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一道高考填空题的多解及思考 江西省万年中学(335500)李敏 今年全国高考数学新课标卷(理)填空压轴题是一道好题，尽管计算量有点大，很多学生不敢做导致得分率较低。笔者分析发现此题是解三角形的问题，只要明确思想，是很容易找到方法，快速解答的。 题目在平面四边形ABCD中，A=B=C=75，BC=2，则AB的取值范围是（xx全国新课标理科16题）。 分析1：将线段AB用某一个变量表示，即AB=f(x),然后根据变量x范围和函数f(x)性质（单调性、奇偶性等）确定f(x)的值域，即线段AB长度的取值范围。对于变量的选取可以是角度，图1也可以是边长x，因此，就有以下两种解法。 解法1：如图1，连接AC，设ACD=，则DAC=45，BAC=30+，ACB=75,(0,45)，在ABC中，由正弦定理得 2sin(30+)=ABsin(75),所以AB=2sin(75)sin(30+)=2cos(15+)sin(30+), 记=15+，则(15,60), AB=2cossin(15+)= 2cossin15cos+cos15sin=2sin15+cos15tan。 记f()=2sin15+cos15tan，易知f()在(15,60)上单调递减, 图262=f(60) 解法2：如图2，延长BA、CD交于M，由于ABC=DCB=75，则MB=MC，取BC中点O，连接MO，则MOBC，且OB=1，MB=MC=1sin15=6+2。设CD=x，x(0,6+2), 则MD=MCCD=6+2x, 在MAD中，MDsin105=MAsin45，即6+2xsin105=MAsin45， 解得MA=22(31)x,BA=62+(31)x。 记f(x)=62+(31)x,易知f(x)在(0,6+2)上递增, 62=f(0) 评注：以上两种解法利用了函数思想，在函数思想指导下，选取适当的变量进行表述。特别强调要注意变量的范围。 分析2：线段AB是几何图形，容易想到几何法求解，因此就有以下两种解法。 解法3：如图3，以BC中点为原点O，BC所在直线为x轴，BC中垂线为y轴建立直角坐标系。图3MBC=MCB=75,kMB=tan75=2+3，kMC=(2+3)，kAD= 33。 B(1,0)，C(1,0), LMB:y=(2+3)(x+1),LMC:y=(2+3)(x+1), D(a,(2+3)(a1)，a(0,1)，则 LAD:y=33(xa)(2+3)(a1), 由y=(2+3)(x+1), y=33(xa)(2+3)(a1)解得xA=(13)a。|AB|=1+k2MB|xAxB|=8+43|(13)a+1|=(6+2)|(13)a+1|。 a(0,1),23(13)a+11,23|(13)a+1|1, 62(6+2)|(13)a+1|6+2,即62|AB|6+2。 图4解法4：如图4，等腰MBC，NBC，MBC=MCB =BNC=BAD=75，所以，ADNC，由于BC=2，所以NB=2BCcos75=62，MB=6+2。点A在线段MN（不含端点）上，62=|NB|AB|MB|=6+2。 评注：数形结合是重要思想方法，也是高考考查的重点。数形结合的思想就是将数与形相互转换，即以形助数、以数助形，将数学