


免费预览已结束,剩余22页可下载查看
下载本文档
版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领
文档简介
高等数学教案 第四章 不定积分 第四章 不定积分教学目的:1、 理解原函数概念、不定积分的概念。2、 掌握不定积分的基本公式,掌握不定积分的性质,掌握换元积分法(第一,第二)与分部积分法。3、 会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。教学重点:1、 不定积分的概念;2、 不定积分的性质及基本公式;3、 换元积分法与分部积分法。教学难点:1、 换元积分法;2、 分部积分法;3、 三角函数有理式的积分。4. 1 不定积分的概念与性质 一、原函数与不定积分的概念 定义1 如果在区间I上, 可导函数F(x)的导函数为f(x), 即对任一xI, 都有F (x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx, 那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的原函数. 例如 因为(sin x)=cos x , 所以sin x 是cos x 的原函数. 又如当x (1, +)时, 因为, 所以是的原函数. 提问: cos x和还有其它原函数吗? 原函数存在定理 如果函数f(x)在区间I上连续, 那么在区间I上存在可导函数F(x), 使对任一x I 都有F (x)=f(x). 简单地说就是: 连续函数一定有原函数. 两点说明: 第一, 如果函数f(x)在区间I上有原函数F(x), 那么f(x)就有无限多个原函数, F(x)+C都是f(x)的原函数, 其中C是任意常数. 第二, f(x)的任意两个原函数之间只差一个常数, 即如果F(x)和F(x)都是f(x)的原函数, 则F(x)-F(x)=C (C为某个常数). 定义2 在区间I上, 函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)(或f(x)dx )在区间I上的不定积分, 记作 . 其中记号称为积分号, f(x)称为被积函数, f(x)dx称为被积表达式, x 称为积分变量. 根据定义, 如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数, 那么F(x)+C就是f(x)的不定积分, 即. 因而不定积分可以表示f(x)的任意一个原函数. 例1. 因为sin x 是cos x 的原函数, 所以 . 因为是的原函数, 所以 . 例2. 求函数的不定积分. 解:当x0时, (ln x), (x0); 当x0时, ln(-x), (x0). 合并上面两式, 得到 (x0). 例3 设曲线通过点(1, 2), 且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍, 求此曲线的方程. 解 设所求的曲线方程为y=f(x), 按题设, 曲线上任一点(x, y)处的切线斜率为y=f (x)=2x, , 即f(x)是2x 的一个原函数. 因为 , 故必有某个常数C使f(x)=x 2+C, 即曲线方程为y=x 2+C. 因所求曲线通过点(1, 2), 故2=1+C, C=1. 于是所求曲线方程为y=x2+1. 积分曲线: 函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线. 从不定积分的定义, 即可知下述关系: , 或 ; 又由于F(x)是F (x)的原函数, 所以 , 或记作 . 由此可见, 微分运算(以记号d表示)与求不定积分的运算(简称积分运算, 以记号表示)是互逆的. 当记号与d 连在一起时, 或者抵消, 或者抵消后差一个常数. 二、基本积分表(1)(k是常数), (2), (3), (4), (5), (6), (7), (8), (9), (10), (11), (12), (13), (14), (15). 例4 . 例5 . 例6 . 三、不定积分的性质 性质1 函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和, 即 . 这是因为, =f(x)+g(x). 性质2 求不定积分时, 被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来, 即 (k是常数, k 0). 例7. . 例8 . 例9 . 例10 . 例11 . 例12 . 例13 = tan x - x + C . 例14 . 例15 . 4. 2 换元积分法 一、第一类换元法 设f(u)有原函数F(u), u=j(x), 且j(x)可微, 那么, 根据复合函数微分法, 有d Fj(x) =d F(u)=F (u)d u= F j(x) dj(x)= F j(x) j(x)d x ,所以 F j(x)j(x)dx= F j(x) dj(x)= F (u)d u= d F(u)=d Fj(x) , 因此 .即 =F(u) +C u = j(x) = Fj(x)+C. 定理1 设f(u)具有原函数, u=j(x)可导, 则有换元公式 . 被积表达式中的dx 可当作变量x的微分来对待, 从而微分等式j(x)dx =du可以应用到被积表达式中. 在求积分时, 如果函数g(x)可以化为g(x)= fj(x)j(x)的形式, 那么. 例1. =sin 2x+C . 例2. . 例3. . 例4. . 例5. =-ln|cos x|+C . 即 . 类似地可得. 熟练之后, 变量代换就不必再写出了. 例6. . 即 . 例7. . 例8. 当a0时, . 即 . 例9. . 即 . 例10. . 例11. . 含三角函数的积分: 例12. . 例13. . 例14. . 例15. . 例16. . 例17. =ln |csc x -cot x |+C . 即 =ln |csc x -cot x |+C . 例18. =ln |sec x + tan x | + C. 即 =ln |sec x + tan x | + C. 二、第二类换元法 定理2 设x =j(t)是单调的、可导的函数, 并且j(t)0. 又设f j(t)j(t)具有原函数F(t), 则有换元公式.其中t=j-1(x)是x=j(t)的反函数. 这是因为 . 例19. 求(a0). 解: 设x=a sin t , , 那么, dx =a cos t d t , 于是 . 因为, , 所以. 解: 设x=a sin t , , 那么 . 提示:, dx=acos tdt .提示: , . 例20. 求(a0). 解法一: 设x=a tan t, , 那么=a sec t , dx=a sec 2t d t , 于是= ln |sec t + tan t |+C . 因为, , 所以= ln |sec t + tan t |+C, 其中C 1=C-ln a . 解法一: 设x=a tan t, , 那么 =ln|sect+tant|+C , 其中C 1=C-ln a . 提示:=asect , dx=a sec 2t dt , 提示:, . 解法二: 设x=a sh t , 那么 ,其中C 1=C-ln a . 提示: =a ch t , dx =a ch t d t . 例23. 求(a0). 解: 当xa 时, 设x=a sec t (), 那么=a tan t , 于是= ln |sec t + tan t |+C . 因为, , 所以= ln |sec t + tan t |+C , 其中C 1=C-ln a . 当xa 时, 令x=-u , 则ua, 于是 , 其中C 1=C-2ln a . 综合起来有. 解: 当xa 时, 设x=a sec t (), 那么 ,其中C 1=C-ln a . 当x-a 时, 令x=-u , 则ua, 于是 , 其中C 1=C-2ln a . 提示:=atant .提示:, . 综合起来有 . 补充公式: (16),(17),(18),(19),(20),(21),(22),(23), (24). 4. 3 分部积分法 设函数u=u(x)及v=v(x)具有连续导数. 那么, 两个函数乘积的导数公式为(uv)=uv+uv, 移项得 uv=(uv)-uv. 对这个等式两边求不定积分, 得 , 或,这个公式称为分部积分公式. 分部积分过程:. 例1 =x sin x-cos x+C . 例2 . 例3 =x2ex-2xex+2ex+C =ex(x2-2x+2 )+C. 例4 . 例5 . 例6 . 例7 求. 解 因为 , 所以 . 例8 求. 解 因为 , 所以 . 例9 求, 其中n为正整数. 解 ; 当n1时,用分部积分法, 有 ,即 ,于是 .以此作为递推公式, 并由即可得. 例10 求. 解 令x =t 2 , 则 , dx=2tdt. 于 . . 第一换元法与分部积分法的比较: 共同点是第一步都是凑微分 , .哪些积分可以用分部积分法?, , ;, , ;, .,. 4. 4 几种特殊类型函数的积分 一、有理函数的积分 有理函数的形式: 有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数, 即具有如下形式的函数: ,其中m和n都是非负整数; a0, a1, a2, , an及b0, b1, b2, , bm都是实数, 并且a00, b00. 当nm时, 称这有理函数是真分式; 而当nm时, 称这有理函数是假分式. 假分式总可以化成一个多项式与一个真分式之和的形式. 例如. 真分式的不定积分: 求真分式的不定积分时, 如果分母可因式分解, 则先因式分解, 然后化成部分分式再积分. 例1 求. 解 =6ln|x-3|-5ln|x-2|+C. 提示: , A+B=1, -3A-2B=3, A=6, B=-5. 分母是二次质因式的真分式的不定积分: 例2 求. 解 . 提示: . 例3 求. 解 . 提示: . 二、三角函数有理式的积分 三角函数有理式是指由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数, 其特点是分子分母都包含三角函数的和差和乘积运算. 由于各种三角函数都可以用sin x 及cos x 的有理式表示, 故三角函数有理式也就是sin x 、cos x 的有理式. 用于三角函数有理式积分的变换: 把sin x、cos x表成的函数, 然后作变换: , . 变换后原积分变成了有理函数的积分. 例4 求. 解 令, 则, , x=2arctan u , . 于是 . 解 令, 则 . 说明: 并非所有的三角函数有理式的积分都要通过变换化为有理函数的积分. 例如, . 三、简单无理函数的积分 无理函数的积分一般要采用第二换元法把根号消去. 例5 求. 解 设, 即, 则 . 例6 求. 解 设. 即, 则 . 例7 求. 解 设x=t 6, 于是dx =6t 5d t , 从而 . 例8 求. 解 设, 即, 于是 . 练习 1. 求. 解: 作变换, 则有, , . 2. 求. 解: . 3. 求. 解: =7ln|x-2|-4ln|x-1|+C. 4.5积分表的使用 积分的计算要比导数的计算来得灵活、复杂. 为了实用的方便, 往往把常用的积分公式汇集成表, 这种表叫做积分表. 求积分时, 可根据被积函数的类型直接地或经过简单变形后, 在表内查得所需的结果. 积分表一、含有ax+b的积分123456789例1求. 解: 这是含有3x+4的积分, 在积分表中查得公式 . 现在a=3、b=4, 于是. 二、含有的积分123456789三、含x2a2的积分123四、含有ax2+b(a0)的积分1234567五、含有ax2+bx+c (a0)的积分六、含有 (a0)的积分123456789例3求. 解: 因为,
温馨提示
- 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
- 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
- 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
- 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
- 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
- 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
最新文档
- 2025年电商平台售后服务质量提升对售后服务评价体系的影响报告
- 2023年度冶金工业技能鉴定模拟试题及参考答案详解一套
- 住宅楼基础及地下室施工方案筏板基础剪力墙
- 市场调研公司合伙协议书模板
- 岩石爆破破坏机理课件
- 屋顶上的猫咪课件
- 小麦的秘密课件教学
- 小鸭子与小公鸡的课件
- 小鸭嘟嘟和向日葵课件
- 汽车美容店租赁合同范本(含品牌形象维护及更新)
- 政治校本课程
- 抽油机井示功图分析判断1
- GB/T 39141.3-2022无机和蓝宝石手表玻璃第3部分:定性标准和试验方法
- 特劳特《定位》PPT通用课件
- GB/T 1732-1993漆膜耐冲击测定法
- 二十四节气演讲稿
- GA/T 2000.7-2014公安信息代码第7部分:实有人口管理类别代码
- 2023年安徽国贸集团控股有限公司招聘笔试模拟试题及答案解析
- 初中作文指导-景物描写(课件)
- 植物灰分的测定
- 实验室资质认证评审准则最新版本课件
评论
0/150
提交评论