xx届高考数学数列的综合应用知识梳理复习教案

1 / 8 XX 届高考数学数列的综合应用知识梳理复习教案 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 教案 67数列的综合应用 一、课前检测 1猜想 1=1,1-4=-(1+2),1-4+9=1+2+3, 的第 n 个式子为。 答案： 2用数学归纳法证明 ,在验证成立时 ,左边所得的项为(c) + 二、知识梳理 1.等差、等比数列的应用题常见于：产量增减、价格升降、细胞繁殖等问题，求利率、增长率等问题也常归结为数列建模问题。 生产部门中有增长率的总产量问题 .例如，第一年产 量为，年增长率为，则每年的产量成等比数列，公比为 .其中第年产量为，且过年后总产量为： 银行部门中按复利计算问题 .例如：一年中每月初到银行存元，利息为，每月利息按复利计算，则每月的元过个月后2 / 8 便成为元 .因此，第二年年初可存款： =. 注意： “ 分期付款 ” 、 “ 森林木材 ” 型应用问题 这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题 .但在求解过程中，务必 “ 卡手指 ” ，细心计算 “ 年限 ”. 对于 “ 森林木材 ” 既增长又砍伐的问题 ,则常选用 “ 统一法 ” 统一到“ 最后 ” 解决 . 利率问题： 单利问题：如零存整取储蓄 (单利 )本 利和计算模型：若每期存入本金元 ,每期利率为 ,则期后本利和为： (等差数列问题）； 复利问题：按揭贷款的分期等额还款 (复利 )模型：若贷款 (向银行借款 )元 ,采用分期等额还款方式 ,从借款日算起 ,一期 (如一年 )后为第一次还款日 ,如此下去 ,分期还清 .如果每期利率为（按复利），那么每期等额还款元应满足： (等比数列问题 ). 分期付款应用题：为分期付款方式贷款为 a 元； m 为m 个月将款全部付清；为年利率 . 2.将实际问题转化为数列问题时应注意： （ 1）分清是等差数列还是等比数列； （ 2）分清是求 an还是求 Sn，特别要准确地确定项数 n. 3.数列与其他知识的综合也是常考的题型，如：数列与3 / 8 函数、不等式、解析几何知识相互联系和渗透，都是常见的题型。 4.强化转化思想、方程思想的应用 . 三、典型例题分析 题型 1 以等差数列为模型的问题 例 1 由于美伊战争的影响，据估计，伊拉克将产生 60100万难民，联合国难民署计划从 4月 1日起为伊难民运送食品 .第一天运送 1000t，第二天运送 1100t，以后每天都比前一天多运送 100t，直到达到运送食品的最大量，然后再每天递减 100t，连续运送 15天，总共运送 21300t，求在第几天达到运送食品的最大量 . 剖析：本题实质上是一个等差数列的求通项和求和的问题 . 解：设在第 n 天达到运送食品的最大量 . 则前 n 天每天运送的食品量是首项为 1000，公差为 100 的等差数列 . an=1000+（ n 1） 100=100n+900. 其余每天运送的食品量是首项为 100n+800，公差为 100的等差数列 . 依题意，得 1000n+100+ （ 100n+800）（ 15 n） + （ 100） =21300（ 1n15 ） . 整理化简得 n2 31n+198=0. 4 / 8 解得 n=9或 22（不合题意，舍去） . 答：在第 9 天达到运送食品的最大量 . 变式训练 1 数列 an中， a1 6，且 an an 1 an1n n 1(nN* ， n2) ，则这个数列的通项 an _.答案： (n 1)(n 2) 解：由已知等式得 nan (n 1)an 1 n(n 1)(nN* ，n2) ，则 ann 1 an 1n 1，所以数列 ann 1是以 a12 3 为首项， 1 为公差的等差数列，即 ann 1 n 2，则 an (n 1)(n 2) n 1 时，此式 也成立 小结与拓展：对数列应用题要分清是求通项问题还是求和问题。 题型 2 以等比数列为模型的实际问题 例 2（ XX年春季上海， 20）某市 XX年底有住房面积 1200万平方米，计划从 XX 年起，每年拆除 20 万平方米的旧住房 .假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的 5%. （ 1）分别求 XX年底和 XX年底的住房面积； （ 2）求 2024 年底的住房面积 .（计算结果以万平方米为单位，且精确到） 剖析：本题实质是一个等比数列的求和问题 . 解 :（ 1） XX年底的住房面积为 5 / 8 1200（ 1+5%） 20=1240（万平方米）， XX年底的住房面积为 1200（ 1+5%） 2 20（ 1+5%） 20=1282（万平方米）， XX 年底的住房面积为 1240万平方米， XX年底的住房面积为 1282万平方米 . （ 2） 2024年底的住房面积为 1200（ 1+5%） 20 20（ 1+5%） 19 20（ 1+5%） 18 20（ 1+5%） 20 =1200（ 1+5%） 20 20 （万平方米）， 2024 年底的住房面积约为万平方米 . 评述：应用题应先建立数学模型，再用数学知识 解决，然后回到实际问题，给出答案 . 变式训练 2 从 2002 年 1 月 2 日起，每年 1 月 2 日到银行存入一万元定期储蓄，若年利率为 p，且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新一年的定期存款，到 XX 年 1月 1 日将所有存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数为_万元 . 答案：（ 1+p） 7（ 1+p） 解：存款从后向前考虑 （ 1+p） +（ 1+p） 2+ （ 1+p） 5 =（ 1+p） 7（ 1+p） . 6 / 8 注： XX年不再存款 . 小结与拓展：对数列应用题要分清是求通项问题还是求和问题。 题型 3 数列与函数、不等式等问题的综合应用 例 3(文 )在数列 an中， a1 1,3anan 1 an an 10(n2 ， nN) (1)试判断数列 1an是否为等差数列； (2)设 bn满足 bn1an，求数列 bn的前 n 项为 Sn； (3)若 an 1an 1 ，对任意 n2 的整数恒成立，求实数 的取值范围 解： (1)a10 ， an0 ， 由已知可得 1an 1an 13(n2) ，故数列 1an是等差数列 (2)由 (1)的结论可得 bn 1 (n 1)3 ，所以 bn 3n 2， Sn n(1 3n 2)2 n(3n 1)2. (3)将 an 1bn 13n 2 代入 an 1an 1 并整理得(1 13n 2)3n 1， (3n 1)(3n 2)3n 3，原命题等价于该式对任意n2 的整数恒成立 设 cn (3n 1)(3n 2)3n 3，则 cn 1 cn (3n 1)(3n 4)3n(n 1)0，故 cn 1cn， cn 的最小值为 c2 283， 的取值范围是 ( ， 283 变式训练 3 已知数列 an的前 n 项和为 Sn，对任意7 / 8 nN *都有 Sn 23an 13，若 1Sk1)，即 an (23an 13) (23an 1 13)23an 23an 1，整理得： anan 1 2， an 是首项为 1，公比为 2 的等比数列， Sk a1(1 qk)1 q ( 2)k 13， 1Sk9 ， 1( 2)k 139，即4( 2)k28，仅 当 k 4 时不等式成立 小结与拓展：数列的综合问题常与函数、方程、不等式等知识相互联系和渗透 . 四、归纳与总结（以学生为主，师生共同完成） 1.等差、等比数列的应用题常见于：产量增减、价格升降、细胞繁殖等问题，求利率、增长率等问题也常归结为数列建模问题