探索，猜想，论证

1 / 7 探索，猜想，论证 小学生学习数学的过程，是一种复杂的、有规律的、在教师引导下的认识过程。在教学中，可以结合具体教学内容，根据认知发生原理，按照“实验探索 猜想论证 应用推广”这一人类掌握数学的思维活动序列设计教学程序。现以“方圆率”一节练习课为例，谈小学数学教学设计。 一、实验探索 爱因斯坦说过，提出一个问题，往往比解决一个问题更为重要。在教学中，教师首先应该注意创设情境，让学生带着疑问积极思维，去“实验”、去“探索”、去“发现”。例如在讲授“方圆率”时，教师可设计以下步骤引导学生进行探索发现。 1.设疑引思 （ 1）右图正方形的面积是 25 平方厘米，求图中阴影部分的面积。附图 图 学生根据 5 5 25，可得知正方形边长是 5 厘米，同时还2 / 7 知圆的直径也是 5 厘米，于是圆的面积、阴影部分的面积均可求出。 （ 2）如果右上图正方形的面积是 10 平方厘米，求阴影部分的面积。 此题用上面的方法无法求出正方形的边长（圆的直径），也就是说在小学生现有的知识库中，无法找到现成的解答方法。怎么办呢？这时教师可引导学生另辟蹊径。 2.实验探索 组织学生按下面步骤进行实验探究 。 （ 1）计算全班分成四个小组，分别依次计算出边长是 1、2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9 厘米的正方形面积和直径是 1、 2、3、 4、 5、 6、 7、 8、 9 厘米的圆的面积，以及圆面积与正方形面积的百分比。 （ 2）汇报请各组选出代表汇报计算结果，并填好下表。 直径 12345 圆形面积边长 12345 正方形面积 1491625 圆面3 / 7 积占正方形面积的百分比 %直径 6789圆形面积边长 6789正方形面积 36496481圆面积占正方形面积的百分比 % （ 3）观察观察比较上表，学生初步 发现：如果圆的直径和正方形的边长相等，那么当取时，圆面积占正方形面积的百分比均为。 二、猜想论证 数学方法理论的倡导者 G.波利亚曾说过，在数学领域中，猜想是合理的、值得尊重的，是负责任的态度。他认为，在有些情况下，教猜想比教证明更为重要。他说，如果在学习数学时还有数学发现方面的什么事情可以做的话，就必须使学生有个提问题的机会，在这些问题中他得在一定水平上，首先是猜想，然后是证实一个数学事实。然而普通教科书不提供那样的机会。所以，在教学中当学生初步发现问题后，还要按照“问题反复思索联想、顿 悟提出假说验证结论”这个数学猜想的思维模式进行教学。例如教师在学生初步发现问题的基础上，可引导他们对上面的发现进行反复思索、分析概括，并由“圆周率”通过联想、顿悟后提出有关“方圆率”的猜想：如果圆的直径和正方形的边长相等，4 / 7 那么圆面积占正方形面积的比是一个固定的数。 最后再启发学生对这一猜想进行论证（直观的验证或逻辑的证明），使他们真正理解“方圆率”。 a 设正方形的边长为 a，则面积为 S,正 a2；圆的半径为，则 2a 圆的面积为 S,圆 （） 2。 2aa2（） 2 S,圆 24 S,圆 因为，所以，证毕。 S,正 a2a24S,正 4 三、应用推广 “读书是学习，使用也是学习，而且是更重要的学习。”教学中，当学生理解了所学的知识以后，教师还要引导他们将所学的东西用心消化，吸收到自己的知识系统中，吸收到学习者的整体智力结构中，使得这些知识能在更广泛的情境中得到应用和扩展。例如学生理解了“方圆率”以后，可设计出以下不同层次的练习题启发学生回答，这样可深化他们对知识的理解与掌握，培养了创造能力。 1.基本训练 5 / 7 已知右图正方形面积是 10 平方厘米，求阴影部分面积。附图 图 学生依据上面的规律，便可进行如下计算。附图 图 2.变式训练 （ 1）用硬纸做一个边长为 10 厘米的正方形和一个直径为10 厘米的圆，再将圆剪成两个半圆。 引导学生用两个半圆在正方形里摆各种图形。如：附图图 启发学生讨论，总结出求图中阴影部分面积的方法：S,阴 S,正 （ 1）。 （ 2）用硬纸做一个边长为 10 厘米的正方形和一个直径为10 厘米的 1 圆，再将圆剪成四个圆。 引导学生用四块圆在正方形内摆各种图形，如：附图 图 6 / 7 启发学生认真观察，讨论总结出求图中阴影部分面积的方法： S,阴 S,正 （ 1）。 3.拓展训练 （ 1）用硬纸做一个边长为 10 厘米的正方形，并在正方形内画一个最大的圆。 把这个正方形平均分成两等份（如图），启发学生讨论总结出每份图中阴影部分面积的求法：附图 图 把这个正方形平均分成四等份（如图），启发学生讨论总结出每份图中阴影部分面积的求法：附图 图 （ 2）用硬纸做若干个边长均为 10 厘米 的正方形，并在每个正方形内画一个最大的圆。 用这些小正方形摆成一个大正方形（如图），启发学生讨论总结出求图中阴影部分面积的方法：附图 图 用这些小正方形摆成一个长方形（如图），启发学生总7 / 7 结出求图中阴影部分面积的方法：附图 图 多年的教改实践结果显示：结合教材和学生实际，按照人的认识进化过程或发生过程，采用“再创造”的教学模式进行教