2016年衡阳八中高一数学下学期竞赛试题（带答案）

1 / 9 2016年衡阳八中高一数学下学期竞赛试题（带答案） 本资料为 WoRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址莲 山课件 m 2016 年衡阳市八中高一数学竞赛试卷 一选择题（本大题共有 10 小题，每题只有一个正确答案，每题 5 分，共 50分） 1.集合的子集有（ c） A 4 个 B 8 个 c 16个 D 32个 2.在四边形 ABcD中，则（ D） 3给出下列四个判断： （ 1）若，为异面直线，则过空间任意一点，总可以找到直线与，都相交； （ 2）对平面，和直线，若，则； （ 3）对平 面，和直线，若，则； （ 4）对直线，和平面，若，且过平面内一点，则 其中正确的判断有（ B） A 1 个 B 2 个 c 3 个 D 4 个 4.一个四棱锥的三视图如图所示，其侧视图是 等边三角形，该四棱锥的体积是 （ A ） 2 / 9 正视图 侧视图 A 俯视图 5已知，且，函数的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于，则的值为（ B） A B c D 6设，则（ c） A B c D 7函数（ A ） A 是 偶函数但不是奇函数 B 是奇函数但不是偶函数 c 既是偶函数又是奇函数 D 既不是偶函数也不是奇函数 8已知函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ A） 9.设圆上有且只有两点到直线的距离等于 1,则圆的半 径的取值范围是 (c) 10定义，已知 则的零点个数可能为 (D) A B c D 函数的零点个数，即函数与交点的个数，根据已知图象可得或而即或，分别有 2 个解，而即或，分别有 2 个解， 1 个解，3 / 9 所以的零点个数可能为 2+2+2+1=7，故选择 D 二填空题（本大题共有 5 小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空 5 分，共 25分） 1已知直线：的倾斜角为，若，则的取值范围为。 2.已知底面是边长为 2 的正方形的四棱锥的顶点都在球的表面上，且平 面若 ,则球的表面积为 _ 3若直线与曲线有 2 个不同的公共点，则实数的取值范围是 _ 4.如果，那么 . 5.已知为平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最小值为 由题意可得，因为为平面内两个互相垂直的单位向量。所以即，所以可得，令，此方程有实根，由， 即 三解答题（本大题共有 6 小题，共 75分） 16.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为的中点， 平面，为的中点 (1)证明平面； (2)求直线与平面所成角的正切值 4 / 9 17在中，已知点，且它的内切圆的方程为，求点的坐标。 【答案】易知直线于圆相切，直线、的斜率存在。 设直线的方程为，即。 由直线与圆相切，知，解得。 直线的方程为。 设直线的方程为，即。 由直线与圆相切，知，解得。 直线的方程为。 由，解得。 点的坐标 为。 18在的边上分别有一点，已知，连接，设它们交于点，若 （ 1）用与表示； （ 2）若，与夹角为，过作交于点，用与表示 【答案】（ 1） =+（ 2） =+ 【解析】 试题分析：（ 1）由题意知 =， =，从而由 A， R， Q 三点共线可得 =+=+m（） =（ 1 m） +m，同理化简可得 =+（ 1 n），从而解得； （ 2）由 A， H， B 三点共线可得 =+ （ 1 ）， =（ ） +（ ），结合 =0 解得即可 解：（ 1） =， =， 5 / 9 由 A， R， Q 三点共线，可设 =m 故 =+=+m=+m（） =+m（） =（ 1 m） +m 同理，由 B， R， P 三点共线，可设 =n 故 =+=+n（） =+（ 1 n） 由于与不共线，则有解得 =+ （ 2）由 A， H， B 三点共线，可设 = ， 则 =+ （ 1 ）， = =（ ） +（ ） 又 ， =0 （ ） +（ ） （） =0 又 =|cos60=1 ， = ， =+ 19已知集合 m 是满足下列性质的函数的全体：在定义域内存在，使得成立 （ 1）若函数，求实数的取值范围； （ 2）若函数，试证明： . 解：（ 1）因为函数，存在，使得 即有实根 6 / 9 故当时，符合题意； 当时，由得：，得且 综上： （ 2）函数时， 因为是单调递增函数，且， 故存在，使得成立，即 20函数 （ 1）当时，求的单调递增区间； （ 2）若恒成立，求的取值范围 【答案】（ 1）；（ 2） 【解析】 试题分析：（ 1）根据，同时设，得到函数，根据复合函数的单调性，在上单调递减，所以在上单调递减才是函数的单调递增区间，所以令，解得的取值范围； （ 2）将不等式范围转化为，再利用基本不等式求函数的最大值，得到的取值范围 试题解析：（ 1）令， 记，在上单调递增，在上单调递减 又在上单调递减令，解得 故函数的单调递增区间为 （ 2）由 1 得 7 / 9 即 ，等号成立时 故 4 的最大值是 从而 21已知分别是直线和上的两个动点，线段的长为，是的中点 （ 1）求动点的轨迹的方程； （ 2）若过点的直线与曲线交于不同两点 当时，求直线的方程； 设点是轴上一点，求当恒为定值时点的坐标及定值 【答案】（ 1）；（ 2） ； ，定值 【解析】 试题分析：（ 1）设点，通过是的中点，的距离，列出方程即可求动点的轨迹的方程；（ 2） 若过点的直线与曲线交于不同两点，分直线的斜率存在和斜率不存在时两种情况讨论，根据和点到直线的距离，分别列出方程求解的值，从而求得直线的方程； 当直线的斜率存在时，设其斜率为，则的方程为，由消去得 ，由韦达定理及 ，确定为定值，当直线的斜率不存在，求出，得到，即可恒定值时的坐标及定值 试题解析： (1)设 D(x， y)， A(a， a)， B(b， b), 8 / 9 D 是 AB 的中点， x ， y， |AB| 2， (a b)2(a b)2 12， (2y)2 (2x)2 12， 点 D 的轨迹 c 的方程为 x2 y23. (2) 当直线 l 与 x 轴垂直时， P(1， )， Q(1， )， 此时 |PQ| 2，不符合题意； 当直线 l 与 x 轴不垂直时，设直线 l 的方程为 y k(x 1)， 由于 |PQ| 3，所以圆心 c 到直线 l 的距离为， 由，解得 k .故直线 l 的方程为 y (x 1). 当直线 l 的斜率存在时，设其斜率为 k，则 l 的方程为 y k(x 1)， 由消去 y 得 (k2 1)x2 2k2x k2 3 0， 设 P(x1， y1)， Q(x2， y2)则由韦达定理得 x1 x2， x1x2， 则 (m x1， y1)， (m x2， y2)， (m x1)(m x2) y1y2 m2 m(x1 x2)x1x2 y1y2 m2 m(x1 x2) x1x2