河北省邢台市2017版中考数学二轮模块复习三角形四边形有关的证明计算练习.docx

三角形四边形有关的证明计算一、证明题典例精讲例1. 已知：如图， AF平分BAC，BCAF， 垂足为E，点D与点A关于点E对称，PB分别与线段CF， AF相交于P，M（1）求证：AB=CD；（2）若BAC=2MPC，请你判断F与MCD的数量关系，并说明理由 解：（1）证明：AF平分BAC，CAD=DAB=BACD与A关于E对称，E为AD中点 BCAD，BC为AD的中垂线，AC=CD 在RtACE和RtABE中，注：证全等也可得到AC=CDCAD+ACE=DAB+ABE=90， CAD=DABACE=ABE，AC=AB 注：证全等也可得到AC=ABAB=CD （2）BAC=2MPC， 又BAC=2CAD，MPC=CADAC=CD，CAD=CDA， MPC=CDA MPF=CDMAC=AB，AEBC，CE=BE 注：证全等也可得到CE=BEAM为BC的中垂线，CM=BM （6分） 注：证全等也可得到CM=BMEMBC，EM平分CMB，（等腰三角形三线合一） CME=BME 注：证全等也可得到CME=BME BME=PMF，PMF=CME， MCD=F（三角形内角和）例2. 如图，在等腰ABC中,点D、E分别是两腰AC、BC上的点，连接AE、BD相交于点O，1=2（1）求证：OD=OE； （2）求证：四边形ABD是等腰梯形； （3）若AB=3DE, DCE的面积为2, 求四边形ABED的面积 1）证明：如图，ABC是等腰三角形，AC=BC ， BADABE，又AB=BA、21， ABDBAE（ASA），BD=AE，又，OA=OB， BD-OB=AE-OA，即：OD=OE (2)证明：由（1）知：OD=OE，OEDODE，OED=-DOE），同理：1=-AOB），又DOEAOB，1OED，DEAB， AD、BE是等腰三角形两腰所在的线段，AD与BE不平行，四边形ABED是梯形，又由（1）知ABDBAE，AD=BE梯形ABED是等腰梯形 （3）解：由（2）可知：DEAB，DCEACB，即：，ACB的面积=18，四边形ABED的面积=ACB的面积-DCE的面积=18-2=16 针对性训练1.已知：如图，在中 ，分别是边的中点，将绕点顺时针旋转角（），得到（如图）（1）探究与的数量关系，并给予证明；（2）当时，试求旋转角的度数2. 如图，中，AB=BC，于点E，于点D，AD与BE交于点F，连接CF.（1）求证：BF=2AE；（2）若，求AD的长.3. 如图，点A是线段BC上一点，ABD和ACE都是等边三角形.（1）连结BE，CD，求证：BE=CD；（2）如图，将ABD绕点A顺时针旋转得到.当旋转角为 度时，边边落在边AE上；在的条件下，延长交CE于点P，连接，.当线段AB，AC满足什么数量关系时，BDD与CPD全等？并给予证明.参考答案1. 1） 证明：分别是的中点， 是顺时针旋转得到 （2）旋转角2. （1）证明：，AD=BD.，.又，AC=BF.AB=BC，AE=EC，即AC=2AE.BF=2AE.（2）解：，DF=CD=.在中，CF=2.，AF=FC=2.AD=AF+DF=2+.3.（1）证明：ACE、ABD都是等边三角形.ABAD，AEAC，BADCAE60，BADDAECAEDAEBAEDAC，BAEDACBECD. （2）60，当AC2AB时，与全等，证明如下：由旋转可知与AD重合，四边形是菱形，ABD6030， .ACE是等边三角形， ACAE，ACE60，AC2AB，AE2AD，PCDACDACE30，.二、猜想、探究题典例精讲例1 如图（1），中，垂足为，平分，交于点，交于点（1）求证：将图（1）中的沿向右平移到的位置，使点落在边上，其它条件不变，如图（2）所示试猜想：与有怎样的数量关系？请证明你的结论（1）证明：平分，又于，（2）证明：如图，过点作于又平分，由平移的性质可知：，于，在与中，由（1）可知，例2 如图，ABC的边BC在直线上，ACBC，且AC=BC，DEF的边FE也在直线上，边DF与边AC重合，且DF=EF（1）在图（1）中，请你通过观察、思考，猜想并写出AB与AE所满足的数量关系和位置关系；（不要求证明）（2）将DEF沿直线向左平移到图（2）的位置时，DE交AC于点G，连结AE，BG猜想BCG与ACE能否通过旋转重合？请证明你的猜想解：（1）AB=AE, ABAE （2）将BCG绕点C顺时针旋转90后能与ACE重合（或将ACE绕点C逆时针旋转90后能与BCG重合），理由如下： ACBC，DFEF，B、F、C、E共线，ACB=ACE=DFE=90又AC=BC，DF=EF，DFE=D=45，在CEG中，ACE=90，CGE=DEF=90，CG=CE， 在BCG和ACE中BCGACE（SAS）将BCG绕点C顺时针旋转90后能与ACE重合（或将ACE绕点C逆时针旋转90后能与BCG重合）例3如图，和是两个全等的等腰直角三角形，的顶点与的斜边的中点重合将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，线段与射线相交于点（1）如图，当点在线段上，且时，求证：；（2）如图，当点在线段的延长线上时，求证：；并求当 ，时，、两点间的距离 （用含的代数式表示）证明：（1）点是等腰直角三角形斜边的中点，（1分），（2分）；（3分）（2），（4分），；（5分），（6分），即，（7分）（8分）在中针对性训练1.（1）操作发现：如图，D是等边ABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连结DC，以DC为边在BC上方作等边DCF，连结AF你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论（2）类比猜想：如图，当动点D运动至等边ABC边BA的延长线上时，其它作法与（1）相同 猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？（3）深入探究：如图，当动点D在等边ABC边BA上运动时（点D与点B不重合），连结DC，以DC为边在其上方、下方分别作等边DCF和等边DCF，连结AF、BF 探究AF、与AB有何数量关系？并证明你探究的结论如图，当动点D在等边ABC边BA的延长线上运动时，其它作法与图相同，中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论2. 在矩形ABCD中，已知ADAB在边AD上取点E，使AEAB，连结CE过点E作EFCE，与边AB或其延长线交于点F猜想：如图，当点F在边AB上时，线段AF与DE的大小关系为_；探究：如图，当点F在边AB的延长线上时，EF与边BC交于点G判断线段AF与DE的大小关系应用：如图，若AB2，AD5，利用探究得到的结论，求线段BG的长 图 图3. 已知四边形ABCD是正方形，等腰直角AEF的直角顶点E在直线BC上（不与点B，C重合），FMAD，交射线AD于点M.(1)当点E在边BC上，点M在边AD的延长线上时,如图，求证：AB+BE=AM；(提示：延长MF，交边BC的延长线于点H.)(2)当点E在边CB的延长线上，点M在边AD上时，如图；当点E在边BC的延长 线上，点M在边AD上时，如图.请分别写出线段AB，BE，AM之间的数量关系,不需要证明；(3)在(1)，(2)的条件下，若BE=，AFM =15，则AM = .参考答案1. 解（1）发现：（1分）证明：在等边中，在等边中，即，.（2分）(2)猜测：AF=BD（3分）(3)探究：）（5分）证明：同理可证.）（6分）证明：同理可证，又，.2.AFDE；AFDE；【解析】解：（1）猜想：AFDE；（2）探究：AFDE，理由如下：四边形ABCD是矩形，ADABC90，ABCD，AFEAEF90，EFCE，CEF90，AEFDEC90，DECAFE，AEAB，AECD，AFEDEC，AFDE（3）由（2）得AFEDEC，设DEx，AD5，AE5x2，AB2，ABAE，AE5x2，解得x3，AFDE3，FB1，四边形ABCD为矩形，AD/BC，即，3.证明略（2）如图:AM=AB-BE,如图:AM=BE-AB.(3)有两种情况，如图:AM=3- 如图:AM=-1【解析】解：（1）证明：AEB+HEF =90，AEB+BAE =90BAE =HEF。又B =H=90，AE=EF.BAEHEFEH=AB.AM=BH=BE+EH=BE+AB.