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第一章习题课电子课 件第一章习题课电子课 件 2008年年4月月8日星期二日星期二 贵州省黔西南民族师范高等专科学校数学系贵州省黔西南民族师范高等专科学校数学系 PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 第一章函数与极限第一章函数与极限 习 题 课习 题 课 PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 一、主要内容一、主要内容 （一）函数的定义（一）函数的定义 （二）极限的概念（二）极限的概念 （三）连续的概念（三）连续的概念 PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 函 数函 数 的定义的定义 函 数函 数 的定义的定义 函 数函 数 的性质的性质 单值与多值单值与多值 奇偶性奇偶性 单调性单调性 有界性有界性 周期性周期性 函 数函 数 的性质的性质 单值与多值单值与多值 奇偶性奇偶性 单调性单调性 有界性有界性 周期性周期性 反函数反函数 反函数反函数 隐函数隐函数 隐函数隐函数 反函数与直接反函数与直接 函数之间关系函数之间关系 反函数与直接反函数与直接 函数之间关系函数之间关系 基本初等函数基本初等函数 基本初等函数基本初等函数 复合函数复合函数 复合函数复合函数 初等函数初等函数 初等函数初等函数 双曲函数与双曲函数与 反双曲函数反双曲函数 双曲函数与双曲函数与 反双曲函数反双曲函数 （一）函数（一）函数 PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 1.函数的定义函数的定义函数的分类函数的分类 2.函数的性质函数的性质 有界、单调、奇偶、周期有界、单调、奇偶、周期 3.反函数反函数 4.隐函数隐函数 5.基本初等函数基本初等函数幂、指、反、对、三 幂、指、反、对、三 6.复合函数复合函数 7.初等函数初等函数 8.双曲函数与反双曲函数双曲函数与反双曲函数 PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 数列极限数列极限函数极限函数极限 axn n = lim Axf x = )(limAxf xx = )(lim 0 左右极限左右极限 左右极限左右极限 极限存在的极限存在的 充要条件充要条件 极限存在的极限存在的 充要条件充要条件 无穷大无穷大 无穷大无穷大 =)(limxf 两者的两者的 关系关系 两者的两者的 关系关系 无穷小无穷小 的性质的性质 无穷小无穷小 的性质的性质 极限的性质极限的性质 极限的性质极限的性质 求极限的常用方法求极限的常用方法 求极限的常用方法求极限的常用方法 无穷小无穷小 0)(lim=xf 判定极限判定极限 存在的准则存在的准则 判定极限判定极限 存在的准则存在的准则 两个重要两个重要 极限极限 两个重要两个重要 极限极限 无穷小的比较无穷小的比较 无穷小的比较无穷小的比较 等价无穷小等价无穷小 及其性质及其性质 等价无穷小等价无穷小 及其性质及其性质 唯一性唯一性 唯一性唯一性 （二）极限（二）极限 PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 1、极限的定义：、极限的定义： 定义定义“N 定义定义“ 定义定义“X 单侧极限单侧极限 2、无穷小与无穷大、无穷小与无穷大 无穷小； 无穷大； 无穷小与无穷大的关系无穷小； 无穷大； 无穷小与无穷大的关系 无穷小的运算性质无穷小的运算性质 3、极限的性质、极限的性质 四则运算、复合函数的极限四则运算、复合函数的极限 极限存在的条件极限存在的条件 PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 4、求极限的常用方法、求极限的常用方法 a.多项式与分式函数代入法求极限多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限消去零因子法求极限; c.无穷小因子分出法求极限无穷小因子分出法求极限; d.利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限; e.利用左右极限求分段函数极限利用左右极限求分段函数极限. 5、判定极限存在的准则、判定极限存在的准则 夹逼定理、单调有界原理夹逼定理、单调有界原理 PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 6、两个重要极限、两个重要极限 (1) 1 sin lim 0 = x x x (1) 1 sin lim 0 = x x x ; 1 sin lim= 某过程某过程 (2)e x x x =+ ) 1 1(lim(2)e x x x =+ ) 1 1(lim ex x x =+ 1 0 )1(lim.)1(lim 1 e=+ 某过程某过程 7、无穷小的比较、无穷小的比较 8、等价无穷小的替换性质、等价无穷小的替换性质 9、极限的唯一性、局部有界性、保号性、极限的唯一性、局部有界性、保号性 PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 （三）连续（三）连续 连续定义连续定义 0lim 0 = y x )()(lim 0 0 xfxf xx = 连续定义连续定义 0lim 0 = y x )()(lim 0 0 xfxf xx = 连续定义连续定义 0lim 0 = y x )()(lim 0 0 xfxf xx = 连续定义连续定义 0lim 0 = y x )()(lim 0 0 xfxf xx = 左右连续左右连续 左右连续左右连续 连续的连续的 充要条件充要条件 连续的连续的 充要条件充要条件 间断点定义间断点定义 间断点定义间断点定义 振振 荡荡 间间 断断 点点 无无 穷穷 间间 断断 点点 跳跳 跃跃 间间 断断 点点 可可 去去 间间 断断 点点 第一类第二类第一类第二类 在区间在区间a,b 上连续上连续 在区间在区间a,b 上连续上连续 连续函数的连续函数的 运算性质运算性质 连续函数的连续函数的 运算性质运算性质 初等函数初等函数 的连续性的连续性 初等函数初等函数 的连续性的连续性 非初等函数非初等函数 的连续性的连续性 非初等函数非初等函数 的连续性的连续性 连续函数连续函数 的 性 质的 性 质 连续函数连续函数 的 性 质的 性 质 PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 1、连续的定义、连续的定义 单侧连续连续的充要条件单侧连续连续的充要条件 闭区间的连续性闭区间的连续性 2、间断点的定义、间断点的定义 间断点的分类间断点的分类第一类、第二类第一类、第二类 3、初等函数的连续性、初等函数的连续性 连续性的运算性质 反函数、复合函数的连续性连续性的运算性质 反函数、复合函数的连续性 4、闭区间上连续函数的性质、闭区间上连续函数的性质 最值定理、有界性定理、介值定理、零点定理最值定理、有界性定理、介值定理、零点定理 PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 二、典型例题二、典型例题 例例1 ).( . 1, 0,2) 1 ()( xf xxx x x fxf 求求 其中其中设设= + 解解利用函数利用函数表示表示法的无关法的无关特特性性 , 1 x x t =令令, 1 1 t x =即即代入原代入原方方程程得得 , 1 2 )() 1 1 ( t tf t f =+ , 1 2 ) 1 1 ()( xx fxf = +即即 , 1 1 1 u u x = 令令 , 1 1 u x =即即代入代入上上式式得得 PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 , )1(2 ) 1 () 1 1 ( u u u u f u f = + , )1(2 ) 1 () 1 1 ( x x x x f x f = + 即即 解联立方解联立方程程组组 = + = + = + x x x x f x f xx fxf x x x fxf )1(2 ) 1 () 1 1 ( 1 2 ) 1 1 ()( 2) 1 ()( . 1 1 11 )( += xx xxf PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 例例2 求求下列下列极限极限 ) 1 1() 3 1 1)( 2 1 1(lim 222 n n L n n n n n 11 3 4 3 2 2 3 2 1 lim + = L原式原式 n n n 1 lim 2 1+ = 2 1 = )1|(|),1()1)(1)(1(lim 242 = a先设先设1 n a则则 01= n n n hah记记 得得由由 n n ha+=1 L+ +=+= 2 ! 2 )1( 1)1( nn n n h nn nhha n nh （整体和（整体和大大于部于部分分和）和） n a hn n n首先首先 n n hn+= 1记记 L+ +=+= 22 ! 2 )1( 1)1( nn n n h nn nhhn 2 ! 2 )1( 1 n h nn + n hn 2 0 2 += + a x a xxx n nn 有极限有极限证明证明设设 证证0 n x显然显然 a x a xx n nn += + )( 2 1 1 PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 )( 2 1 1n n nn x x a xx= + 0 2 1 2 = n n x xa 即即xn单调单调减，减，有有下下界界 故由故由单调有界原理单调有界原理得得存在存在 n n x lim 0lim= AAxn n ，则则设设 两边取两边取极限极限得得在在)( 2 1 1 n nn x a xx+= + )( 2 1 A a AA+= （舍（舍去去）解得解得aAaA=, PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 例例8 ).(, 1 )( lim , 2 )( lim,)( 0 2 3 xp x xp x xxp xp x x 求求 且且是是多项式多项式设设 = = 解解, 2 )( lim 2 3 = x xxp x Q ),(2)( 23 为待为待定系数定系数其中其中可设可设babaxxxxp+= , 1 )( lim 0 = x xp x Q又又 )0(2)( 23 +=xxbaxxxxp . 1, 0=ab从而得从而得xxxxp+= 23 2)(故故 PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 例例9 )0( , 0lim 2 =+ + a xcbxax x 求求若若 解解0lim 2 =+ + xcbxax x Q 0lim 2 = + + x xcbxax x + + + x x x cbxax x 2 lim 0lim 2 = += + xx c x b a x PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 a= xcbxax x += + 2 lim xacbxax x += + 2 lim xacbxax cbx x + + = + 2 lim a x c x b a x c b x + + = + 2 lim a b 2 = PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 例例10 求求下列下列极限极限 x x x 1)1( lim 0 + x e x x 1 lim )1ln( 0 = + )1ln(1( )1ln( xe x + + x x x )1ln( lim 0 + = = xx 1)1(+ xx xe x x sin sin lim 0 xx e e xx x x sin 1 lim sin sin 0 = 1= PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 x x x 2sin tan lim 2 1 2 lim= x x x 只记住了重要极限的形式，而没有掌握其实质只记住了重要极限的形式，而没有掌握其实质 x x x 2sin tan lim )22sin( )tan( lim 0 t t xt t = 令令 t t t 2sin tan lim 0 = 2 1 2 lim 0 = t t t 例例11 1, 0 )1)( )(, = = xx xax bx xfba ，有有可可去间断点去间断点间断点间断点 有无穷有无穷的的值，使值，使确确定定 PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 解解 因因f(x)在在x=0处为无穷间断，即处为无穷间断，即 = )(lim 0 xf x bx xax xf xx = )1)( lim )( 1 lim0 00 bx ax x = 0 lim0, 0=ba 又又x=1为可为可去间断去间断，存在存在故故)(lim 1 xf x )(lim1 1 bxb x = )1)()(lim 1 = xaxxf x )1)(lim)(lim 11 = xaxxf xx 0= 1=b PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 例例12 则则有间断点有间断点连续函数连续函数，且，且 为为有定义有定义在在和和设设 ,)(, 0)( )(,),()()( xxf xfxxf + 必有间断点必有间断点)(.xfA必有间断点必有间断点)(.xfB 必必有间断点有间断点 )( )( . xf x C 必必有间断点有间断点)(. 2 xD = = = 01 01 )(. 01 01 )(,)(. 01 01 )(,)(. | x x xD x x xexfB x x xexfA x x PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 ，则则满足满足与与设设数数列列0lim= nn n nn yxyx 必发散必发散收敛，收敛， nn yxA. 必有界必有界无界，无界， nn yxB. 必为无穷小必为无穷小有界，有界， nn yxC. 必为必为无穷小无穷小为为无穷小无穷小， n n y x D 1 . ny n xC kn knn y knn kn xB n ynxA nn nn nn = += = = += = = = , 1 . 120 2 12 20 . 1 ,. 2 2 PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 例例13)(lim , 2 1 12sin)(1 lim 0 3 0 xf e xxf x x x = + 求求已知已知 解解 2 1 12sin)(1 lim 3 0 = + x x e xxf 由由 0)1(lim 3 0 = x x e而而 )12sin)(1(lim 0 + xxf x )1( 1 12sin)(1 lim 3 3 0 + = x x x e e xxf 02=0= 12sin)(1lim 0 =+ xxf x 02sin)(lim 0 = xxf x PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 从而由等价无穷小的代换性质得从而由等价无穷小的代换性质得 1 12sin)(1 lim2 3 0 + = x x e xxf x xxf x 3 2sin)( 2 1 lim 0 = x x xf x 2 2sin )(lim