xx届高考数学数列的前n项和12

1 / 6 XX 届高考数学数列的前 n 项和 12 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 教案 6 数列的前 n 项和（ 1） 一、课前检测 1.（ 09年东城一模理 15）已知递增的等比数列满足 ,且是的等差中项 .() 求数列的通项公式 ;() 若 ,是数列的前项和 ,求使成立的的最小值 . 解 :（ ）设等比数列的公比为 ,依题意有 ,(1) 又 ,将 (1)代入得 .所以 . 于是有解得或 又是递增的 ,故 .所以 . (),. 故由题意可得 ,解得或 .又 , 所以满足条件的的最小值为 13. 二、知识梳理 （ 一）前 n 项和公式 Sn的定义： Sn=a1+a2+an 。 （二）数列求和的方法（共 8 种） 1.公式法： 1）等差数列求和公式； 2）等比数列求和公式；3）可转化为等差、等比数列的 数列； 4）常用公式 : （ 1）； （ 2）； 2 / 6 （ 3）； （ 4）。 2.分组求和法：把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合，使其转化成等差数列或等比数列，然后由等差、等比数列求和公式求解。 3.倒序相加法：如果一个数列 an，与首末两端等 “ 距离 ”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前 n 项和即可用 倒序相加法。如：等差数列的前 n 项和即是用此法推导的。 4.裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。 适用于其中 是各项不为 0 的等差数列， c 为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。如： 1）和（其中等差）可裂项为：； 2）。（根式在分母上时可考虑利用分母有理化，因式相消求和） 常见裂项公式： （ 1）； （ 2）； （ 3）； （ 4） （ 5）常见放缩公式： . 3 / 6 三、典型例题分析 题型 1 公式法 例 1（ XX年春季北京 17改编）数列 bn的通项公式为 bn=3n 1. （ 1）求数列 bn的前 n 项和 Sn的公式； （ 2）设 Pn=b1+b4+b7+b3n 2， Qn=b10+b12+b14+b2n+8 ，其中 n=1， 2， ，试比较 Pn 与 Qn的大小，并证明你的结论 . 解 :（ 1） Sn=n2+n. （ 2） b1， b4， b7， ， b3n 2 组成以 3d 为公差的等差数列， 所以 Pn=nb1+3d=n2 n； b10， b12， b14， ， b2n+8组成以 2d为公差的等差数列，b10=29， 所以 Qn=nb10+2d=3n2+26n. Pn Qn=（ n2 n）（ 3n2+26n） =n（ n 19） . 所以，对于正整数 n，当 n20 时， Pn Qn； 当 n=19时， Pn=Qn；当 n18 时， Pn Qn. 变式训练 1 等比数列的前项和 S 2 p，则_. 解： 1）当 n=1 时，； 2）当时，。 4 / 6 因为数列为等比数列，所以 从而等比数列为首项为 1，公比为 2 的等比数列。 故等比数列为首项为 1，公比为的等比数列。 小结与拓展： 1）等差数列求和公式； 2）等比数列求和公式；3）可转化为等差、等比数列 的数列； 4）常用公式 :（见知识点部分）。 5）等比数列的性质：若数列为等比数列， 则数列及也为等比数列，首项分别为、，公比分别为、。 题型 2 分组求和法 例 2 在数列中，已知 a1=2， an+1=4an 3n 1， n. （ 1）设，求数列的通项公式 ; （ 2）设数列的前 n 项和为 Sn，求 Sn。 解：（ 1） 且 为以 1 为首项，以 4 为公比的等比数列 （ 2） 变式训练 2（ XX年丰台期末 18）数列中，且点在函数的图象上 .（ ）求数列的通项公式；（ ）在数列中，依次抽取第 3， 4， 6， ， 项，组成新 数列，试求数列的通项及前项和 . 解：（ ） 点在函数的图象上， 。 5 / 6 ，即数列是以为首项， 2 为公差的等差数列， 。 （ ）依题意知： =. 小结与拓展：把数列的每一项分成多个项，再把数列的项重新组合，使其转化成等差数列或等比数列，然后由等差、等比数列求和公式求解。 题型 3 裂项相消法 例 3(武汉市 XX 届高三调研测试文科 )设数列的前 n 项和。（ 1）求数列的通项公式； (2)记，求数列前 n 项和 解：（ 1）数列的前 n 项之和 在 n=1时， 在时， 而 n=1时，满足 故所求数列通项 （ 2） 因此数列的前 n 项和 变式训练 3（ XX 年东城二模 19 改编）已知数列的前项和为，设（ ）证明数列是等比数列； 6 / 6 （ ）数列满足，求。 证明：（ ）由于， 当时， 得所以 又，所以 因为，且，所以 所以故数列是首项为，公比为的等比数列 解：（ ）由（ ）可知，则（） 小结与拓展：裂项相消法是把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。它适用于其中