线性代数大一上学期考试复习.ppt

1,第一章 行列式,一. 排列与反序,二. n 阶行列式的定义,三. 行列式的性质,四. 行列式的计算,行列式的概念定义,行列式的基本性质及计算方法,2,一. 排列与反序,奇排列，偶排列,反序，反序数,二. n阶行列式的定义,例：34512,反序数：6,偶排列,例：五阶行列式，,带正号,3,三. 行列式的性质,性质1：行列式与它的转置行列式相等。,性质2：互换行列式的两行（列），行列式的值变号。,性质5：(i) 行列式某行（列）的元全为零；(ii) 行列式有两行（列）相同；(iii) 行列式有两行（列）的对应元素成比例，若上述条件之一满足，则行列式等于0 。,性质3：用数 k 乘行列式的某一行（列）中所有元素，等于用数 k 乘此行列式。,性质4：如果某一行（列）是两组数的和，则此行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行（列）以外全与原来行列式的对应的行（列）一样。,性质6：行列式的某一行（列）的所有元素乘以同一数k后再加到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变。,4,(1),(2),几个重要结论：,5,(3),上三角形行列式 （主对角线下侧元素都为0）,(4),下三角形行列式 （主对角线上侧元素都为0）,6,四. 行列式的计算,1. 利用行列式性质计算：,化为三角形行列式,2. 利用行列式按行按列展开定理，并结合行列式性质进行计算,化为箭形行列式,7,例1：,箭形行列式,对第 i 列,提出公因子 ai,8,9,例2：,按第1列展开,10,按第1列展开,第二章 矩阵,一. 矩阵概念,二. 矩阵的基本运算,三. 逆矩阵的计算,四. 矩阵的初等变换,12,简记为：,实矩阵: 元素是实数,数,一些特殊的矩阵：,零矩阵、行矩阵、列矩阵、方阵、 对角阵、单位阵,一. 矩阵概念,13,矩阵相等:,同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等,两个矩阵同型，且对应元素相等,矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）,数与矩阵相乘：,数 与矩阵 的乘积记作 或 ，规定为,矩阵与矩阵相乘：,规定,设,转置矩阵:,把矩阵 的行换成同序数的列得到的 新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作 或 .,二. 矩阵的基本运算,14,A是n 阶方阵，,方阵的幂：,方阵的多项式：,方阵的行列式：,满足:,15,定义：,唯一性： 若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的.,判定定理:,n阶方阵A可逆,且,满足规律：,三. 逆矩阵的计算,例: 已知,求：,_,16,2. 克莱姆法则（求解线性方程组）,1. 解矩阵方程,17,具体包括：对换变换、倍乘变换、倍加变换,四. 矩阵的初等变换,即，, 用初等行变换法求矩阵的逆矩阵,18,例: 设 且 ,求矩阵X.,解：,19,第三章 线性方程组,一. 向量组的线性相关性,线性相关，线性无关的定义和判定。,至少有一个向量可由其余 m-1 个向量线性表示,定理：向量组 线性相关,至少存在一组不全为零的m个数,使得等式,成立。,20,二. 向量组的秩、矩阵的秩及其求法,极大线性无关组：,矩阵的秩：矩阵的行秩矩阵的列秩，统称为矩阵的秩。,向量组的秩：一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩。,化成行阶梯形矩阵后，看非零行的行数。,如何求向量组或矩阵的秩,（将向量组写成）矩阵,初等行变换,行阶梯形矩阵,若向量组的一个部分组线性无关，但将,向量组中任何一个向量添加到这个线性无关的部分组中去，得到的都是线性相关的部分组，则称该线性无关部分组为 向量组的极大线性无关组。,21,例：判断下列向量组的线性相关性并求秩。 (1,0,0,2,5),(0,1,0,3,4),(0,0,1,4,7),(2,-3,4,11,12);,解 因为,所以, 向量组的秩等于4，故向量组线性无关.,化A为阶梯形，比较rA,n之间的关系,三. 线性方程组的求解,非齐次：,无穷多解,唯一解,齐次：,无穷多解,唯一解,（非零解）,四. 线性方程组解的结构,齐次：,基础解系解集合中的一个极大线性无关组,通解：,非齐次：,通解：,其中 为AX=b,化B为阶梯形，比较rA,rB,n之间的关系,（零解）,的一个特解； 是导出组的一个基础解系。,无解,23,解,例. 求下列齐次线性方程组的一个基础解系和通解:,24,所以, 方程组等价于,分别取,得一个基础解系为:,通解:,（ 为任意常数）,25,解,例. 求下列非齐次线性方程组的通解:,26,同解方程组为:,通解为:,27,二. n维线性空间，基底与坐标,三. 基底变换与坐标变换,一. 线性空间的概念,第四章 线性空间,线性空间，子空间,基底，维数，坐标；,如何求基底变换的过渡矩阵；,如何求基底变换下的坐标变换；,28,作业,(1)求由基底1,2,3到基底1,2,3的过渡矩阵;,在R3中有以下两组基底：,(2)已知向量在基1,2,3下的坐标为(1, 2, 3)T，求 在基1,2,3 下的坐标。,29,解：(1)基1, 2, 3到基1, 2, 3的过渡矩阵为,即：,30,在基1,2,3下的坐标为(-1/2, -7/2, 9/2)T.,(2),设在基1,2,3下的坐标为,31,例. 设,(1)在R3中求由基1, 2, 3到基1, 2, 3的过渡矩阵;,(2)求向量=(2, 5, 3)T在基1, 2, 3下的坐标.,(3)已知向量在基1, 2, 3下的坐标为(2, 5, 3)T，求 在基1, 2, 3下的坐标。,32,解：(1)基1, 2, 3到基1, 2, 3的过渡矩阵为,即：,33,在基1, 2, 3下的坐标为(2, -5, 10)T.,(2),34,在基1, 2, 3下的坐标为(8, -23, 36)T.,(3),设在基1,2,3下的坐标为,35,二. n维线性空间V中线性变换的矩阵,一. 线性变换的定义,第五章 线性变换,映射 变换 线性变换,1. 线性变换在给定基底下的矩阵,2. 线性变换在不同基底下的矩阵,相似变换,36,2. 已知R3中的线性变换 使得,求 T 在 下的矩阵.,其中：,37,解：,38,三. 矩阵的对角化,1. 矩阵的特征根与特征向量,定义:,设 是 阶方阵，,若数 和 维非零列向量 ，使得,成立，则称,是方阵 的一个特征根（值），,为方阵 的对应于特征值 的一个特征向量。,39,2. 特征根与特征向量的求法,求出 即为特征根;,把得到的特征根 代入上 式，,即为所求特征向量。,称为矩阵 的特征方程。,40,解：A的特征方程为,(-1)2(+1)0,所以A的特征值为1=2=1, 3=-1.,对1=2=1, 解方程(E-A)x=0, 由于,例: 求矩阵,特征根和全部特征向量， 并将其对角化。,即：,41,所以k11+k22(k1k20)是属于