xx届高考数学第二轮数列备考复习教案

1 / 23 XX 届高考数学第二轮数列备考复习教案 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 XX届高考数学二轮复习资料 专题三数列（教师版） 【考纲解读】 1.理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项 . 2.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式，并能运用公式解答简单的问题 . 3.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式，并能运用公式解决简单的问题 . 【考点预测】 1.等差（比）数列的 基本知识是必考内容，这类问题既有选择题、填空题，也有解答题；难度易、中、难三类皆有 . 2.数列中 an与 Sn之间的互化关系也是高考的一个热点 . 3.函数思想、方程思想、分类讨论思想等数学思想方法在解决问题中常常用到，解答试题时要注意灵活应用 . 4.解答题的难度有逐年增大的趋势 ,还有一些新颖题型 ,如与导数和极限相结合等 . 因此复习中应注意： 1.数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来2 / 23 解决 .如通项公式、前 n 项和公式等 . 2.运用方程的思想解等差（比）数列，是常见题型，解决此类问题需要抓住基 本量 a1、 d（或 q），掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过 “ 设而不求，整体代入 ”来简化运算 . 3.分类讨论的思想在本章尤为突出 .学习时考虑问题要全面，如等比数列求和要注意 q=1和 q1 两种情况等等 . 4.等价转化是数学复习中常常运用的，数列也不例外 .如 an与 Sn的转化；将一些数列转化成等差（比）数列来解决等 .复习时，要及时总结归纳 . 5.深刻理解等差（比）数列的定义，能正确使用定义和等差（比）数列的性质是学好本章的关键 . 6.解题要善于总结基本数学方法 .如观察法、类比法、错位相减法、待定 系数法、归纳法、数形结合法，养成良好的学习习惯，定能达到事半功倍的效果 . 7数列应用题将是命题的热点，这类题关键在于建模及数列的一些相关知识的应用 . 【要点梳理】 1.证明数列是等差数列的两种基本方法：（ 1）定义法：为常数；（ 2）等差中项法： . 2.证明数列是等比数列的两种基本方法：（ 1）定义法： (非零常数 )；（ 2）等差中项法： . 3 / 23 3.常用性质 :(1)等差数列中 ,若 ,则 ; (2)等比数列中 ,若 ,则 . 4.求和 : (1)等差等比数列 ,用其前 n 项和求出 ; (2)掌握几种常见的求和方法 :错位相 减法、裂项相消法、分组求和法、倒序相加法 ; (3)掌握等差等比数列前 n 项和的常用性质 . 【考点在线】 考点 1 等差等比数列的概念及性质 在等差、等比数列中，已知五个元素或，中的任意三个，运用方程的思想，便可求出其余两个，即 “ 知三求二 ” 。本着化多为少的原则，解题时需抓住首项和公差（或公比）。另外注意等差、等比数列的性质的运用 .例如 （ 1）等差数列中，若，则；等比数列中，若，则 . （ 2）等差数列中，成等差数列。其中是等差数列的前 n 项和；等比数列中（），成等比数列。其中是等比数列的前 n项和； （ 3）在 等差数列中，项数 n 成等差的项也称等差数列 . （ 4）在等差数列中，； . 在复习时，要注意深刻理解等差数列与等比数列的定义及其等价形式 .注意方程思想、整体思想、分类讨论思想、数形结合思想的运用 . 4 / 23 例 1.(XX年高考重庆卷理科 11)在等差数列中，则 . 【答案】 74 【解析】，故 【名师点睛】本题考查等差数列的性质 . 【备考提示】：熟练掌握等差等比数列的概念与性质是解答好本类题的关键 . 考点 2 数列的递推关系式的理解与应用 在解答给出的递推关系式的数列问题时，要对其关系式进行适当的变形，转化为 常见的类型进行解题。如 “ 逐差法 ” 若且；我们可把各个差列出来进行求和，可得到数列的通项 . 再看 “ 逐商法 ” 即且，可把各个商列出来求积。 另外可以变形转化为等差数列与等比数列，利用等差数列与等比数列的性质解决问题 . 例 2.（ XX年高考四川卷文科 9)数列 an的前 n 项和为 Sn，若 a1=1,an+1=3Sn(n1), 则 a6=() （ A） 344 （ B） 344+1 (c)44（ D） 44+1 【答案】 A 【解析】由题意，得 a2=3a1=3.当 n1 时， an+1=3Sn(n1) ，5 / 23 所以 an+2=3Sn+1 ， - 得 an+2=4an+1，故从第二项起数列等比数列，则a6=344. 【名师点睛】本小题主要考查与的关系：，数列前 n 项和和通项是数列中两个重要的量，在运用它们的关系式时，一定要注意条件，求通项时一定要验证是否适合。解决含与的式子问题时，通常转化为只含或者转化为只的式子 . 【备考提示】：递推数列也是高考的内容之一 ,要熟练此类题的解法 ,这是高考的热点 . 练习 2.（ XX 年高考辽宁卷文科 5)若等比数列 an满足anan+1=16n，则公比为（） Z （ A） 2（ B） 4（ c） 8（ D） 16 【答案】 B 【解析】设公比是 q，根据题意 a1a2=16 ， a2a3=162 ， ，得 q2=16.因为 a12q=160,a120，则 q0，q=4. 考点 3 数列的通项公式与前 n 项和公式的应用 等差、等比数列的前 n 项和公式要深刻理解，等差数列的前n 项和公式是关于 n 的二次函数 .等比数列的前 n 项和公式（），因此可以改写为是关于 n 的指数函数，当时， . 例 3.(XX年高考江苏卷 13)设，其中成公比为 q的等比数列，成公差为 1 的等差数列，则 q 的最小值是 . 6 / 23 【答案】 【解析】由题意 ：， 【答案】 A 【解析】通过，设公比为，将该式转化为，解得 =-2，带入所求式可知答案选 A，本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前 n 项和公式 . 考点 4.数列求和 例 4.(山东省济南市 XX年 2月高三教学质量调研理科 20题 ) 已知为等比数列，；为等差数列的前 n 项和， . （ 1）求和的通项公式； （ 2）设，求 . 【解析】（ 1）设的公比为 ,由 ,得所以 设的公差为，由得 , 所以 （ 2） - 得： 所以 【名师点睛】本小题主要考查等比等差数列的通项公式及前n 项和公 式、数列求和等基础知识，考查运算能力、综合分7 / 23 析和解决问题的能力 . 【备考提示】：熟练数列的求和方法等基础知识是解答好本类题目的关键 . 练习 4.（ XX年高考山东卷文科 18） 已知等差数列满足：， .的前 n 项和为 . （ ）求及；（ ）令（） ,求数列的前 n 项和 . 【解析】（ ）设等差数列的公差为 d，因为，所以有 考点 5 等差、等比数列的综合应用 解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用 例 5 (XX 年高考浙江卷理科 19)已知公差不为 0 的等差数列 的首项 (),设数列的前 n 项和为，且，成等比数列（ ）求数列的通项公式及（ ）记，当时，试比较与的大小 . 当时，即； 所以当时，；当时， . 【名师点睛】本小题主要考查等差等比数列的通项与前 n 项和等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力 【备考提示】：熟练掌握等差等比数列的基础知识是解决本类问题的关键 . 练习 5.(XX年高考天津卷文科 20) 已知数列与满足 ,且 . 8 / 23 （ ）求的值 ; () 设 ,证明是等比数列 ; () 设为的前 n 项和 ,证明 . 【解析】（ ）由 ,可得 , 当 n=1时 ,由 ,得 ; 当 n=2时 ,可得 . () 证明 :对任意 ,- - - 得 :,即 ,于是 ,所以是等比数列 . () 证明 :,由 () 知 ,当且时 , =2+3(2+)=2+,故对任意 , 由 得所以 , 因此 ,于是 , 故 =, 所以 . 【易错专区】 问题：已知 ,求时 ,易忽视的情况 例 .（ XX年高考上海卷文科 21） 已知数列的前项和为，且， (1)证明：是等比数列； (2)求数列的通项公式，并求出使得成立的最小正整数 . 9 / 23 【考题回放 】 1.(XX年高考安徽卷文科 7)若数列的通项公式是 ,则（） （ A） 15(B)12(c)(D) 【答案】 A 【解析】法一：分别求出前 10项相加即可得出结论； 法二：，故 .故选 A. 2.（ XX年高考江西卷文科 5)设 为等差数列，公差 d=-2，为其前 n 项和 .若，则 =（） 【答案】 B 【解析】 . 3.(XX 年高考江西卷理科 5)已知数列 的前 n 项和满足：，且 =1那么 =（） A 1B 55 【答案】 A 【解析】因为 ,所以令 ,可得 ;令 ,可得 ;同理可得 , ,所以 =,故选 A. 4.(XX 年高考四川卷理科 8)数列的首项为，为等差数列且 .若则，则 () （ A） 0（ B） 3（ c） 8（ D） 11 【答案】 B 【解析】由已知知由叠加法 . 10 / 23 5（ XX年高考全国 卷文科 4）已知各项均为正数的等比数列 ， =5， =10，则 =（） (A)(B)7(c)6(D) 【答案】 A 【解析】由等比数列的性质知， 10,所以 ,所以 . 6（ XX 年高考全国卷 文科 6）如果等差数列中， +=12，那么 += （） （ A） 14(B)21(c)28(D)35 【 答案】 c 【解析】 ， 7.（ XX年高考安徽卷理科第 5 题）已知为等差数列， +=105，=99，以表示的前项和，则使得达到最大值的是高 .（） 【解析】设公比为 ,由已知得 ,即 ,因为等比数列的公比为正数，所以 ,故 ,选 B 9（ XX 年高考湖南卷文科第 3 题）设是等差数列的前 n 项和，已知，则等于 () A 13B 35c 49D 63 【答案】 c 【解析】故选 c. 或由 , 所以故选 c. 10.（ XX年高考福建卷理科第 3 题）等差数列的前 n 项和为，11 / 23 且 =6， =4，则公差 d 等于 () A 1Bc.-2D3 【答案】 c 【解析】 且 .故选 c 11（ XX年高考江西卷理科第 8 题）数列的通项，其前项和为，则为 () A B c D 【答案】 A 【解析】由于以 3 为周期 ,故 故选 A 12.（ XX年高考湖北卷文科 9)九章算术 “ 竹九节 ” 问题：现有一根 9 节的竹子，自下而下各节的容积成等差数列，上面 4 节的容积共 3 升，下面 3 节的容积共 4 升，则第 5 节的容积为（） 升 B.升 c.升 D.升 【答案】 D 【解析】设 9 节竹子的容积从上往下依次为 a1,a2,a9 ，公差为 d ，则有 a1+a2+a3+a4=3,a7+a8+a9=4, 即4a5-10d=3,3a5+9d=4,联立解得：，所以选 B. 13.(XX 年高考湖南卷理科 12)设是等差数列的前项和，且，则 . 12 / 23 【答案】 25 【解析】因为，所以，则 .故填 25 14.(XX年高考广东卷理科 11)等差数列前 9项的和等于前 4项的和 .若，则 . 【答案】 10 【解析】由题得 . 【解析】则 于是令得，则，时递增，令得，则，时递减，故是最大项，即 . 17.（ XX年高考江西卷文科 21)(本小题满分 14分） （ 1）已知两个等比数列，满足， 若数列唯一，求的值 ； （ 2）是否存在两个等比数列，使得成公差为 的等差数列？若存在，求的通项公式；若存在，说明理由 【解析】（ 1）要唯一，当公比时，由且， ，最少有一个根（有两个根时，保证仅有一个正根） ，此时满足条件的 a 有无数多个，不符合。 当公比时，等比数列首项为 a，其余各项均为常数 0，唯一，此时由，可推得符合 综上：。 （ 2）假设存在这样的等比数列，则由等差数列的性质可得：，整理得： 13 / 23 要使该式成立，则 =或此时数列，公差为 0 与题意不符，所以不存在这样的等比数列 . 18.（ XX年高考福建卷文科 17)（ 本小题满分 12 分） 已知等差数列 an中， a1=1， a3=-3. （ I）求数列 an的通项公式； （ II）若数列 an的前 k 项和 Sk=-35，求 k 的值 . 【解析】（ I）设等差数列 an的公差为 ,则 ,由，可得，解得 ,从而 . （ II）由（ I）可知 ,所以 ,由 Sk=-35，可得 , 即 ,解得或 ,又 ,故 . 19（ XX年高考湖南卷文科 20)（本题满分 13分） 某企业在第 1 年初购买一台价值为 120 万元的设备 m， m 的价值在使用过程中逐年减少，从第 2 年到第 6 年，每年初 m的价值比上年初减少 10 万元； 从第 7 年开始，每年初 m 的价值为上年初的 75% （ I）求第 n 年初 m 的价值的表达式； （ II）设若大于 80 万元，则 m 继续使用，否则须在第 n 年初对 m 更新，证明：须在第 9 年初对 m 更新 【解析】（ I）当时，数列是首项为 120，公差为的等差数列 因为是递减数列，所以是递减数列，又 所以须在第 9 年初对 m 更新 14 / 23 20.（ XX年高考四川卷文科 20)（本小题共 12分） 已知是以为首项， q 为公比的等比数列，为它的前项和 . （ ）当成等差数列时，求 q 的值； () 当，成等差数列时，求证：对任意自然 数也成等差数列 . 【解析】（ ）当时，因为成等差数列，所以，解得，因为，故； 当时，由成等差数列得，得，即， . 21（ XX年高考天津卷文科 22）（本小题满分 14 分） 在数列中， =0，且对任意 k，成等差数列，其公差为 2k. （ ）证明成等比数列；（ ）求数列的通项公式； （ ）记，证明 . 【解析】（ I）证明：由题设可知， .从而，所以，成等比数列 . （ II）解：由题设可得 所以 . 由，得，从而 . 所以数列的通项公式为或写为，。 （ III）证明：由（ II）可知， 以下分两种情况进行讨论： 15 / 23 （ 1）当 n 为偶数时，设 n=2m 若，则， 若，则 . 所以，从而 （ 2）当 n 为奇数时，设。 所以，从而 综合（ 1）和（ 2）可知，对任意有 22 (XX年高考北京卷文科 16)（本小题共 13分） 已知为等差数列，且，。 （ ）求的通项公式； （ ）若等差数列满足，求的前 n 项和公式 【解析】（ ）设等差数列的公差。 23 (XX年高考江西卷文科 22)（本小题满分 14 分） 正实数数列中，且成等差数列 （ 1）证明数列中有无穷多项为无理 数； （ 2）当为何值时，为整数，并求出使的所有整数项的和 【解析】证明：（ 1）由已知有：，从而， 16 / 23 方法一：取，则 用反证法证明这些都是无理数 假设为有理数，则必为正整数，且， 故，与矛盾， 所以都是无理数，即数列中有无穷多项为无理数； 方法二：因为，当得末位数字是 3,4,8,9 时，的末位数字是3 和 7，它不是整数的平方，也不是既约分数的平方，故此时不是有理数，因这种有无穷多，故这种无理项也有无穷多 （ 2）要使为整数，由可知：同为偶数，且其中一个必为 3的倍数，所以有或当时，有又必为偶 数，所以满足 即时，为整数；同理有 也满足 即时，为整数；显然和是数列中的不同项；所以当和时，为整数；由有， 由有 设中满足的所有整数项的和为，则 24.(XX 年高考浙江卷文科 19)（本题满分 14 分）设 a1， d为实数，首项为 a1，公差为 d 的等差数列 an的前 n 项和为Sn，满足 +15=0. （ ）若 =5，求及 a1；（ ）求 d 的取值范围 . 【解析】 () 解：由题意知 S6=-3, 17 / 23 A6=S6-S5=-8 所以解得 a1=7,所以 S6=-3,a1=7 () 解：因为 S5S6+15=0,所 以 (5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,即 2a12+9da1+10d2+1=0. 【解析】通过，设公比为，将该式转化为，解得 =-2，带入所求式可知答案选 A，本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前 n 项和公式 2 (XX 年高考安徽卷文科 5)设数列的前 n 项和，则的值为() （ A） 15(B)16(c)49（ D） 64 【答案】 A 【解析】 . 3（ XX年高考山东卷文科 7）设是首项大于零的等比数列，则 “” 是 “ 数列是递增数列 ” 的 () （ A）充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (c)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 【答案】 c 【解析】若已知，则设数列的公比为，因为，所以有，解得又，所以数列是递增数列；反之，若数列是递增数列，则公比且，所以，即，所以是数列是递增数列的充分必要条件。 4 (XX年高考江西卷文科 7)等比数列中，则 A B c D 18 / 23 5（ XX年高考辽宁卷文科 3）设为等比数列的前项和，已知，则公比 () （ A） 3（ B） 4（ c） 5（ D） 6 【答案】 B 【解析】两式相减得， . 6（ XX年高考广东卷文科 4）已知数列 为等比数列，是 它的前 n 项和，若， 且与的等差中项为，则 S5=w() A 35B 33c 31D 29 7（ XX年高考重庆卷文科 2）在等差数列中，则的值为 () （ A） 5（ B） 6 （ c） 8（ D） 10 【答案】 A 【解析】由角标性质得，所以 =5. 8（ XX年高考湖北卷文科 7）已知等比数列 中，各项都是正数，且，成等差数列，则 () 【答案】 c 二填空题： 13（ XX年高考北京卷文科第 10 题）若数列满足：，则 19 / 23 ；前 8 项的和 .（用数字作答） 【答案】 255 【解析】， 易知 . 14（ XX年高考辽宁卷文科 14）设为等差数列的前项和，若，则。 【答案】 15 【解析】由 ,解得， 15 (浙江省温州市 XX 年高三第一次适应性测试理科 )已知数列是公比为的等比数列，集合，从中选出 4 个不同的数，使这 4 个数成等比数列，这样得到 4 个数的不同的等比数列共有 【答案】 【解析】以公比为的等比数列有 共组； 以公比为的等比数列有 共组； 以公比为的等比数列有共组 . 再考虑公比分别为的情形，可得得到 4 个数的不同的等比数列共有个 . 三解答题： 17.（ XX年高考山东卷理科第 20 题）（ 本小题满分 12分） 等比数列 的前 n 项和为，已知对任意的，点，均在函数的图像上 . 20 / 23 （ ）求 r 的值； (文科 )（ ）当 b=2时，记 ,求数列的前 n 项和 . (理科 )（ ）当 b=2时，记 ,证明：对任意的，不等式成立 【解析】 () 由题意知 :, 当时 , 由于且所以当时 ,是以为公比的等比数列 , 又 ,即解得 . (理科 )(), 当时 , 又当时 ,适合上式 , , 下面用数学归纳法