2016年泰州市沿江区域中考数学二模试卷（附答案和解释）

1 / 36 2016年泰州市沿江区域中考数学二模试卷（附答案和解释） 本资料为 WoRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址莲山课 件 m 2016年江苏省泰州市沿江区域中考数学二模试卷 一、选择题（本大题共有 6 小题，每小题 3 分，共 18分） 1下列运算正确的是（ ） A a3a2=a5B a6a3=a2c （ a+b ）2=a2+b2D 2a+3b=5ab 2下列说法正确的是（ ） A要了解一批灯泡的使用寿命，采用全面调查的方式 B要了解全市居民对环境的保护意识 ，采用抽样调查的方式 c一个游戏的中奖率是 1%，则做 100次这样的游戏一定会中奖 D若甲组数据的方差 S 甲 2=，乙组数据的方差 S 乙 2=，则乙组数据比甲组数据稳定 3已知，则的值是（ ） 2 / 36 A B c D 4如图，已知 ABc 中， B=50 ，若沿图中虚线剪去 B ，则 1+2 等于（ ） A 130B 230c 270D 310 5一个几何体的主视图和左视图都是边长为 2cm 的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积是（ ） A cm2B cm2c 2cm 2D 4cm2 6如图，矩形 ABcD 中， AB=3， Bc=4，点 P 从 A 点出发，按ABc 的方向在 AB和 Bc上移动记 PA=x，点 D 到直线 PA的距离为 y，则 y 关于 x 的函数大致图象是（ ） A B c D 二、填空题（本大题共有 10小题，每小题 3 分，共 30分） 7植树造林可以净化空气、美化环境据统计一棵 50年树龄的树累计创造价值约 196000美元将 196000用科学记数法表示应为 8在函数 y=中，自变量 x 的取值范围是 9分解因式： a3 9a= 10已知点 A（ 1， 2）在反比例函数 y=的图象上，则当 x1 时， y 的取值范围是 3 / 36 11关于 x 的方程（ a 6） x2 8x+6=0有实数根，则整数 a的最大值是 12已知四边形 ABcD 中， A=B=c=90 ，若添加一个条件即可判定该四边形是正方形，那么这个条件可以是 13如图，每个小正方形的边长为 l， A、 B、 c 是小正方形的顶点，则 sinABc 的值等于 14如图，四边形 ABcD是菱形， DAB=50 ，对角线 Ac，BD 相交于点 o， DHAB 于 H，连接 oH，则 DHo= 度 15如图，在 o 中， AB为直径，点 c 为圆上一点，将劣弧沿弦 Ac翻折交 AB于点 D，连结 cD若点 D 与圆心 o 不重合，BAc=25 ，则 DcA 的度数为 度 16如图，抛物线 y= x2 2x+3与 x 轴交于点 A、 B，把抛物线在 x 轴及其上方的部分记作 c1，将 c1 关于点 B 的中心对称得 c2， c2 与 x 轴交于另一点 c，将 c2 关于点 c 的中心对称得 c3，连接 c1 与 c3 的顶点，则图中阴影部分的面积为 4 / 36 三、解 答题（本大题共有 10小题，共 102分） 17（ 1）计算：； （ 2）解方程组 18先化简，再求值：（） ，其中 a=+1， b= 1 19某市需调查该市九年级男生的体能状况，为此抽取了50名九年级男生进行引体向上个数测试，测试情况绘制成表格如下： 个数 1234567891011 人数 1161810622112 （ 1）求这次抽样测试数据的平均数、众数和中位数； （ 2）在平均数、众数和中位数中，你认为用哪一个统计量作为该市九年级男生引体向上项目测试的合格标准个数较为合适？简要说明理由； （ 3）如果该市今年有 3 万名九年级男生，根据（ 2）中你认为合格的标准，试估计该市九年级男生引体向上项目测试的合格人数是多少？ 20某中学准备随机选出七、八、九三个年级各 1 名学生担任学校国旗升旗手现已知这三个年级每个年级分别选送一男、一女共 6 名学生作为备选人 （ 1）请你利用树状图或表格列出所有可能的选法； （ 2）求选出 “ 一男两女 ” 三名国旗升旗手的概率 21如图，小明所在教学楼的每层高度为米，为了测量旗杆5 / 36 mN的高度，他在教学楼一楼的窗台 A 处测得旗杆顶部 m 的仰角为 45 ，他在二楼窗台 B 处测得 m 的 仰角为 31 ，已知每层楼的窗台离该层的地面高度均为 1 米，求旗杆 mN 的高度；（结果保留两位小数） （参考数据： sin31 ， cos31 ， tan31 ） 22将平行四边形纸片 ABcD 按如图方式折叠，使点 c 与 A重合，点 D 落到 D 处，折痕为 EF （ 1）求证： ABEADF ； （ 2）连接 cF，判断四边形 AEcF 是什么特殊四边形？证明你的结论 23如图， AB是 o 的直径， Bc交 o 于点 D， E 是的中点，连接 AE交 Bc于点 F， AcB=2EAB （ 1）求证： Ac 是 o 的切线； （ 2）若 cosc=， Ac=6，求 BF的长 24类似于平面直角坐标系，如图 1，在平面内，如果原点重合的两条数轴不垂直，那么我们称这样的坐标系为斜坐标系若 P 是斜坐标系 xoy中的任意一点，过点 P 分别作两坐标轴的平行线，与 x 轴、 y 轴交于点 m、 N，如果 m、 N 在 x轴、 y 轴上分别对应的实数是 a、 b，这时点 P 的坐标为（ a，6 / 36 b） （ 1）如图 2，在斜坐标系 xoy中，画出点 A（ 2， 3）； （ 2）如图 3，在斜坐标系 xoy中，已知点 B（ 5， 0）、 c（ 0，4），且 P（ x， y）是线段 cB上的任意一点，则 y 与 x 之间的等量关系式为 ； （ 3）若（ 2）中的点 P 在线段 cB 的延长线上，其它条件都不变，试判断（ 2）中的结论是否仍然成立，并说明理由 25如图， ABc 中， AB=Ac，点 P 是三角形右外一点，且APB=ABc （ 1）如图 1，若 BAc=60 ，点 P 恰巧在 ABc 的平分线上，PA=2，求 PB的长； （ 2）如图 2，若 BAc=60 ，探究 PA， PB， Pc的数量关系，并证明； （ 3）如图 3，若 BAc=120 ，请直接写出 PA， PB， Pc 的数量关系 26在平面直角坐标系 xoy中，设 点 P（ x1， y1）， Q（ x2，y2）是图形 W 上的任意两点 定义图形 W 的测度面积：若 |x1 x2|的最大值为 m， |y1y2|的最大值为 n，则 S=mn为图形 W 的测度面积 例如，若图形 W 是半径为 1 的 o ，当 P， Q 分别是 o 与 x7 / 36 轴的交点时，如图 1， |x1 x2|取得最大值，且最大值 m=2；当 P， Q 分别是 o 与 y 轴的交点时，如图 2， |y1 y2|取得最大值，且最大值 n=2则图形 W 的测度面积 S=mn=4 （ 1）若图形 W 是等腰直角三角形 ABo， oA=oB=1 如图 3，当点 A， B 在坐标轴上时，它的测度面 积S= ； 如图 4，当 ABx 轴时，它的测度面积 S= ； （ 2）若图形 W 是一个边长 1 的正方形 ABcD，则此图形的测度面积 S 的最大值为 ； （ 3）若图形 W 是一个边长分别为 3 和 4 的矩形 ABcD，求它的测度面积 S 的取值范围 2016年江苏省泰州市沿江区域中考数学二模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共有 6 小题，每小题 3 分，共 18分） 1下列运算正确的是（ ） A a3a2=a5B a6a3=a2c （ a+b ）2=a2+b2D 2a+3b=5ab 【考点】同底数幂的除法；同底数幂的乘法；完全平方公式 8 / 36 【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减；完全平方公式，对各选项分析判断后利用排除法求解 【解答】解： A、 a3a2=a5，正确； B、应为 a6a3=a3 ，故本选项错误； c、应为（ a+b） 2=a2+2ab+b2，故本选项错误； D、 2a与 3b不是同类项的不能合并，故本选项错误 故选 A 2下列说法正确的是（ ） A要了解一批灯泡的 使用寿命，采用全面调查的方式 B要了解全市居民对环境的保护意识，采用抽样调查的方式 c一个游戏的中奖率是 1%，则做 100次这样的游戏一定会中奖 D若甲组数据的方差 S 甲 2=，乙组数据的方差 S 乙 2=，则乙组数据比甲组数据稳定 【考点】方差；全面调查与抽样调查；概率的意义 【分析】本题需先根据调查方式的选择和方差的概念以及方差表示的意义，对每一项分别进行分析即可得出答案 【解答】解： A、要了解一批灯泡的使用寿命，采用抽样调查的方式，故本选项错误； 9 / 36 B、要了解全市居民对环境的保护意识，采用抽 样调查的方式，故本选项正确； c、一个游戏的中奖率是 1%，则做 100次这样的游戏不一定绝对会中奖，故本选项错误； D、若甲组数据的方差 S 甲 2=，乙组数据的方差 S 乙 2=，则甲组数据比乙组数据稳定，故本选项错误 故选 B 3已知，则的值是（ ） A B c D 【考点】比例的性质 【分析】根据等式的性质，可用 b 表示 a，根据分式的性质，可得答案 【解答】解：由，得 a=b， =， 故选： D 4如图，已知 ABc 中， B=50 ，若沿图中虚线剪去 B ，则 1+ 2 等于（ ） A 130B 230c 270D 310 10 / 36 【考点】多边形内角与外角；三角形内角和定理 【分析】因 1 和 BDE 组成了平角， 2 和 BED 也组成了平角，平角等于 180 ， 1+2=360 （ BDE+BED ），又三角形的内角和是 180 ， BDE+BED= 180 B=180 50=130 ，再代入上式即可 【解答】解： BDE+BED=180 B ， =180 50 ， =130 ， 1+2=360 （ BDE+BED ） ， =360 130 ， =230 故选： B 5一个几何体的主视图和左视图都是边长为 2cm 的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积是（ ） A cm2B cm2c 2cm2D 4cm2 【考点】由三视图判断几何体 【分析】根据三视图的知识可知该几何体为一个圆锥又已知底面半径可求出母线长以及侧面积 【解答】解：综合主视图，俯视图，左视图可以看出这个几11 / 36 何体应该是圆锥，且底面圆的半径为 1，母线长为 2， 因此侧面面积为 2122=2cm2 故 选 c 6如图，矩形 ABcD 中， AB=3， Bc=4，点 P 从 A 点出发，按ABc 的方向在 AB和 Bc上移动记 PA=x，点 D 到直线 PA的距离为 y，则 y 关于 x 的函数大致图象是（ ） A B c D 【考点】动点问题的函数图象 【分析】根据题意，分两种情况：（ 1）当点 P 在 AB 上移动时，点 D 到直线 PA 的距离不变，恒为 4；（ 2）当点 P 在 Bc上移动 时，根 据相似 三角形 判定的 方法， 判断出PABADE ，即可判断出 y=（ 3 x5 ），据此判断出 y 关于 x 的函数大致图象是哪个即可 【解答】解：（ 1）当点 P 在 AB上移动时， 点 D 到直线 PA 的距离为： y=DA=Bc=4（ 0x3 ） （ 2）如图 1，当点 P 在 Bc上移动时， AB=3 ， Bc=4， Ac= ， PAB+DAE=90 ， ADE+DAE=90 ， 12 / 36 PAB=DAE ， 在 PAB 和 ADE 中， PABADE ， ， ， y= （ 3 x5 ） 综上，可得 y 关于 x 的函数大致图象是： 故选： D 二、填空题（本大题共有 10小题，每小题 3 分，共 30分） 7植树 造林可以净化空气、美化环境据统计一棵 50年树龄的树累计创造价值约 196000美元将 196000用科学记数法表示应为 105 【考点】科学记数法 表示较大的数 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中1|a| 10， n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值 1 时， n 是正数；当原数的绝对值 1时， n 是负数 13 / 36 【解答】解： 196000=105 ， 故答案为： 105 8在函数 y=中，自变量 x 的取值范 围是 x 2 【考点】函数自变量的取值范围 【分析】根据被开方数大于等于 0，分母不等于 0 列式计算即可得解 【解答】解：由题意得， x 2 0， 解得 x 2 故答案为： x 2 9分解因式： a3 9a= a（ a+3）（ a 3） 【考点】提公因式法与公式法的综合运用 【分析】本题应先提出公因式 a，再运用平方差公式分解 【解答】解： a3 9a=a（ a2 32） =a（ a+3）（ a 3） 10已知点 A（ 1， 2）在反比例函数 y=的图象上，则当 x1 时， y 的取值范围是 0 y 2 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征 【分析】根据点 A（ 1， 2）在反比例函数 y=的图象上，求出k 的值，得到反比例函数解析式，再根据反比例函数的性质求出 y 的取值范围 14 / 36 【解答】解：将点 A（ 1， 2）代入反比例函数 y=的解析式得， k=12=2 ， 则函数解析式为 y=， 当 x=1时， y=2，由于图象位于一、三象限， 在每个象限内， y 随 x 的增大而减小， 则 x 1 时， 0 y 2 故答案为 0 y 2 11关于 x 的方程（ a 6） x2 8x+6=0有实数根，则整数 a的最大 值是 8 【考点】根的判别式 【分析】分两种情况进行讨论， a=6 ， a6 得出 0这一条件，然后解不等式即可 【解答】解： 若 a=6，则方程有实数根， 若 a6 ，则 0 ， 64 4 （ a 6） 60 ，整理得：a ， a 的最大值为 8 12已知四边形 ABcD 中， A=B=c=90 ，若添加一个条件即可判定该四边形是正方形，那么这个条件可以是 AB=AD或 AcBD 等 【考点】正方形的判定；矩形的判定与性质 15 / 36 【分析】由已知可得四边形 ABcD 是矩形，则可根据有 一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形添加条件 【解答】解：由 A=B=c=90 可知四边形 ABcD 是矩形，根据根据有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形，得到应该添加的条件为： AB=AD或 AcBD 等 故答案为： AB=AD 或 AcBD 等 13如图，每个小正方形的边长为 l， A、 B、 c 是小正方形的顶点，则 sinABc 的值等于 【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理；等腰直角三角形；特殊角的三角函数值 【分析】连接 Ac，设小正方形的边长为 1，利用勾股定理求出 Ac， Bc及 AB的长，利用勾股定理的逆定理得出三角形 ABc为等腰直角三角形，可得出 ABc 为 45 ，利用特殊角的三角函数值即可求出 sinABc 的值 【解答】解：连接 Ac，设小正方形的边长为 1， 根据勾股定理可以得到： Ac=Bc=， AB= （） 2+（） 2=（） 2 Ac2+Bc2=AB2 ABc 是等腰直角三角形 ABc=45 16 / 36 则 sinABc= 故答案为： 14如图，四边形 ABcD是菱形， DAB=50 ，对角线 Ac，BD相交于点 o， DHAB 于 H，连接 oH，则 DHo= 25 度 【考点】菱形的性质 【分析】根据菱形的对角线互相平分可得 oD=oB，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 oH=oB，然后根据等边对等角求出 oHB=oBH ，根据两直线平行，内错角相等求出 oBH=oDc ，然后根据等角的余角相等解答即可 【解答】解： 四边形 ABcD是菱形， oD=oB ， coD=90 ， DHAB ， oH=BD=oB ， oHB=oBH ， 又 ABcD ， oBH=oDc ， 在 RtcoD 中， oDc+ Dco=90 ， 在 RtDHB 中， DHo+oHB=90 ， DHo=Dco=25 ， 17 / 36 故答案为： 25 15如图，在 o 中， AB为直径，点 c 为圆上一点，将劣弧沿弦 Ac翻折交 AB于点 D，连结 cD若点 D 与圆心 o 不重合，BAc=25 ，则 DcA 的度数为 40 度 【考点】圆周角定理；翻折变换（折叠问题） 【分析】首先连接 Bc，由 AB是直径，可求得 AcB=90 ，则可求得 B 的度数，然后由翻折的性质可得，所对的圆周角为 B ，所对的圆周角为 ADc ，继而求得答案 【解答】解：连接 Bc， AB 是直径， AcB=90 ， BAc=25 ， B=90 BAc=90 25=65 ， 根据翻折的性质，所对的圆周角为 B ，所对的圆周角为ADc ， ADc+B=180 ， B=cDB=65 ， DcA=cDB A=65 25=40 故答案为： 40 18 / 36 16如图，抛物线 y= x2 2x+3与 x 轴交于点 A、 B，把抛物线在 x 轴及其上方的部分记作 c1，将 c1 关于点 B 的中心对称得 c2， c2 与 x 轴交于另一点 c，将 c2 关于点 c 的中心对称得 c3，连接 c1与 c3的顶点，则图中阴影部分的面积为 32 【考点】抛物线与 x 轴的交点 【分析】将 x 轴下方的阴影部分沿对称轴分成两部分补到 x轴上方，即可将不规则图形转换为规则的长方形，则可求出 【解答】解： 抛物线 y= x2 2x+3与 x 轴交于点 A、 B， 当 y=0时，则 x2 2x+3=0， 解得 x= 3 或 x=1， 则 A， B 的坐标分别为（ 3， 0），（ 1， 0）， AB的长度为 4， 从 c1， c3两个部分顶点分别向下作垂线交 x 轴于 E、 F 两点 根据中心对 称的性质， x 轴下方部分可以沿对称轴平均分成两部分补到 c1 与 c2 如图所示，阴影部分转化为矩形 根据对称性，可得 BE=cF=42=2 ，则 EF=8 19 / 36 利用配方法可得 y= x2 2x 3=（ x+1） 2+4 则顶点坐标为（ 1， 4），即阴影部分的高为 4， S 阴 =84=32 三、解答题（本大题共有 10小题，共 102分） 17（ 1）计算：； （ 2）解方程组 【考点】实数的运算；解二元一次方程组 【分析】（ 1）原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，二次根式性质，以及特殊角的三 角函数值计算即可得到结果； （ 2）方程组利用加减消元法求出解即可 【解答】解：（ 1）原式 =4+2 4 1=2 1； （ 2）， 2+ 得： 5x=5，即 x=1， 把 x=1代入 得： y= 1， 则方程组的解为 18先化简，再求值：（） ，其中 a=+1， b= 1 【考点】分式的化简求值 【分析】先算括号里面的，再算除法，分式化为最简后把 a、b 的值代入进行计算即可 【解答】解：原式 =（） 20 / 36 = 当 a=+1， b= 1时， 原式 = = = 19某市需调查该市九年级男生的体能状况，为此抽取了50名九年级男生进行引体向上个数测试，测试情况绘制成表格如下： 个数 1234567891011 人数 1161810622112 （ 1）求这次抽样测试数据的平均数、众数和中位数； （ 2）在平均数、众数和中位数中，你认为用哪一个统计量作为该市九年级男生引体向上项目测试的合格标准个数较为合适？简要说明理由； （ 3）如果该市今年有 3 万名九年级男生，根据（ 2）中你认为合格的标准，试估计该市九年级男生引体向上项目测试的合格人数是多少？ 【考点】众数；用样本估计 总体；加权平均数；中位数；统计量的选择 【分析】（ 1）根据出现最多的是众数；把这组数据按大小关系排列，中间位置的是中位数（偶数个数据取中间两个数的平均值）；平均数是总成绩除以次数； （ 2）根据中位数或众数比较接近大部分学生成绩，故中位21 / 36 数或众数作为合格标准次数较为合适； （ 3）根据 50 人中，有 42 人符合标准，进而求出 3 万名该市九年级男生引体向上项目测试的合格人数即可 【 解 答 】 解 ： （ 1 ） 平 均 数 为（ 11+12+63+184+105+66+27+28+19+110+211 ） 50= 5 个； 众数为 4 个， 中位数为 4 个 （ 2）用中位数或众数（ 4 个）作为合格标准次数较为合适， 因为 4 个大部分同学都能达到 （ 3）（人） 故估计该市九年级男生引体向上项目测试的合格人数是25200人 20某中学准备随机选出七、八、九三个年级各 1 名学生担任学校国旗升旗手现已知这三个年级每个年级分别选送一男、一女共 6 名学生作为备选人 （ 1）请你利用树状图或表格列出所有可能的选法； （ 2）求选出 “ 一男两女 ” 三名国旗升旗手的概率 【考点】列表法与树状图法 【 分析】（ 1）此题需要两步完成，所以采用树状图法或者采22 / 36 用列表法都比较简单；使用树状图分析时，一定要做到不重不漏 （ 2）据概率的求法，找准两点： 全部情况的总数； 符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率 【解答】解：解法一：（ 1）用表格列出所有可能结果： （ 2）从上表可知：共有 8 种结果，且每种结果都是等可能的，其中 “ 一男两女 ” 的结果有 3 种所以， P（一男两女）= 解法二：（ 1）用树状图列出所有可能结果： （ 3）从上图可知：共有 8 种结果，且每种结果都是等可能的，其中 “ 一男两 女 ” 的结果有 3 种所以， P（一男两女）= 21如图，小明所在教学楼的每层高度为米，为了测量旗杆mN的高度，他在教学楼一楼的窗台 A 处测得旗杆顶部 m 的仰角为 45 ，他在二楼窗台 B 处测得 m 的仰角为 31 ，已知每层楼的窗台离该层的地面高度均为 1 米，求旗杆 mN 的高度；（结果保留两位小数） （参考数据： sin31 ， cos31 ， tan31 ） 23 / 36 【考点】解直角三角形的应用 -仰角俯角问题 【分析】过点 m 的水平线交直线 AB 于点 H，设 mH=x，则 AH=x，结合等腰直角三角形的性质和解直角三角形 ABH 得到 AB=AH BH=x =，由此求得 mH的长度，则 mN=AB+BH 【解答】解：过点 m 的水平线交直线 AB于点 H， 由题意，得 AmH=mAH=45 ， BmH=31 ， AB=， 设 mH=x，则 AH=x， BH=xtan31= ， AB=AH BH=x =， 解得 x=， 则旗杆高度 mN=x+1=（米） 答：旗杆 mN的高度度约为米 22将平行四边形纸片 ABcD 按如图方式折叠，使点 c 与 A重合，点 D 落到 D 处，折痕为 EF （ 1）求证： ABEADF ； （ 2）连 接 cF，判断四边形 AEcF 是什么特殊四边形？证明你的结论 【考点】全等三角形的判定；菱形的判定 【分析】（ 1）根据平行四边形的性质及折叠的性质我们可以24 / 36 得到 B=D ， AB=AD ， 1=3 ，从而利用 ASA 判定ABEADF ； （ 2）四边形 AEcF是菱形，我们可以运用菱形的判定，有一组邻边相等的平行四边形是菱形来进行验证 【解答】（ 1）证明：由折叠可知： D=D ， cD=AD ， c=DAE 四边形 ABcD是平行四边形， B=D ， AB=cD， c=BAD B=D ， AB=AD ， DAE=BAD ， 即 1+2=2+3 1=3 在 ABE 和 ADF 中 ABEADF （ ASA） （ 2）解：四边形 AEcF是菱形 证明：由折叠可知： AE=Ec， 4=5 四边形 ABcD是平行四边形， ADBc 5=6 4=6 AF=AE AE=Ec ， 25 / 36 AF=Ec 又 AFEc ， 四边形 AEcF是平行四边形 又 AF=AE ， 平行四边形 AEcF 是菱形 23如图， AB是 o 的直径， Bc交 o 于点 D， E 是的中点，连接 AE交 Bc于点 F， AcB=2EAB （ 1）求证： Ac 是 o 的切线； （ 2）若 cosc=， Ac=6，求 BF的长 【考点】切线的判定；解直角三角形 【分析】（ 1）连结 AD，如图，根据圆周角定理，由 E 是的中点得到 EAB=EAD ，由于 AcB=2EAB ，则 AcB=DAB ，再利用圆周角定理得到 ADB=90 ，则 DAc+AcB=90 ，所以 DAc+DAB=90 ，于是根据切线的判定定理得到 Ac是 o 的切线； （ 2）作 FHAB 于 H，如图，利用余弦定义，在 RtAcD 中可计算出 cD=4，在 RtAcB 中可计算出 Bc=9，则 BD=BccD=5，接着根据角平分线性质得 FD=FH，于是设 BF=x，则DF=FH=5 x，然后利用平行线得性质由 FHAc 得到26 / 36 HFB=c ，所以 cosBFH=cosc= ，再利用比例性质可求出BF 【解答】（ 1）证明：连结 AD，如图， E 是的中点， = ， EAB=EAD ， AcB=2EAB ， AcB=DAB ， AB 是 o 的直径， ADB=90 ， DAc+AcB=90 ， DAc+DAB=90 ，即 BAc=90 ， AcAB ， Ac 是 o 的切线； （ 2）解：作 FHAB 于 H，如图， 在 RtAcD 中， cosc= ， cD=6=4 ， 在 RtAcB 中， cosc= ， Bc=6=9 ， BD=Bc cD=9 4=5， EAB=EAD ，即 AF平分 BAD ， 而 FDAD ， FHAB ， 27 / 36 FD=FH ， 设 BF=x，则 DF=FH=5 x， FHAc ， HFB=c ， 在 RtBFH 中， cosBFH=cosc= ， = ，解得 x=3， 即 BF的长为 3 24类似于平面直角坐标系，如图 1，在平面内，如果原点重合的两条数轴不垂直，那么我们称这样的坐标系为斜坐标系若 P 是斜坐标系 xoy中的任意一点，过点 P 分别作两坐标轴的平行线，与 x 轴、 y 轴交于点 m、 N，如果 m、 N 在 x轴、 y 轴上分别对应的实数是 a、 b，这时点 P 的坐标为（ a，b） （ 1）如图 2，在斜坐标系 xoy中，画出点 A（ 2， 3）； （ 2）如图 3，在斜坐标系 xoy中，已知点 B（ 5， 0）、 c（ 0，4），且 P（ x， y）是线段 cB上的任意一点，则 y 与 x 之间的等量关系式为 3x+4y=12 ； （ 3）若（ 2）中的点 P 在线段 cB 的延长线上，其它条件都不变，试判断（ 2）中的结论是否仍然成立，并说明理由 28 / 36 【考点】坐标与图形性质 【分析】（ 1）作 Amy 轴， Am与 x 轴交于点 m， ANx 轴，AN与 y 轴交于点 N，构建菱形 AmoN，然后根据菱形的性质以及等边三角形的判定与性质来求 oA的长度； （ 2）过点 P 分别作两坐标轴的平行线，与 x 轴、 y 轴交于点 m、 N，则 PN=x， Pm=y；根据平行线截线段成比例分别列出关于 x、 y 的比例式 =、 =；再由线段间的和差关系求得Pc+BP=Bc 知 +=1； （ 3）当点 P 在线段 Bc的延长线上时，上述结论仍然成立理由如下：这时 PN= x， Pm=y，证明过程同（ 2） 【解答】解：（ 1）如图 1 作 Amy 轴， Am与 x 轴交于点 m，ANx 轴， AN与 y 轴交于点 N， 则四边形 AmoN为平行四边形，且 om=oN， AmoN 是菱形， om=Am oA 平分 moN ， 又 xoy=60 ， moA=60 ， moA 是等边三角形， oA=om=2 ； （ 2）过点 P 分别作两坐标轴的平行线，与 x 轴、 y 轴交于点 m、 N， 则 PN=x， Pm=y， 29 / 36 由 PNoB ，得 =即 =； 由 Pmoc ，得 =，即 =； +=1 ， 即 3x+4y=12； 故答案为： 3x+4y=12； （ 3）（ 2）中的结论仍然成立，如图 3，当点 P 在线段Bc的延长线上时，上述结论仍然成立理由如下：这时 PN= x， Pm=y， 与（ 2）类似， =， = 又 =1 =1，即 +=1 25如图， ABc 中， AB=Ac，点 P 是三角形右外一点，且APB=ABc （ 1）如图 1，若 BAc=60 ，点 P 恰巧在 ABc 的平分线上，PA=2，求 PB的长； （ 2）如图 2，若 BAc=60 ，探究 PA， PB， Pc的数量关系，并证明； （ 3）如图 3，若 BAc=120 ，请直接写出 PA， PB， Pc 的30 / 36 数量关系 【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质 【分析】（ 1） AB=Ac， BAc=60 ，证得 ABc 是等边三角形， APB=ABc ，得到 APB=60 ，又点 P 恰巧在 ABc 的平分线上，得到 ABP=30 ，得到直角三角形，利用直角三角形的性 质解出结果 （ 2）在 BP上截取 PD，使 PD=PA，连结 AD，得到 ADP 是等边三角形，再通过三角形全等证得结论 （ 3）以 A 为圆心，以 AP 的长为半径画弧交 BP 于 D，连接AD，过点 A 作 AFBP 交 BP 于 F，得到等腰三角形，然后通过三角形全等证得结论 【解答】解：（ 1） AB=Ac ， BAc=60 ， ABc 是等边三角形， APB=ABc ， APB=60 ， 又 点 P 恰巧在 ABc 的平分线上， ABP=30 ， PAB=90 ， BP=2AP ， AP=2 ， BP =4； 31 / 36 （ 2）结论： PA+Pc=PB 证明：如图 1，在 BP上截取 PD，使 PD=PA，连结 AD， APB=60 ， ADP 是等边三角形， DAP=60 ， 1=2 ， PA=PD， 在 ABD 与 AcP 中， ， ABDAcP ， Pc=BD ， PA+Pc=PB ； （ 3）结论： PA+Pc=PB 证明：如图 2，以 A 为圆心，以 AP的长为半径画弧交 BP于D，连接 AD，过点 A 作 AFBP 交 BP于 F， AP=AD ， BAc=120 ， ABc=30 ， APB=30 ， DAP=120 ， 1=2 ， 在 ABD 与 AcP 中， ， 32 / 36 ABDAcP ， BD=Pc ， AFPD ， PF=AP ， PD=AP ， PA+Pc=PB 26在平面直角坐标系 xoy中，设点 P（ x1， y1）， Q（ x2，y2）是图形 W 上的任意两点 定义图形 W 的测度面积：若 |x1 x2|的最大值为 m， |y1y2|的最大值为 n，则 S=mn为图形 W 的测度面积 例如，若图形 W 是半径为 1 的 o ，当 P， Q 分别 是 o 与 x轴的交点时，如图 1， |x1 x2|取得最大值