA 的值为 8已知过点 A（ 2， m）和点 B（ m， 4）的直线 l1，直线2x+y 1=0 为 l2，直线 x+ny+1=0为 l3，若 l1l2 ， l2l3 ，则 m+n= 9若直线 3x 4y+5=0 与圆 x2+y2=r2（ r 0）相交于 A， B两点，且 AoB=120 ，（ o 为坐标 原点），则 r= 10（ B）已知等比数列 an，首项为 3，公比为，前 n 项之2 / 21 积最大，则 n= 11已知 cos（ ） =， sin（ ） =，且 0 ，则 sin= 12在 ABc 中，已知 Ac=2， Bc=3， cosA=，则 sin（ 2B+）= 13设两条直线的方程分别为 x+y+a=0， x+y+b=0，已知 a，b 是方程 x2+x+c=0 的两个实根，且 0c ，则这两条直线之间的距离的取值范围是 14设点 m（ x0， 1），已 知圆心 c（ 2， 0），半径为 1 的圆上存在点 N，使得 cmN=45 ，则 x0的最大值为 15已知各项均为正数的数列 an的首项 a1=1， Sn 是数列an 的前 n 项和，且满足： anSn+1 an+1Sn+an an+1=anan+1，则 S12= 16在 ABc 中， 3sinA+4cosB=6， 3cosA+4sinB=1，则 c的大小为 17在 ABc 中， Ac=3， A= ，点 D 满足 =2，且 AD=，则 Bc的长为 二、解答题 18（ 1）已知 sin= ， （， ），求 sin2 ； （ 2）已知 tan= ，求 tan2 的值 19在 ABc 中， 3 / 21 （ 1）已知 a=2bsinA，求 B； （ 2）已知 a2+b2+ab=c2，求 c 20（ 1）求过点 A（ 2， 3），且垂直于直线 3x+2y 1=0的直线方程； （ 2）已知直线 l 过原点，且点 m（ 5， 0）到直线 l 的距离为 3，求直线 l 的方程 21过点 P（ 3， 4）作直线 l，当 l 的斜率为何值时 （ 1） l 将圆（ x 1） 2+（ y+2） 2=4 平分？ （ 2） l 与圆（ x 1） 2+（ y+2） 2=4 相切？ （ 3） l 与圆（ x 1） 2+（ y+2） 2=4 相交且所截得弦长 =2？ 22已知等差数列 an满足 a2=0， a6+a8= 10 （ 1）求数列 an的通项公式； （ 2）求数列 an的前 n 项和 Sn； （ 3）求数列 的前 n 项和 Tn 23在 ABc 中，角 A、 B、 c 的对边分别为 a、 b、 c，且 （ 1）求的值； （ 2）若，求 tanA及 tanc的值 24如图， ABc为一直角三角形草坪，其中 c=90 ， Bc=2米， AB=4米，为了重建草坪，设计师准备了两套方案： 方案一：扩大为一个直 角三角形，其中斜边 DE 过点 B，且与 Ac平行， DF 过点 A， EF过点 c； 4 / 21 方案二：扩大为一个等边三角形，其中 DE 过点 B， DF 过点A， EF过点 c （ 1）求方案一中三角形 DEF面积 S1的最小值； （ 2）求方案二中三角形 DEF面积 S2的最大值 XX-2016学年江苏省泰州市姜堰区高一（下）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、填空题（本大题共 17小题，每小题 5 分，满分 70分） 1 sin135= 【考点】运用诱导公式化简求值 【分析】运用特殊角的三角函数值，和诱 导公式即可化简求值 【解答】解： sin135=sin=sin45 故答案为： 2已知 ABc 为直角三角形， c=90 ， B=30 ， AB=2，则 Ac= 1 【考点】正弦定理 【分析】根据含有 30 的直角三角形的性质得出 5 / 21 【解答】解： c=90 ， B=30 ， AB=2， Ac= 故选 1 3直线 y=2x+1的斜率为 2 【考点】直线的斜率 【分析】根据斜截式直线方程 y=kx+b 的斜率为 k，写出斜率即可 【解答】解：直线 y=2x+1的斜率 为 2 故答案为： 2 4圆（ x 1） 2+y2=9的半径为 3 【考点】圆的标准方程 【分析】直接由圆的标准方程求得圆的半径 【解答】解：由圆（ x 1） 2+y2=9，得 r2=9， r=3 即圆（ x 1） 2+y2=9的半径为 3 故答案为： 3 5等差数列 an， a1=1， a2=2，则 a3= 3 【考点】等差数列的通项公式 【分析】由等差数列 an的性质可得： 2a2=a1+a3即可得6 / 21 出 【解答】解：由等差数列 an的性质可得： 2a2=a1+a3 22=1+a3 ， 解得 a3=3 故答案为： 3 6函数 f（ x） =sin2x+sinxcosx 的周期为 【考点】三角函数的周期性及其求法 【分析】利用三角函数的降幂公式与辅助角公式可将 f（ x）=sin2x+sinxcosx+2 化为： f（ x） =sin（ 2x） +，利用周期公式即可求得其周期 【解答】解： f （ x） =sin2x+sinxcosx =+sin2x =（ sin2x cos2x） + =sin（ 2x） +， 其最小正周期 T= 故答案为： 7在 ABc 中，内角 A， B， c 所对的边分别是 a， b， c，已知 b c=a， 2sinB=3sinc，则 cosA 的值为 【考点】余弦定理；正弦定理 【分析】由条件利用正弦定理求得 a=2c， b=，再由余弦定7 / 21 理求得 cosA=的值 【解答】解：在 ABc 中， b c=a ， 2sinB=3sinc， 2b=3c ， 由 可得 a=2c， b= 再由余弦定理可得 cosA=， 故答案为： 8已知过点 A（ 2， m）和点 B（ m， 4）的直线 l1，直线2x+y 1=0 为 l2，直线 x+ny+1=0为 l3，若 l1l2 ， l2l3 ，则 m+n= 10 【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的一般式方程与直线的平行关系 【分析】由条件根据两直线平行，斜率相等；两直线垂直，斜率之积等于 1，分别求得 m、 n 的值，可得 m+n的值 【解答】解：由题意可得，直线为 l1的斜率为，直线 l2的斜率为 2，且 l1l2 ， = 2，求得 m= 8 由于直线 l3的斜率为， l2l3 ， 2 （） = 1，求得 n= 2， m+n= 10， 故答案为： 10 8 / 21 9若直线 3x 4y+5=0 与圆 x2+y2=r2（ r 0）相交于 A， B两点，且 AoB=120 ，（ o 为坐标原点），则 r= 2 【考点】直线与圆相交的性质 【分析】若直线 3x 4y+5=0 与圆 x2+y2=r2（ r 0）交于 A、B 两点， AoB=120 ，则 AoB 为顶角为 120 的等腰三角形，顶点（圆心）到直线 3x 4y+5=0的距离 d=r，代入点到直线距离公式，可构造关于 r 的方程，解方程可得答案 【解答】解：若直线 3x 4y+5=0与圆 x2+y2=r2（ r 0）交于 A、 B 两点， o 为坐标原点 ， 且 AoB=120 ， 则圆心（ 0， 0）到直线 3x 4y+5=0的距离 d=rcos=r， 即 =r， 解得 r=2， 故答案为： 2 10（ B）已知等比数列 an，首项为 3，公比为，前 n 项之积最大，则 n= 3 【考点】等比数列的前 n 项和 【分析】 an=3 ，可得前 n 项之积 Tn=，对 n 分类讨论，底数与 1 比较大小关系即可得出 【解答】解： an=3 ， 9 / 21 前 n 项之积 Tn=3n= ， 由于 n3 时， 1 ；由于 n4 时， 1 n=3 时，前 n 项之积最大， 故答案为： 3 11已知 cos（ ） =， sin（ ） =，且 0 ，则 sin= 【考点】三角函数的化简求值 【分析】利用同角三角函数的基本关系求得 sin（ ）和cos（ ）的值，再利用两角差的正弦公式求得 sin的值 【解答】解： cos （ ） =， sin（ ） =，且 0 ， （， ）， sin（ ） =； （ 0，）， cos（ ） = 则 sin=sin（ ）（ ） =sin（ ） cos（ ） cos（ ） sin（ ） =+= 12在 ABc 中，已知 Ac=2， Bc=3， cosA=，则 sin（ 2B+）= 【考点】三角函数的化简求值 【分析】由条件利用同角三角的基本关系求得 sinA 的值，10 / 21 利用正弦定理求得 sinB的值，可得 cosB的值，利用二倍角公式求得 sin2B、 cos2B 的值，再利用两角和的正弦公式，求得要求式子的值 【解答】解： ABc 中， 已知 Ac=2， Bc=3， cosA= （， ）， B （ 0，）， sinA= ，则由正弦定理可得 =， sinB= ， cosB=， sin2B=2sinBcosB= ， cos2B=1 2sin2B=， sin（ 2B+） =sin2Bcos+cos2Bsin=+=， 故答案为： 13设两条直线的方程分别为 x+y+a=0， x+y+b=0，已知 a，b 是方程 x2+x+c=0 的两个实根，且 0c ，则这两条直线之间的距离的取值范围是 ， 【考点】两条平行直线间的距离 【分析】由题意和韦达定理可得 a+b= 1， ab=c，可得两平行线间的距离 d满足 d2=，由 0c 和不等式的性质可得 【解答】解： a ， b 是方程 x2+x+c=0的两个实根， 由韦达定理可得 a+b= 1， ab=c， 两平行线间的距离 d=， 故 d2=， 0c ， 04c ， 4c0 ， 11 / 21 1 4c1 ， ， d2 ， d 故答案为： ， 14设点 m（ x0， 1），已知圆心 c（ 2， 0），半径为 1 的圆上存在点 N，使得 cmN=45 ，则 x0的最大值为 3 【考点】直线与圆的位置关系 【分析】作出对应的同学根据条件 cmN=45 ，则必有cmNcmT ，所以只需 cmT45 即可，借助于三角函数容易求出 x0的范围 【解答】解：易知 m（ x0， 1）在直线 y=1上， 设圆 c 的方程为（ x 2） 2+y2=1与直线 y=1的交点为 T， 假设存在点 N，使得 cmN=45 ，则必有 cmNcmT ， 所以要是圆上存在点 N，使得 cmN=45 ，只需 cmT45 ， 因为 T（ 2， 1）， 所以只需在 RtcmT 中， tancmT=tan45=1 ， 即 |x0 2|1 ， 则 1x0 21 ， 即 1x03 故 x01 ， 3 则 x0的最 大值为 3， 故答案为： 3 12 / 21 15已知各项均为正数的数列 an的首项 a1=1， Sn 是数列an 的前 n 项和，且满足： anSn+1 an+1Sn+an an+1=anan+1，则 S12= 3 【考点】等比数列的前 n 项和；等比数列的通项公式 【分析】根据题意，利用等比数列的前 n 项和公式求出通项公式 an，进一步求出数列对应的前 n 项和公式，再计算 S12的值 【解答】解： anSn+1 an+1Sn+an an+1=anan+1，且Sn+1=Sn+an+1， （ an an+1） Sn+anan+1+an an+1=0， Sn+1=0 ； 又 a1=1 ，令 n=1，则 1+1=0，解得 a2=， 同理可得 a3=， 猜想 an=； 下面利用数学归纳法证明： 当 n=1时， a1=1，成立； 假设当 nk （ kN* ）时成立， ak=，则 Sk=； Sk+1=0 ， +1=0 ， 解得 ak+1=； 13 / 21 因此当 n=k+1时也成立， 综上，对于 nN* ， an=都成立； 由等差数列的前 n 项和公式得， Sn=； S12=3 16在 ABc 中， 3sinA+4cosB=6， 3cosA+4sinB=1，则 c的大小为 【考点】余弦定理 【分析】已知两等式两边分别平方，相加后利用同角三角函数间的基本关系化简，求出 sinc 的值，即可确定出 c 的度数 【解答】解：由 3sinA+4cosB=6 ， 3cosA+4sinB=1 ， 2+2 得：（ 3sinA+4cosB） 2+（ 3cosA+4sinB） 2=37， 化简得： 9+16+24（ sinAcosB+cosAsinB） =37， 即 sin（ A+B） =sin（ c） =sinc=，又 c （ 0， ）， c 的大 小为或， 若 c= ，得到 A+B=，则 cosA，所以 3cosA 1， 3cosA+4sinB 1 与 3cosA+4sinB=1 矛盾，所以 c ， 满足题意的 c 的值为 则 c 的大小为 故答案为： 14 / 21 17在 ABc 中， Ac=3， A= ，点 D 满足 =2，且 AD=，则 Bc的长为 3 【考点】三角形中的几何计算 【分析】由已知，结合向量的基本运算可求得 =，然后结合已知及向量数量积的定义及性质可求 AB，最后利用余弦定理可求 Bc 【解答】解： =2 = AD=|= ， Ac=|=3， A=，设 AB=c =|cosA= 则 13= 13=1 整理可得， 2c2 54=0 c 0 解可得， c=3 由余弦定理可得， a2=c2+b2 2bccosA = 二、解答题 18（ 1）已知 sin= ， （， ），求 sin2 ； （ 2）已知 tan= ，求 tan2 的值 15 / 21 【考点】二倍角的正切；二倍角的正弦 【分析】（ 1）由条件利用同角三角函数的基本关系求得 cos的值，再利用二倍角公式，求得 sin2 的值 （ 2）由条件利用 二倍角的正切公式求得 tan2 的值 【解答】解：（ 1） 已知 sin= ， （， ）， cos= =， sin2=2sincos= （ 2） 已知 tan= ， tan2= 19在 ABc 中， （ 1）已知 a=2bsinA，求 B； （ 2）已知 a2+b2+ab=c2，求 c 【考点】余弦定理；正弦定理 【分析】（ 1）由正弦定理可得： sinA=2sinBsinA， sinA0 ，化为 sinB=，即可得出； （ 2）利用余弦定理即可得出 【解答】解：（ 1） a=2b sinA，由正弦定理可得：sinA=2sinBsinA， sinA0 ，化为 sinB=， B （ 0， ）， B=或 （ 2） a2+b2+ab=c2 ， cosc= ，又 c （ 0， ）， c= 16 / 21 20（ 1）求过点 A（ 2， 3），且垂直于直线 3x+2y 1=0的直线方程； （ 2）已知直线 l 过原点，且点 m（ 5， 0）到直线 l 的距离为 3，求直线 l 的方程 【考点】待定系数法求直线方程 【分析】（ 1）由已知方程和垂直关系可得所求直线的斜率，写出点斜式方程，化为一般式即可； （ 2）可设直线 l 的方程 为 kx y=0，由点到直线的距离公式可得 k 的方程，解方程可得 【解答】解：（ 1） 直线 3x+2y 1=0的斜率为， 由垂直关系可得所求直线的斜率 k=， 又直线过点 A（ 2， 3）， 方程为 y 3=（ x 2） 化为一般式可得 2x 3y+5=0； （ 2） 直线 l 过原点，且点 m（ 5， 0）到直线 l 的距离为 3， 可设直线 l 的方程为 y=kx，即 kx y=0， 由点到直线的距离公式可得 =3，解得 k= 直线 l 的方程为 y=x ，即 3x4y=0 21过点 P（ 3， 4）作直线 l，当 l 的斜率为 何值时 （ 1） l 将圆（ x 1） 2+（ y+2） 2=4 平分？ （ 2） l 与圆（ x 1） 2+（ y+2） 2=4 相切？ （ 3） l 与圆（ x 1） 2+（ y+2） 2=4 相交且所截得弦长 =2？ 17 / 21 【考点】直线的点斜式方程 【分析】（ 1）当 l 经过圆心 Q（ 1， 2）时，可将圆（ x 1）2+（ y+2） 2=4 平分，利用点斜式即可得出 （ 2）设直线 l 的方程为： y+4=k（ x+3），化为 kx y+3k4=0，根据直线 l 与圆相切，可得圆心 Q（ 1， 2）到直线 l的距离 d=2，解出即可 （ 3）由于 l 与圆（ x 1） 2+（ y+2） 2=4相交且所截得弦长=2，可得直线 l 的距离 d=，解出 k 即可 【解答】解：（ 1）当 l 经过圆心 Q（ 1， 2）时，可将圆（ x 1） 2+（ y+2） 2=4 平分， 直线 l 的方程为： y+2=（ x 1），化为 x 2y 5=0 （ 2）设直线 l 的方程为： y+4=k（ x+3），化为 kx y+3k4=0， 直线 l 与圆相切， 圆心 Q（ 1， 2）到直线 l 的距离 d=2，化为： 3k2 4k=0， 解得 k=0或 当 k=0或时，直线 l 与圆相切 （ 3） l 与圆（ x 1） 2+（ y+2） 2=4相交且所截得弦长 =2， 直线 l 的距离 d=，化为 13k2 16k+1=0， 解得 k= 当 k=时，满足条件 22已知等差数列 an满足 a2=0， a6+a8= 10 18 / 21 （ 1）求数列 an的通项公式； （ 2）求数列 an的前 n 项和 Sn； （ 3）求数列 的前 n 项和 Tn 【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；等差数列的前n 项和 【分析】（ 1）设出等差数列的首项和公差，由已知列式求出首项和公差，则等差数列的通项公式可求； （ 2）直接利用等差数列的前 n 项和公式求解； （ 3）把数列 an的通项公式代入，利用错位相减法求前 n项和 Tn 【解答】解：（ 1）设等差数列 an的首项为 a1，公差为 d， 由 a2=0， a6+a8= 10，得，解得 an=1 （ n 1） =2 n； （ 2） =； （ 3） =， ， ， 两式作差得： = 23在 ABc 中，角 A、 B、 c 的对边分别为 a、 b、 c，且 （ 1）求的值； 19 / 21 （ 2）若，求 tanA及 tanc的值 【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数；两角和与差的正切函数 【分析】（ 1）利用二倍角的余弦函数公式化简 cos2c，变形后求出 sin2c的值，由 c 为三角形的内角，得到 sinc大于 0，开方可得出 sinc 的值，利用正弦定理化简得到的关系式，得到 2sinB=sinAsinc，再由三角形的内角和定理及诱导公式得到 sinB=sin（ A+c），代入关系式中，利用两角和与差的正弦函数公式化简，根据 sinAsinc 不为 0，等式左右两边同时除以 cosAcosc，利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，即可得到所求式子的值； （ 2）由第一问求出的式子表示出 tanA，然后