xx届高考数学第一轮立体几何专项复习-空间几何体的表面积

1 / 15 XX 届高考数学第一轮立体几何专项复习 :空间几何体的表面积 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 1 3 空间几何体的表面积和体积 1 3 1 空间几何体的表面积 【课时目标】 1进一步认识柱体、锥体、台体及简单组合体的结构特征，了解它们的有关概念 2了解柱体、锥体、台体的表面积的计算公式 3会利用柱体、锥体、台体的表面积公式解决一些简单的实际问题 1常见的几个特殊多面体的定义 (1)_的棱柱叫做直棱柱 (2)正棱柱是指底面为 _的直棱柱 (3)如果一个棱锥的底面是 _，并且顶点在底面的正投影是底面中心，我们称这样的棱锥为正棱锥正棱锥的侧棱长都相等 (4)正棱锥被 _的平面所截， _之间的部分叫做正棱台 2直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面展开图及侧面积 (1)直棱柱的侧面展开图是 _(矩形的长等于直棱柱的底面周长 c，宽等于直棱柱的高 h)，则 S 直棱柱侧2 / 15 _； (2)正棱锥的侧面展 开图是由各个侧面均为全等等腰三角形组成的图形 (正棱锥底面周长为 c，斜高为 h) ，则 S 正棱锥侧 _； (3)正棱台的侧面展开图是由各个侧面均为全等等腰梯形组成的图形， (正棱台的上、下底面周长分别为 c ， c，斜高为 h) ，则有： S 正棱台侧 _ 3圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是 _、_和 _ S 圆柱侧 2rl ， S 圆锥侧 12cl rl S 圆台侧 12(c c)l (r r)l 一、填空题 1用长为 4、宽为 2 的矩形做侧面围成一个高为 2 的圆柱，此圆柱的轴截面面积为 _ 2一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比为 _ 3中心角为 135 ，面积为 B 的扇形围成一个圆锥，若圆锥的全面积为 A，则 AB _ 4三视图如图所示的几何体的表面积是 _ 3 / 15 5一个长方体的长、宽、高分别为 9,8,3，若在上面钻一个圆柱形孔后其表面积没有变化，则孔的半径为 _ 6正六棱锥的高为 4cm，底面最长的对角线为 43cm，则它的侧面积为 _cm2 7底面是菱形的直棱柱，且侧棱长为 5，它的体对角线的长分别是 9 和 15，则这个棱柱的侧面积是 _ 8一个正四棱柱的体对角线的长是 9cm，全面积等于144cm2，则这个棱柱的侧面积为 _cm2 9如图 (1)所示，已知正方体面对角线长为 a，沿阴影面将它切割成两块，拼成如图 (2)所示的几何体，那么此几何体的表面积为 _ 二、解答题 10 已知正四棱台 (上、下底是正方形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心 )上底面边长为 6，高和下底面边长都是 12，求它的侧面积 11圆台的上、下底面半径分别为 10cm 和 20cm它的侧面展开图扇环的圆心角为 180 ，那么圆台的表面积是多少？(结果中保留 ) 12有一塔形几何体由 3 个正方体构成，构成方式如图所示，4 / 15 上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点已知最底层正方体的棱长为 2，求该塔形的表面积 (含最底层正方体的底面面积 ) 能力提升 13如图所示 ，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作 4 个全等的矩形骨架，总计耗用 9 6 米铁丝，再用 S 平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面 (不安装上底面 ) (1)当圆柱底面半径 r 取何值时， S 取得最大值？并求出该最大值 (结果精确到 0 01 平方米 )； (2)若要制作一个如图放置的、底面半径为 0 3 米的灯笼，请作出用于制作灯笼的三视图 (作图时，不需考虑骨架等因素 ) 1在解决棱锥、棱台的侧面积、表面积及体积问题时往往将已知条件归结到一个直角三角形中求解，为此在解此类问题时，要注意直角三角形的应用 2有关 旋转体的表面积的计算要充分利用其轴截面，就是说将已知条件尽量归结到轴截面中求解而对于圆台有时需要将它还原成圆锥，再借助相似的相关知识求解 1 3 空间几何体的表面积和体积 5 / 15 1 3 1 空间几何体的表面积 答案 知识梳理 1 (1)侧棱和底面垂直 (2)正多边形 (3)正多边形 (4)平行于底面 截面和底面 2 (1)一个矩形 ch (2)12ch (3)12(c c)h 3矩形 扇形 扇环 作业设计 1 8 解析 易知 2r 4，则 2r 4 ， 所以轴截面 面积 42 8 2 1 22 解析 设底面半径为 r，侧面积 42r2 ，全面积为 2r2 42r2 ，其比为： 1 22 3 118 解析 设圆锥的底面半径为 r，母线长为 l， 则 2r 34l ，则 l 83r，所以 A 83r2 r2 113r2 ， B 83r2 ， 得 AB 118 4 7 2 解析 图中的几何体可看成是一个底面为直角梯形的直棱柱直角梯形的上底为 1，下底为 2，高为 1，棱柱的高为 1可6 / 15 求得直角梯形的四条边的长度为 1,1,2， 2，表面积 S 表面2S 底 S 侧面 12(1 2)12 (1 1 2 2)1 7 2 5 3 解析 由题意知，圆柱侧面积等于圆柱上、下底面和，即2r3 2r2 ，所以 r 3 6 303 解析 由题意知，底面边长为 23cm， 侧棱长为 l 16 12 27cm， 斜高 h 28 3 5(cm)， S 侧 612235 303(cm2) 7 160 解析 设底面边长是 a，底面的两条对角线分别为 l1， l2，而 l21 152 52， l22 92 52，而 l21 l22 4a2，即 152 52 92 52 4a2， a 8， S 侧面积 ch 485 160 8 112 解析 设底面边长、侧棱长分别为 a、 l， a2 a2 l2 92a2 4al 144， a 4l 7， S 侧 447 112(cm2) 9 (2 2)a2 解析 由已知可得正方体的边长为 22a，新几何体的表面积为 S 表 222aa 422a2 (2 2)a2 7 / 15 10 解 如图， E、 E1 分别是 Bc、 B1c1 的中点， o、 o1 分别是下、上底面正方形 的中心，则 o1o 为正四棱台的高，则 o1o 12 连结 oE、 o1E1，则 oE 12AB 1212 6， o1E1 12A1B1 3 过 E1 作 E1HoE ，垂足为 H， 则 E1H o1o 12， oH o1E1 3， HE oE o1E1 6 3 3 在 RtE1HE 中， E1E2 E1H2 HE2 122 32 3242 32 3217 ， 所以 E1E 317 所以 S 侧 412(B1c1 Bc)E1E 2(12 6)317 10817 11解 如图所示，设 圆台的上底面周长为 c，因为扇环的圆心角是180 ， 故 c SA 210 ， 所以 SA 20， 同理可得 SB 40， 所以 AB SB SA 20， 8 / 15 S 表面积 S 侧 S 上 S 下 (r1 r2)AB r21 r22 (10 20)20 102 202 1100(cm2) 故圆台的表面积为 1100cm2 12解 易知由下向上三个正方体的棱长依次为 2， 2， 1 考虑该几何体在水平面的投影，可知其水平面的面积之和为下底面积最大正方 体的底面面积的二倍 S 表 2S 下 S 侧 222 422 (2)2 12 36 该几何体的表面积为 36 13解 由题意可知矩形的高即圆柱的母线长为 82r8 1 2 2r， 塑料片面积 S r2 2r(1 2 2r) r2 2 4r 4r2 3r2 2 4r 3(r2 0 8r) 3(r 0 4)2 0 48 当 r 0 4 时， S 有最大值 0 48 ，约为 1 51 平方米 (2)若灯笼底面半径为 0 3 米， 则高为 1 2 20 3 0 6(米 ) 制作灯笼的三视图如图 9 / 15 1 3 2 空间几何体的体积 【课时目标】 1了解柱、锥、台、球的体积公式 2会利用柱体、锥体、台体的体积公式解决一些简单的实际问题 1柱体、锥体、台体的体积 柱体： V _， V 圆柱 _ 锥体： V _， V 圆锥 _ 台体： V _， V 圆台 13h(r2 rr r2) 其中 S、 S 为底面面积， h 为高， r、 r 为底面半径 2球的表面积和 体积 S 球 _， V 球 _ 其中 R 是球的半径 一、填空题 1把球的表面积扩大到原来的 2 倍，那么体积扩大到原来的 _倍 2正方体的内切球和外接球的体积之比为 _ 3长方体的一个顶点上的三条棱长分别为 3,4,5，且它的 8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为 _ 4一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球半径的 3 倍，圆锥的高与球半径之比为 _ 10 / 15 5设某几何体的三视图如下 (尺寸 的长度单位为 m) 则该几何体的体积为 _m3 6棱长为 a 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为 _ 7已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切，若这个球的体积是 323 ，则这个三棱柱的体积是 _ 8若某几何体的三视图 (单位： cm)如图所示，则此几何体的体积是 _cm3 9圆柱形容器内盛有高度为 8cm 的水，若放入三个相同的球 (球的半径与圆柱的底面半径相同 )后，水恰好淹没最上面的球 (如图所示 )，则球的半 径是 _cm 二、解答题 10如图所示，在三棱柱 ABc A1B1c1 中， E、 F 分别为 AB、Ac 的中点，平面 EB1c1F 将三棱柱分成两部分，求这两部分的体积之比 11已知正三棱锥 V ABc 的主视图，俯视图如图所示，其中 VA 4， Ac 23，求该三棱锥的表面积与体积 能力提升 11 / 15 12有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为 r 的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度 13有三个球，第一个 球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比 1利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形，进行相关计算 2解决球与其他几何体的切接问题，通常作截面，将球与几何体的各量体现在平面图形中，再进行相关计算 3柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为 V 柱体 ShS SV 台体 13h(S SS S)S 0V 锥体 13Sh 4 “ 割补 ” 是求体积的一种常用策略，运用时，要注意弄清割补前后几何 体体积之间的数量关系 1 3 2 空间几何体的体积答案 知识梳理 1 Sh r2h 13Sh 13r2h 13(S SS S)h 12 / 15 2 4R2 43R3 作业设计 1 22 解析 由面积扩大的倍数可知半径扩大为原来的 2 倍，则体积扩大到原来的 22 倍 2 133 解析 关键要清楚正方体内切球的直径等于棱长 a，外接球的直径等于 3a 两球体积之比为 a3： (3a)3 133 3 50 解析 外接球的直径 2R长方体的体对角线 a2 b2 c2(a、 b、 c 分别是长、宽、高 ) 4 49 解析 设球半径为 r，圆锥的高为 h， 则 13(3r)2h 43r3 ，可得 hr 49 5 4 解析 由三视图可知原几何体是一个三棱锥，且三棱锥的高为 2，底面三角形的一边长为 4，且该边上的高为 3，故所求三棱锥的体积为 V 1312342 4m3 6 a36 解析 连结正方体各面中心构成的八面体由两个棱长为 22a的正四棱锥组成，正四棱锥的高为 a2，则八面体的体积为 V13 / 15 213(22a)2a2 a36 7 483 解析 由 43R3 323 ，得 R 2 正三棱柱的高 h 4 设其底面边长为 a，则 1332a 2， a 43 V 34(43)24 483 8 144 解析 此几何体为正四棱台与正四棱柱的组合体，而 V 正四棱台 13(82 42 8242)3 112， V 正四棱柱 442 32，故 V 112 32 144 9 4 解析 设球的半径为 rcm，则 r28 43r33 r26r 解得 r 4 10解 截面 EB1c1F 将三棱柱分成两部分，一部分是三 棱台 AEF A1B1c1，另一部分是一个不规则几何体，故可以利用棱柱的体积减去棱台的体积求得 设棱柱的底面积为 S，高为 h，则 AEF 的面积为 14S，由于V1 VAEF A1B1c1 13h(S4 S S2)712hS，剩余的不规则几何体的体积为 V2 V V1 hS712hS 512hS，所以两部分的体积之比为 V1V2 75 11解 14 / 15 由主视图与俯视图可得正三棱锥的直观图如图所示，且 VA VB Vc 4， AB Bc Ac 23， 取 Bc 的中点 D，连结 VD， 则 VD VB2 BD2 42 32 13， SVBc 12VDBc 121323 39， SABc 12(23)232 33， 三棱锥 V ABc 的表面积为 3SVBc