xx届高考数学总复习考点推理与证明专项教案

1 / 11 XX 届高考数学总复习考点推理与证明专项教案 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 推理与证明 【学法导航】 了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用；体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理；了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点；了解间接证明的一种基本方法 -反证法；了解反证法的思考过程、特点。 解答推理问题时， 先明确出是哪种推理形式，显然归纳、演绎等推理方式在以往的学习中已经接触过，类比推理相对而言学生比较为陌生 .所以复习类比推理时应抓住两点：一是找出合理的类比对象，二是找出类比对象，再进一步找出两类事物间的相似性或一致性 . 解答证明题时，要注意是采用直接证明还是间接证明。在解决直接证明题时，综合法和分析法往往可以结合起来使用。综合法的使用是 “ 由因索果 ” ，分析法证明问题是 “ 执果索因 ” ，它们是两种思路截然相反的证明方法，分析法便于寻2 / 11 找解题思路，而综合法便于叙述，因此使用时往往联合使用。分析法要注意叙述的形式：要证 A，只要证明 B， B 应是 A 成立的充分条件。 复习反证法时，注意：一是 “ 否定结论 ” 部分，把握住结论的 “ 反 ” 是什么？二是 “ 导出矛盾 ” 部分，矛盾有时是与已知条件矛盾，有时是与假设矛盾，而有时又是与某定义、定理、公理或事实矛盾，因此要弄明白究竟是与什么矛盾 . 对于些难于从正面入手的数学证明问题，解题时可从问题的反面入手，探求已知与未知的关系，从而将问题得以解决。因此当遇到 “ 否定性 ” 、 “ 唯一性 ” 、 “ 无限性 ” 、 “ 至多 ” 、 “ 至少 ” 等类型命题时，宜选用反证法。 【专题综合】 推理是数学的基本思维过程 ,高中数学课程的重 要目标就是培养和提高学生的推理能力 ,因此本部分内容在高中数学中占有重要地位 ,是高考的重要内容 .由于解答高考试题的过程就是推理的过程 ,因此本部分内容的考查将会渗透到每一个高考题中 .在复习时 ,应注意理解常用的推理的方法 ,了解其含义 ,掌握其过程以解决具体问题 .因此 XX 年、 XX 年山东卷、广东卷、海南、宁夏卷没有单独考查此内容也在情理之中。 XX年的高考题中只有江苏卷、福建卷、浙江卷的高考试题中出现了合情推理与演绎推理的试题。但是，今后的高考中考查推理内容 ,最有可能把推理渗透到解答题中考查，因3 / 11 为解答与证明题本身就是一种 合情推理与演绎推理作为一种推理工具是很容易被解答与证明题接受的 . 1.与数列结合考察推理 例 1（ 09浙江文）设等差数列的前项和为，则，成等差数列类比以上结论有：设等比数列的前项积为，则，成等比数列 答案 【命题意图】此题是一个数列与类比推理结合的问题，既考查了数列中等差数列和等比数列的知识，也考查了通过已知条件进行类比推理的方法和能力 【解析】对于等比数列，通过类比，有等比数列的前项积为，则，成等比数列 2.与解析几何集合考察推理 例 2（ 03年上海）已知椭圆具有性质：若是椭圆 上关于原点对称的两个点，点是椭圆上的任意一点，当直线的斜率都存在时，则是与点位置无关的定值，试对双曲线写出具有类似特性的性质。 答案 :. 3.与立体几何结合考察推理 例 3 在 DEF 中有余弦定理： .拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱 ABc-的 3 个侧面面积与其中两个侧面所成二面角之间的关系式，并予以证明 . 4 / 11 分析根据类比猜想得出 . 其中为侧面为与所成的二面角的平面角 . 证明：作斜三棱柱的直截面 DEF，则为面与面所成角，在中有余弦定理：， 同乘以，得 即 【变式】类比正弦定理：如图，在三 棱柱 ABc A1B1c1 中，二面角 B AA1 c、 c BB1 A、 B cc1 A 所成的二面角分别为、，则有 证明：作平面 DEF 与三棱柱 ABc-A1B1c1 侧棱垂直，分别交侧棱 AA1， BB1， cc1于点 D， E， F，则 =， 在 DEF中，根据正弦定理得，即 而，且，因此 例 4(XX广东理 )如果一个凸多面体棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有 _条 .这些直线中共有对异面直线，则 12; .（答案用数字或的解析式表示） 4 构造数表考察推理 例 5（ XX湖南理）将杨辉三角中的奇数换成 1，偶数换成 0，得到如图 1 所示的 0-1 三角数表从上往下数，第 1 次全行的数都为 1 的是第 1 行，第 2 次全行的数都为 1 的是第 3行， ，第次全行的数都为 1 的是第行；第 61 行中 1 的个5 / 11 数是 32 第 1 行 11 第 2 行 101 第 3 行 1111 第 4 行 10001 第 5 行 110011 图 1 5.实际问题 例 6(XX年广东文 10).图 3是某汽车维修公司的维修点环形分布图公司在年初分配给 A、 B、 c、 D 四个维修点某种配件各 50件在使用前发现需将 A、 B、 c、 D 四个维修点的这 批配件分别调整为 40、 45、 54、 61件 ,但调整只能在相邻维修点之间进行那么要完成上述调整 ,最少的调动件次 (n 件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为 n)为 A 18B 17c 16D 15 【解析】很多同学根据题意发现 n=16 可行 ,判除 A,B 选项 ,但对于 c,D选项则难以作出选择 ,事实上 ,这是一道运筹问题 ,需要用函数的最值加以解决 .设的件数为 (规定 :当时 ,则 B调整了件给 A,下同 !),的件数为 ,的件数为 ,的件数为 ,依题意可得 ,从而 ,故调动件次 ,画出图像 (或绝对值的几何意义 )可得最小值为 16,故选 (c). 6 / 11 【答案】 :c 5.与其他章节知识结合考察证明 例 7(XX 年海南宁夏 21)设函数，曲线在点处的切线方程为y=3 （ 1）求的解析式： （ 2）证明：函数的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心； （ 3）证明：曲线上任一点的切线与直线 x=1 和直线 y=x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值 解：（ 1）， 于是解得或 因，故 （ 2）证明：已知函数，都是奇函数 所以函数也是奇函数，其图像是以原点为中心的中心对称图形而可知，函数的图像按向量平移，即得到函数的图像，故函数的 图像是以点为中心的中心对称图形 （ 3）证明：在曲线上任取一点 由知，过此点的切线方程为 令得，切线与直线交点为 令得，切线与直线交点为 直线与直线的交点为 7 / 11 从而所围三角形的面积为 所以，所围三角形的面积为定值 6.综合应用数学归纳法证明与正整数有关的问题 例 8(XX山东卷理 )等比数列 的前 n项和为，已知对任意的，点，均在函数且均为常数 )的图像上 . （ 1）求 r 的值； （ 11）当 b=2时，记 证明：对任意的，不等式成立 解 :因为对任意的 ,点，均在函数且均为常数的图 像上 .所以得 ,当时 ,当时 ,又因为 为等比数列 ,所以 ,公比为 , （ 2）当 b=2时， , 则 ,所以 下面用数学归纳法证明不等式成立 . 当时 ,左边 =,右边 =,因为 ,所以不等式成立 . 假设当时不等式成立 ,即成立 .则当时 ,左边 = 所以当时 ,不等式也成立 由 、 可得不等式恒成立 . 点评 :本题主要考查了等比数列的定义 ,通项公式 ,以及已知求的基本题型 ,并运用数学归纳法证明与自然数有关的命题 ,以及放缩法证明不等式 . 7.创新性问题 8 / 11 例 9（ XX北京理 )（本小题共 13分）已知集合，其中，由中的元 素构成两个相应的集合：， 其中是有序数对，集合和中的元素个数分别为和 若对于任意的，总有，则称集合具有性质 （ I）检验集合与是否具有性质并对其中具有性质的集合，写出相应的集合和； （ II）对任何具有性质的集合，证明：； （ III）判断和的大小关系，并证明你的结论 （ I）解：集合不具有性质 集合具有性质，其相应的集合和是， （ II）证明：首先，由中元素构成的有序数对共有个 因为，所以； 又因为当时，时，所以当时， 从而，集合中元素的个数最多为， 即 （ III）解：，证明如下： （ 1）对于，根据定义，且，从而 如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也至少有一个不成立 故与也是的不同元素 可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即， 9 / 11 （ 2）对于，根据定义，且，从而如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也不至少有一个不成立， 故与也是的不同元素 可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即， 由（ 1）（ 2）可知， 【专题突破】 1.观察下列数的特点 1， 2， 2， 3， 3， 3， 4， 4， 4， 4， 中 ,第 100项是 (c) （ A） 10（ B） 13（ c） 14（ D） 100 解析 .由规律可得 :数字相同的数依次个数为 1,2,3,4,n 由 100n 得 ,n=14,所以应选（ c） 2.在平面几何里，有勾股定理： “ 设 ABc 的两边 AB， Ac互相垂直，则 AB2+Ac2=Bc2” 拓展到空间，类比平面几何的勾股定理， “ 设三棱锥 A BcD 的三个侧面 ABc、 AcD、 ADB两两相互垂直，则可得 ” （ c） (A)AB2+Ac2+AD2=Bc2+cD2+BD2(B) (c)(D)AB2Ac2AD2=Bc2cD2BD 2 3.由 正方形的对角线相等； 平行四边形的对角线相等； 正方形是平行四边形，根据 “ 三段论 ” 推理出一个结论，则这个结论是（ A） (A)正方形的对角线相等 (B)平行四边形的对角线相等 10 / 11 (c)正方形是平行四边形 (D)其它 4.若数列 ， (nN) 是等差数列 ,则有数列 b=(nN) 也是等差数列，类比上述性质，相应地：若数列 c是等比数列 ,且c 0(nN), 则有 d=_(nN) 也是等比数列。 5.依次有下列等式：，按此规律下去，第 8 个等式为8+9+10+11+12+13+14+15+16+17