高中数学选修12常考题型：反证法.doc

反证法【知识梳理】1反证法假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这种证明方法叫做反证法2反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等【常考题型】题型一、用反证法证明否定性命题【例1】设函数f(x)ax2bxc(a0)中，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数求证：f(x)0无整数根证明假设f(x)0有整数根n，则an2bnc0(nZ)，而f(0)，f(1)均为奇数，即c为奇数，ab为偶数，则an2bnc为奇数，即n(anb)为奇数n，anb均为奇数，又ab为偶数，ana为奇数，即a(n1)为奇数，n1为奇数，这与n为奇数矛盾f(x)0无整数根【类题通法】1用反证法证明否定性命题的适用类型一般地，当题目中含有“不可能”“都不”“没有”等否定性词语时，宜采用反证法证明2反证法的一般步骤用反证法证明命题时，要从否定结论开始，经过正确的推理，导出逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程这个过程包括下面三个步骤：(1)反设假设命题的结论不成立，即假设原结论的反面为真；(2)归谬由“反设”作为条件，经过一系列正确的推理，得出矛盾；(3)存真由矛盾结果断定反设错误，从而肯定原结论成立即反证法的证明过程可以概括为：反设归谬存真【对点训练】设a，b，c，dR，且adbc1，求证：a2b2c2d2abcd1.证明：假设a2b2c2d2abcd1.因为adbc1，所以a2b2c2d2abcdbcad0，即(ab)2(cd)2(ad)2(bc)20，所以ab0，cd0，ad0，bc0，则abcd0，这与已知条件adbc1矛盾故假设不成立，所以a2b2c2d2abcd1.题型二、用反证法证明唯一性命题【例2】已知：一点A和平面.求证：经过点A只能有一条直线和平面垂直证明根据点A和平面的位置关系，分两种情况证明(1)如图，点A在平面内，假设经过点A至少有平面的两条垂线AB，AC，那么AB，AC是两条相交直线，它们确定一个平面，平面和平面相交于经过点A的一条直线a.因为AB平面，AC平面，a，所以ABa，ACa，在平面内经过点A有两条直线都和直线a垂直，这与平面几何中经过直线上一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾(2)如图，点A在平面外，假设经过点A至少有平面的两条垂线AB，AC(B，C为垂足)，那么AB，AC是两条相交直线，它们确定一个平面，平面和平面相交于直线BC，因为AB平面，AC平面，BC，所以ABBC，ACBC.在平面内经过点A有两条直线都和BC垂直，这与平面几何中经过直线外一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾综上，经过一点A只能有平面的一条垂线【类题通法】用反证法证明唯一性命题的适用类型(1)当证明结论是“有且只有”“只有一个”“唯一”等形式的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证明唯一性比较简单(2)证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个方面，即存在性问题和唯一性问题两个方面【对点训练】用反证法证明：过已知直线a外一点A有且只有一条直线b与已知直线a平行证明：由两条直线平行的定义可知，过点A至少有一条直线与直线a平行假设过点A还有一条直线b与已知直线a平行，即bbA，ba.因为ba，由平行公理知bb.这与假设bbA矛盾，所以假设错误，原命题成立.题型三、用反证法证明“至少”“至多”等存在性命题【例3】已知a1a2a3a4100，求证：a1，a2，a3，a4中至少有一个数大于25.证明假设a1，a2，a3，a4均不大于25，即a125，a225，a325，a425，则a1a2a3a425252525100，这与已知a1a2a3a4100矛盾，故假设错误所以a1，a2，a3，a4中至少有一个数大于25.【类题通法】常见“结论词”与“反设词”原结论词至少有一个至多有一个至少有n个至多有n个反设词一个也没有(不存在)至少有两个至多有(n1)个至少有(n1)个原结论词只有一个对所有x成立对任意x不成立反设词没有或至少有两个存在某个x不成立存在某个x成立原结论词都是一定是p或qp且q反设词不都是不一定是p且qp或q【对点训练】已知函数yf(x)在区间(a，b)上是增函数求证：函数yf(x)在区间(a，b)上至多有一个零点证明：假设函数yf(x)在区间(a，b)上至少有两个零点，设x1，x2(x1x2)为函数yf(x)在区间(a，b)上的两个零点，且x1x2，则f(x1)f(x2)0.因为函数yf(x)在区间(a，b)上为增函数，x1，x2(a，b)且x1x2，f(x1)f(x2)，与f(x1)f(x2)0矛盾，假设不成立，故原命题正确【练习反馈】1应用反证法推出矛盾的推导过程中，可以把下列哪些作为条件使用()结论的反设；已知条件；定义、公理、定理等；原结论ABC D解析：选C除原结论不能作为推理条件外其余均可2用反证法证明命题“a，bN，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除”，则假设的内容是()Aa，b都能被5整除 Ba，b都不能被5整除Ca不能被5整除 Da，b有1个不能被5整除解析：选B用反证法只否定结论即可，而“至少有一个”的反面是“一个也没有”，故B正确3下列命题适合用反证法证明的是_已知函数f(x)ax(a1)，证明：方程f(x)0没有负实数根；若x，yR，x0，y0，且xy2，求证：和中至少有一个小于2；关于x的方程axb(a0)的解是唯一的；同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交解析：是“否定”型命题；是“至少”型命题；是“唯一”型命题，且题中条件较少；中条件较少不足以直接证明，因此四个命题都适合用反证法证明答案：4已知平面平面直线a，直线b，直线c，baA，ca，求证：b与c是异面直线，若利用反证法证明，则应假设_解析：空间中两直线的位置关系有