2016年百色市高二数学下期末试卷(理含答案和解释)

1 / 24 2016 年百色市高二数学下期末试卷 (理含答案和解释 ) 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 XX-2016 学年广西百色市高二（下）期末数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5 分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1设 z=1+i（是虚数单位），则 +=（ ） A 1B 1c iD i 2设随机变量 x N（ 1， 2 ），若 P（ x 2） =，则 P（ x0）等于（ ） A 3函数 y=ax3 x 在（ ， + ）上的 减区间是 1， 1，则（ ） A a=B a=1c a=2D a0 4用反证法证明：若整系数一元二次方程 ax2+bx+c=0（ a0 ）有有理数根，那么 a、 b、 c 中至少有一个偶数时，下列假设正确的是（ ） A假设 a、 b、 c 都是偶数 B假设 a、 b、 c 都不是偶数 c假设 a、 b、 c 至多有一个偶数 D假设 a、 b、 c 至多有两个偶数 2 / 24 5现有 5 种不同颜色的染料，要对如图中的四个不同区域进行着色，要求有公共边的两块区域不能使用同一种颜色，则不同的着色方法的种数是（ ） A 120B 140c 240D 260 6已知 x， y 的取值如表： X2345 从散点图分析， y 与 x 线性相关，且回归直线方程为 =+，则的值为（ ） A 7已知（ 1 x） 5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，那么（ a0+a2+a4）（ a1+a3+a5）的值等于（ ） A 256B 256c 512D 512 8设 10件产品中有 4 件不合格，从中任意取出 2 件，那么在所得的产品中发现有一件不合格，则另一件也是不合格品的概率（ ） A B c D 9 A， B， c， D， E 五人并排站成一排，如果 B 必须站在 A的右边（ A， B 可以不相邻），那么不同的排法共有（ ） A 24种 B 60种 c 90种 D 120 种 10有一个圆锥，其母线长为 18cm，要使其体积最大，则3 / 24 该圆锥的高为（ ） A 8cmB 6cmc 8cmD 12cm 11下面给出了关于复数的三种类比推理：其中类比错误的是（ ） 复数的乘法运算法则可以类比多项式的乘法运算法则； 由向量的性质 |2=2可以类比复数的性质 |z|2=z2； 由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义 A B c D 12已知定义在实数集 R 的函数 f（ x）满足 f（ 1） =4，且f（ x）导函数 f （ x） 3，则不等式 f（ lnx） 3lnx+1的解集为（ ） A（ 1， + ） B（ e， + ） c（ 0， 1） D（ 0， e） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20分 13已知随机变量 X B（ 4， p），若 E（ X） =2，则 D（ X） = 14已知函数 f（ x） =x 4lnx，则曲线 y=f（ x）在点（ 1，f（ 1）处的切线方程为 15曲线 y=x2 2x与 直线 x= 1， x=l以及 x 轴所围图形的面积为 . 16观察下列等式 1=12， 12 22= 3， 12 22+32=6， 1222+32 42= 10照此规律，第 100个等式 12 22+32 42+4 / 24 1002= 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17已知复数 z=（ 3m 2） +（ m 1） i， mR ， i 为虚数单位 （ 1）当 m=2时，求复数 z 的模 |z|； （ 2）若 z 表示纯虚数，求 m 的值； （ 3）在复平面内，若 z 对应的点位于第三象限，求实数 m的取值 范围 18 “ 中国式过马路 ” 存在很大的交通安全隐患，某调查机构为了解路人对 “ 中国式过马路 ” 的态度是否与性别有关，从马路旁随机抽取 30 名路人进行了问卷调查，得到了如下列联表： 男性女性合计 反感 10 不反感 8 合计 30 已知在这 30 人中随机抽取 1 人抽到反感 “ 中国式过马路 ”的路人的概率是 （ ）请将上面的列联表补充完整（在答题卷上直接填写结果，不需要写求解过程），并据此资料判断是否有 95%的把握认为反感 “ 中国式过马路 ” 与性别有关？ 5 / 24 （ ）若从这 30 人中的女性路人中随机抽取 2 人参加一活动，记反 感 “ 中国式过马路 ” 的人数为 X，求 X 的分布列 附： k2=，其中 n=a+b+c+d P（ k2k0 ） 19在二项式（ +） n 的展开式中，前三项系数成等差数列 （ I）求展开式中的常数项； （ ）求展开式中系数最大的项 20某小区物业加强对员工服务宗旨教育，服务意识和服务水平不断提高，某服务班组经常收到表扬电话和表扬信设该班组一周内收到表扬电话和表扬信的次数用 X 表示，据统计，随机变量 X 的概率分布如下： X0123 （ 1）求 a 的值和 X 的数学期望； （ 2）假设某月第一周和第二周收到 表扬电话和表扬信的次数互不影响，求该班组在这两周内共收到表扬电话和表扬信2 次的概率 21已知函数 f（ x） =（ x 0），数列 an满足 a1=f（ x），an+1=f（ an） （ 1）求 a2， a3， a4 （ 2）猜想数列 an的通项公式，并用数学归纳法予以证明 6 / 24 22已知函数 f（ x） =alnx+bx2+x（ a， bR ） （ 1）若函数 f（ x）在 x1=1， x2=2 处取得极值，求 a， b 的值，并说明分别取得的极大值还是极小值； （ 2）若函数 f（ x）在（ 1， f（ 1）处的切线的斜率为 1，且对任意 x1 ， e，都使得 f（ x） x （ a+2）（ x2+x）恒成立，求实数 a 的取值范围 XX-2016学年广西百色市高二（下）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5 分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1设 z=1+i（是虚数单位），则 +=（ ） A 1B 1c iD i 【考点】复数代数形式的乘除运算 【分析】利用复数的除法运算法则化简复数为 a+bi 的形式即可 【解答】解： z=1+i（是 虚数单位），则 +=1 故选： A 7 / 24 2设随机变量 x N（ 1， 2 ），若 P（ x 2） =，则 P（ x0）等于（ ） A 【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 【分析】根据随机变量 服从正态分布，知正态曲线的对称轴是 x=1，且 P（ x 2） =，可得 P（ x0 ） =，即可求得答案 【解答】解： 随机变量 服从正态分布 N（ 1， 2 ）， 正态曲线的对称轴是： x=1， 又 P （ x 2） =， P （ x0 ） =， P （ x 0） =1 =， 故选： D 3函数 y=ax3 x 在（ ， + ）上的减区间是 1， 1，则（ ） A a=B a=1c a=2D a0 【考点】利用导数研究函数的单调性 【分析】由 f（ x） =ax3+x的减区间为 1， 1，得 f （ x）=3ax2 1=0的两个根为 1， 1，解出 a 即可 【解答】解： f （ x） =3ax2 1 由题意得 3ax2 1=0的根为 1， 1 8 / 24 则 3a 1=0，所以 a= 故选 A 4用反证法证明：若整系数一元二次方程 ax2+bx+c=0（ a0 ）有有理数根，那么 a、 b、 c 中至少有一个偶数时，下列 假设正确的是（ ） A假设 a、 b、 c 都是偶数 B假设 a、 b、 c 都不是偶数 c假设 a、 b、 c 至多有一个偶数 D假设 a、 b、 c 至多有两个偶数 【考点】反证法与放缩法 【分析】本题考查反证法的概念，逻辑用语，否命题与命题的否定的概念，逻辑词语的否定根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，故只须对 “b 、 c 中至少有一个偶数 ” 写出否定即可 【解答】解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定 “ 至少有一个 ” 的否定 “ 都不是 ” 即假设正确的是：假设 a、 b、 c 都不是偶数 故选： B 5现有 5 种不同颜色的染料，要对如图中的四个不同区域进行着色，要求有公共边的两块区域不能使用同一种颜色，9 / 24 则不同的着色方法的种数是（ ） A 120B 140c 240D 260 【考点】计数原理的应用；排列、组合及简单计数问题 【分析】可分步研究涂色的种数，从 A 处开始，再涂 B 处，c 处时进行分类，分 A， c 相同，与不同两类，由计数原理计算出不同的着色结果数选出正确选项 【解答】解：由题意，先涂 A 处，有 5 种涂法，再涂 B 处 4种涂法，第三步涂 c，若 c 与 A 同，则 D 有四种涂法，若 c与 A不同，则 D有三种涂 法，由此得不同的着色方案有 54（ 14+33 ） =260 种 故选 D 6已知 x， y 的取值如表： X2345 从散点图分析， y 与 x 线性相关，且回归直线方程为 =+，则的值为（ ） A 【考点】线性回归方程 【分析】求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，得到关于的方程，解方程即可 10 / 24 【解答】解： = ， =， 这组数据的样本中心点是（，） 把样本中心点代入回归直线方程 =+， =+ ， = 故选： B 7已知（ 1 x） 5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，那么（ a0+a2+a4）（ a1+a3+a5）的值等于（ ） A 256B 256c 512D 512 【考点】二项式系数的性质 【分析】用赋值法，只要分别令 x=1 和 1，即可求解二项展开式中奇数项和与偶数项的和的问题 【解答】解：令 x=1得 a0+a1+a2+a3+a4+a5=0， 再令 x= 1 得 a0 a1+a2 a3+a4 a5=25=32， + 得 a0+a2+a4=16 得 a1+a3+a5= 16 故（ a0+a2+a4）（ a1+a3+a5）的值等于 256 故选： A 8设 10件产品中有 4 件不合格，从中任意取出 2 件，那么在所得的产品中发现有一件不合格，则另一件也是不合格品11 / 24 的概率（ ） A B c D 【考点】相互独立事件的概率乘法公式 【分析】根据题意得出在所取得的产品中发现有一件是不合格品，共有 =46=24 ， 2 个都不合格的有，运用体积概率求解即可 【解答】解：设十件产品中有四件不合格， a1， a2， a3， a4，合格的为 b1， b2， b6， 在所取得的 产品中发现有一件是不合格品事件为 A，另一件也是不合格品的为 B， 至少有一件不合格品的概率为 P（ A） =1 1 =， 两件都为不合格品的概率为 P（ AB） =， 在所取得的产品中发现有一件是不合格品，另一件也是不合格品的概率 =， 故选： D 9 A， B， c， D， E 五人并排站成一排，如果 B 必须站在 A的右边（ A， B 可以不相邻），那么不同的排法共有（ ） A 24种 B 60种 c 90种 D 120 种 【考点】排列、组合的实际应用 【分析】根据题意，首先计算五人并排站成一排的情况数目，进而 分析可得， B 站在 A 的左边与 B 站在 A 的右边是等可能12 / 24 的，使用倍分法，计算可得答案 【解答】解：根据题意，使用倍分法， 五人并排站成一排，有 A55种情况， 而其中 B 站在 A 的左边与 B 站在 A 的右边是等可能的， 则其情况数目是相等的， 则 B 站在 A 的右边的情况数目为 A55=60 ， 故选 B 10有一个圆锥，其母线长为 18cm，要使其体积最大，则该圆锥的高为（ ） A 8cmB 6cmc 8cmD 12cm 【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台） 【分析】设圆锥的底面半径为 r，高为 h，表示出 圆锥的体积，利用但是判断函数的单调性求出函数的最大值点即可 【解答】解：设圆锥的底面半径为 r，高为 h，则 r2+h2=182，即 r2=324 h2， 圆锥的体积为： V=r2h= （ 0 h 18） V= ， 令 V=0 ，则 h=6， 0 h 6 时， V 0， 6 h 18时， V 0， 故 h=6时， V 取最大值， 故选： B 13 / 24 11下面给出了关于复数的三种类比推理：其中类比错误的是（ ） 复数的乘法运算法则可以类比多项式的乘法运算法则； 由向量的性质 |2=2可以类比复数的性质 |z|2=z2； 由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义 A B c D 【考点】类比推理 【分析】利用复数的加减法运算法则判断出 对；利用复数加法的几何意义判断出 对；通过举反例判断出命题 错 【解答】解：对于复数的加减法运算法则判断出 对； 对于 向量 a 的性质 |2=2，但 |z|2 是实数，但 z2 不一定是实数，如 z=i，就不成立，故错； 对于 复数加法的几何意义判断出 对， 故选： A 12已知定义在实数集 R 的函数 f（ x）满足 f（ 1） =4，且f（ x）导函数 f （ x） 3，则不等式 f（ lnx） 3lnx+1的解集为（ ） A（ 1， + ） B（ e， + ） c（ 0， 1） D（ 0， e） 【考点】导数的运算；其他不等式的解法 14 / 24 【分析】构造函数 g（ x） =f（ x） 2x 1，求函数的导数，判断函数的单调性即可得到结论 【解答】解：设 t=lnx， 则不等式 f（ lnx） 3lnx+1等价为 f（ t） 3t+1， 设 g（ x） =f（ x） 3x 1， 则 g （ x） =f （ x） 3， f （ x）的导函数 f （ x） 3， g （ x） =f （ x） 3 0，此时函数单调递减， f （ 1） =4， g （ 1） =f（ 1） 3 1=0， 则当 x 1 时， g（ x） g（ 1） =0， 即 g（ x） 0，则此时 g（ x） =f（ x） 3x 1 0， 即不等式 f（ x） 3x+1的解为 x 1， 即 f（ t） 3t+1的解为 t 1， 由 lnx 1，解得 0 x e， 即不等式 f（ lnx） 3lnx+1的解集为（ 0， e）， 故选： D 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20分 13已知随机变量 X B（ 4， p），若 E（ X） =2，则 D（ X） = 1 【考点】二项分布与 n 次独立重复试验的模型 15 / 24 【分析】根据随机变量符合二项分布，由二项分布的期望公式，列出方程，解方程，求出 p，即可求出答案 【解答】解：随机变量 X 服从二项分布 X B（ 4， p）， E（ X）=2， 4p=2 ， p= D （ X） =4p（ 1 p） =1， 故答案为： 1 14已知函数 f（ x） =x 4lnx，则曲线 y=f（ x）在点（ 1，f（ 1）处的切线方程为 3x+y 4=0 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】在填空题或选择题中，导数题考查 的知识点一般是切线问题 【解答】解：函数 f（ x） =x 4lnx，所以函数 f （ x） =1，切线的斜率为： 3，切点为：（ 1， 1） 所以切线方程为： 3x+y 4=0 故答案为： 3x+y 4=0 15曲线 y=x2 2x与直线 x= 1， x=l以及 x 轴所围图形的面积为 2 . 【考点】定积分在求面积中的应用 16 / 24 【分析】先根据题意画出区域，然后依据图形利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可 【解答】解：根据题意画出图形， 曲线 y=x2 2x，与直线 x= 1， x=1，以及 x 轴所围成的曲边梯形的面积为 =（） |+（ x2） |=2； 故答案为： 2 16观察下列等式 1=12， 12 22= 3， 12 22+32=6， 1222+32 42= 10照此规律，第 100个等式 12 22+32 42+ 1002= 5050 【考点】归纳推理 【分析】观察可得：等式的左边是连续正整数的平方差相加的形式，根据这一规律得第 100 个等式左边为 12 22+3242+992 1002，利用分组求和法、等差数列的前 n 项和公式求出左边式子的和 【解答】解： 观察下列等式： 12=1 12 22= 3 12 22+32=6 12 22+32 42= 10 17 / 24 当 n=100 时，左边 =（ 12 22） +（ 32 42） + （ 99） 2 1002 =（ 3+7+11+199 ） = = 5050， 故答案为： 5050 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17已知复数 z=（ 3m 2） +（ m 1） i， mR ， i 为虚数单位 （ 1）当 m=2时，求复数 z 的模 |z|； （ 2）若 z 表示纯虚数，求 m 的值； （ 3）在复平面内，若 z 对 应的点位于第三象限，求实数 m的取值范围 【考点】复数求模；复数的代数表示法及其几何意义 【分析】（ 1）将 m 代入，利用模的公式求 z 的模； （ 2）由于发生为纯虚数，得到实部为 0，虚部不为 0，求出m （ 3）利用第三象限的点的特征得到复数的实部和虚部都小于 0，解不等式 【解答】解：（ 1）当 m=2时， z=（ m 1） i+3m 2=4+i， 所以 （ 2）复数为纯虚数，则由 3m 2=0，且 m 10 得 m= （ 3） 3m 2 0， m 1 0 18 / 24 得 18 “ 中国式过马路 ” 存在很大的交通安 全隐患，某调查机构为了解路人对 “ 中国式过马路 ” 的态度是否与性别有关，从马路旁随机抽取 30 名路人进行了问卷调查，得到了如下列联表： 男性女性合计 反感 10 不反感 8 合计 30 已知在这 30 人中随机抽取 1 人抽到反感 “ 中国式过马路 ”的路人的概率是 （ ）请将上面的列联表补充完整（在答题卷上直接填写结果，不需要写求解过程），并据此资料判断是否有 95%的把握认为反感 “ 中国式过马路 ” 与性别有关？ （ ）若从这 30 人中的女性路人中随机抽取 2 人参加一活动，记反感 “ 中国式过马路 ” 的人数为 X，求 X 的分布列 附： k2=，其中 n=a+b+c+d P（ k2k0 ） 【考点】独立性检验的应用 【分析】（ I）根据在全部 30 人中随机抽取 1 人抽到中国式19 / 24 过马路的概率，做出中国式过马路的人数，进而做出男生的人数，填好表格再根据所给的公式，代入数据求出临界值，把求得的结果同临界值表进行比较，看出有多大的把握说明反感 “ 中国式过马路 ” 与性别是否有关 （ II）反感 “ 中国式过马路 ” 的人数为 X 的可能取值为 0，1， 2，通过列举得到事件数，分别计算出它们的概率，最后利用列出分布列，求出期望即可 【解答】解：（ ） 男 性女性合计 反感 10616 不反感 6814 合计 161430 设 H0：反感 “ 中国式过马路 ” 与性别与否无关 由已知数据得： 2= ， 所以，没有 95%的理由认为反感 “ 中国式过马路 ” 与性别有关 （ ） X 的可能取值为 0， 1， 2 P（ X=0） =， P（ X=1） =， P（ X=2） =， 所以 X 的分布列为： X012 20 / 24 19在二项式（ +） n 的展开式中，前三项系数成等差数列 （ I）求展开式中的常数项； （ ）求展开式中系数最大的项 【考点】二项式定理的应 用；二项式系数的性质 【分析】（ I）有条件利用等差数列的定义求得 n 的值，可得二项式（ +） n 的展开式的通项公式，在通项公式中，令 x 的幂指数等于零，求得 r 的值，可得展开式的常数项 （ ）设第 r+1项的系数最大，则由，求得 r 的值，可得系数最大的项 【解答】解：（ I）二项式（ +） n 的展开式中，前三项系数分别为 1， 再根据前三项系数成等差数列，可得 n=1+，求得 n=8或 n=1（舍去） 故二项式（ +） n 的展开式的通项公式为 Tr+1=2rx4 r 令 4 r=0，求得 r=4，可得展开式的常数项为 T5= （ ）设第 r+1项的系数最大，则由，求得，即 2r3 ， 故 r=2或 r=3，故第三项或第四项的系数最大，再利用通项公式可得系数最大的项为 T3=7x2， T4=7x 20某小区物业加强对员工服务宗旨教育，服务意识和服务21 / 24 水平不断提高，某服务班组经常收到表扬电话和表扬信设该班组一周内收到表扬电话和表扬信的次数用 X 表示，据统计，随机变量 X 的概率分布如下： X0123 （ 1）求 a 的值和 X 的数学期望； （ 2）假设某月第一周和第二周收到表扬电 话和表扬信的次数互不影响，求该班组在这两周内共收到表扬电话和表扬信2 次的概率 【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列 【分析】（ 1）由随机变量 X 的概率分布列性质能求出 a=，由此能求出 X 的数学期望 （ 2）利用相互独立事件概率乘法公式能求出该班组在这两周内共收到表扬电话和表扬信 2 次的概率 【解答】解：（ 1）由随机变量 X 的概率分布列性质得： +2a+a=1， 解得 a= X 的数学期望 EX=0+1+2+3= （ 2）该班组在这两周内共收到表扬电话和表扬信 2 次的 概率： p=+= 22 / 24 21已知函数 f（ x） =（ x 0），数列 an满足 a1=f（ x），an+1=f（ an） （ 1）求 a2， a3， a4 （ 2）猜想数列 an的通项公式，并用数学归纳法予以证明 【考点】数列递推式；数列的函数特性；数学归纳法 【分析】（ 1）根据 a1=f（ x）， an+1=f（ an），分别令 n=1， 2，3 即可求得 a2， a3， a4 （ 2）根据（ 1）可猜数列 an的通项公式，分两步用数学归纳法证明： 先证 n=1时的情形； 假设当 n=k时，结论成立，然后证明 n=k+1时成立即可得到结论； 【解答】解：（ 1）由 a1=f（ x）， an+1=f（ an）得： ，； （ 2）猜想数列 an的通项公式 证明：（ 1）当 n=1 时，结论显然成立； （ 2）假设当 n=k时，结论成立，即 则当 n=k+1时， 显然，当 n=k+1时，结论成立 由（ 1）、（ 2）可得，数列 an的通项公式 22已知函数 f（ x） =alnx+bx2+x（ a， b