天津市南开中学2014-2015学年高二(下)期中数学试卷.doc

天津市南开中学2014-2015学年高二（下）期中数学试卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（2015春天津校级期中）i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限考点：复数代数形式的乘除运算专题：数系的扩充和复数分析：化简复数为a+bi的形式，然后求出复数对应点，判断即可解答：解：复数=，复数对应点的坐标（）在第四象限故选：D点评：本题考查复数的几何意义，复数代数形式的混合运算，考查计算能力2（2015春天津校级期中）函数f（x）=2x34x 的单调递减区间是（）A（，）B（，）C（，）D（，）考点：利用导数研究函数的单调性专题：计算题；导数的综合应用分析：求出函数的导函数，令导函数小于0，求出x的范围，写成区间的形式即为函数的单调递减区间解答：解：因为f（x）=6x24=6（x+）（x），令f（x）0，解得x所以函数f（x）=2x34x 的单调递减区间（，）故选：C点评：本题考查根据导函数的符号与函数单调性的关系，求函数的单调区间，属于基础题3（2015春天津校级期中）某班级要从4名男生、3名女生以及3位任课教师中选派一位男生，一位女生，一位任课教师共3人参加社区服务，那么不同的选派方案的种数为（）A12B24C36D48考点：排列、组合及简单计数问题专题：排列组合分析：分别从从4名男生、3名女生以及3位任课教师哥各选一个，根据分步计数原理即可解决解答：解：分别从从4名男生、3名女生以及3位任课教师哥各选一个，故有C41C31C31=36种，故选：C点评：本题考查了分步计数原理，属于基础题4（2015春天津校级期中）设函数f（x）=x33ax2+3bx的图象与直线12x+y1=0 相切于点（1，11），则实数b的值是（）A1B1C3D3考点：利用导数研究曲线上某点切线方程专题：导数的概念及应用；直线与圆分析：由函数在切点处的导数值为切线斜率，切点在切线上，列方程即可解得解答：解：求导得f（x）=3x26ax+3b由于f（x）的图象与直线12x+y1=0相切于点（1，11），所以f（1）=11，f（1）=12，即：13a+3b=11，36a+3b=12，解得：a=1，b=3故选：D点评：本题考查导数的运用：求切线的斜率，运用导数的几何意义和正确求导是解题的关键5（2015春天津校级期中）已知点A（x1，f（x1），B（x2，f（x2）是函数f（x）=2x的图象上任意不同的两点，依据图象可知，线段AB总是位于A，B两点之间函数图象的上方，因此有结论f（）成立运用类比的思想方法可得下列结论（1）f（x）=sinx，（0x）有f（）成立（2）f（x）=lnx有f（）成立（3）f（x）=x3，（x0）有f（）成立（4）f（x）=tanx，（0x）有f（）成立其中，正确的结论的个数为（）A1个B2个C3个D4个考点：类比推理专题：综合题；推理和证明分析：根据函数y=2x的图象可知，此函数的图象是向下凹的，即可得到f（）成立，再根据函数图象的特征，即可类比得到相应的不等式解答：解：函数y=2x上任意两点A，B两点之间函数图象的上方，函数y=2x上的图象是向下凹的，可得不等式f（），据此，（1）y=sinx（x（0，）图象可以看出：y=sinx（x（0，）图象是向上凸的，故可知f（）成立，故不正确；（2）f（x）=lnx是向下凹的，有f（）成立，故不正确；（3）f（x）=x3，（x0）是向下凹的，有f（）成立，故正确；（4）f（x）=tanx，（0x）是向下凹的，有f（）成立，故正确故选：B点评：本题主要考查类比推理的知识点，还考查了数形结合思想，解答本题的关键是熟练掌握对数函数图象的凸凹性，常用方法是图象法6（2015春天津校级期中）已知函数f（x）=ax32x2+4x7在（，+）上既有极大值，也有极小值，则实数a的取值范围是（）AaBaCa且a0Da或a0考点：函数在某点取得极值的条件专题：计算题；导数的概念及应用分析：先对函数进行求导，根据函数f（x）=ax32x2+4x7在（，+）上既有极大值又有极小值，可以得到0，进而可解出a的范围解答：解：f（x）=ax32x2+4x7，f（x）=3ax24x+4函数f（x）=ax32x2+4x7在（，+）上既有极大值，也有极小值，=（4）243a40且a0a且a0故选：C点评：本题主要考查函数在某点取得极值的条件属基础题7（2015春天津校级期中）设f（x）=2|x|，则f（x）dx=（）ABCD考点：微积分基本定理专题：导数的概念及应用分析：原积分转化为=2xdx+2xdx，再根据定积分的计算法则计算即可解答：解：f（x）=2|x|，则f（x）dx=2xdx+2xdx=2x|+2x|=（14）+（161）=（3+15）=，故选：C点评：本题考查了定积分的计算，关键是求出原函数，属于基础题8（2015春天津校级期中）函数y=的最大值为（）AB1CD考点：函数的最值及其几何意义专题：函数的性质及应用分析：先求函数的定义域，然后两边平方，将式子整理为关于x的一元二次方程，该方程有解，则判别式非负构造出关于y的不等式，解得y的最值，并求出取得最值时对应的x的值是否在定义域内即可解答：解：由题意得2xx20得0x2，故定义域为0，2将原式两边平方整理后得：（y2+1）x2+（2y22）x+y2=0，该方程有实数解，所以=（2y22）24y2（y2+1）0解得将代入原方程得x=符合题意故故选：A点评：本题考查了判别式法求函数的值域，要注意取得最值时对应的自变量是否在函数的定义域内取值二、填空题：本大题共8个小题，每小题4分，共32分9（2015春天津校级期中）函数f（x）=xsin（2x+5）的导数为sin（2x+5）+2xcos（2x+5）考点：简单复合函数的导数专题：导数的概念及应用分析：根据导数的运算法则和复合函数的求导法则计算即可解答：解：f（x）=xsin（2x+5）+x（sin（2x+5）=sin（2x+5）+2xcos（2x+5），故答案为：sin（2x+5）+2xcos（2x+5），点评：本题考查了导数的运算法则和复合函数的求导法则，属于基础题10（2015春天津校级期中）f（x）=x34x+4的极大值点为x=2考点：利用导数研究函数的极值专题：导数的综合应用分析：先求导，再导数等于0，判断函数的单调性，得到函数的极值点解答：解：f（x）=x34x+4，f（x）=x24，令f（x）=0，解得x=2或x=2，当f（x）0时，解得x2或x2，函数单调递增，当f（x）0时，解得2x2，函数单调递减，当x=2时，函数有极大值，f（x）=x34x+4的极大值点为x=2，故答案为：2点评：本题考查了导数和函数的极值的关系，关键是判断函数的单调性，属于基础题11（2014春玉田县期中）已知2i3是关于x的方程2x2+px+q=0（其中p，qR）的一个根，则p+q=38考点：实系数多项式虚根成对定理专题：数系的扩充和复数分析：利用实系数的一元二次方程的虚根成对原理即可得出解答：解：2i3是关于x的方程2x2+px+q=0（其中p，qR）的一个根，2i3也是关于x的方程2x2+px+q=0（其中p，qR）的一个根2i3+（2i3）=，（2i3）（2i3）=解得p=12，q=26p+q=38故答案为：38点评：本题考查了实系数的一元二次方程的虚根成对原理，属于基础题12（2011清城区一模）函数y=2x33x212x+5在0，3上的最小值是15考点：利用导数求闭区间上函数的最值专题：计算题；导数的综合应用分析：先求导y=6x26x12=6（x2）（x+1），从而判断函数的单调性，再求最小值即可解答：解：y=6x26x12=6（x2）（x+1），则y=2x33x212x+5在0，2上单调递减，在2，3上单调递增，ymin=2834122+5=15故答案为：15点评：本题考查了导数的应用，属于基础题13（2015春天津校级期中）已知抛物线y2=2x上的点与A（0，6）距离最近的点的坐标为（2，2）；已知不等式3ax2lnx0对任意x0恒成立，则实数a的取值范围是，+）考点：抛物线的简单性质专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：设抛物线上一点P（y2，y），运用两点的距离公式，再求导数，求得单调区间，即可得到最小值点；运用参数分离，可得a（）max，令y=，求出导数，求得单调区间和最大值，即可得到a的范围解答：解：设抛物线上一点P（y2，y），令t=|PA|2=y4+（y6）2，由于t=y3+2y12，方程y3+2y12=0的解为y=2，当y2时，t0，当y2时，t0，即有y=2取得极小值，且为最小值则有所求点P（2，2）；不等式3ax2lnx0对任意x0恒成立，即为a（）max，令y=，y=，当xe时，y0，当0xe时，y0，即有x=e处函数y取得极大值，且为最大值，即有a，解得a故答案为：（2，2），+）点评：本题考查抛物线的方程和性质，主要考查导数的运用：求最值，运用参数分离和不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，属于中档题14（2013秋宣城期末）已知函数f（x）=x（xc）2在x=2处有极大值，则c=6考点：函数在某点取得极值的条件专题：导数的概念及应用分析：由已知函数f（x）=x（xc）2在x=2处有极大值，则必有f（2）=0，且在x=2的左侧附近f（x）0，右侧附近f（x）0，据此即可求出c的值解答：解：f（x）=（xc）2+2x（xc）=3x24cx+c2，且函数f（x）=x（xc）2在x=2处有极大值，f（2）=0，即c28c+12=0，解得c=6或2经检验c=2时，函数f（x）在x=2处取得极小值，不符合题意，应舍去故c=6故答案为6点评：熟练掌握利用导数研究函数的极值的方法是解题的关键15（2015春天津校级期中）给出下列四个命题：（1）对于任意的n4，nZ，2nn2（2）对于任意实数a，b，总有2（a2+b2）（a+b）2（3）+2（4）平面内的4条直线，最多将平面分割成11部分这四个命题中，真命题的序号为（1）、（2）、（3）、（4）考点：命题的真假判断与应用专题：综合题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；空间位置关系与距离分析：（1）n4，且nZ时，2nn2恒成立；（2）由基本不等式得出a2+b22ab，从而得2（a2+b2）（a+b）2成立；（3）用分析法证明+2成立；（4）画图表示平面内的4条直线，最多将平面分割成11部分解答：解：对于（1），任意的n4，nZ，都有2nn2，命题（1）正确；对于（2），任意实数a，b，总有a2+b22ab，2（a2+b2）a2+b2+2ab=（a+b）2，命题（2）正确；对于（3），若+2，则3+7+2，即5，2125，命题（3）成立；对于（4），平面内的4条直线，最多将平面分割成11部分，如图所示；命题（4）正确综上，以上正确的命题是（1）、（2）、（3）、（4）故答案为：（1）、（2）、（3）、（4）点评：本题考查了指数函数与幂函数的应用问题，也考查了基本不等式的应用问题，考查了不等式的证明与应用问题，考查了空间想象能力的应用问题，是综合性题目16（2015春天津校级期中）在区间0，1上给定曲线y=x2，如图所示，0t1，S1，S2是t的函数，则函数g（t）=S1+S2的单调递增区间为（，1）考点：定积分在求面积中的应用专题：导数的综合应用分析：首先利用定积分分别求出S1，S2，得到函数g（t），然后分析其单调性解答：解：由题意S1=（t2x）|=，S2=（）|=，所以g（t）=S1+S2=，g（t）=4t22t=2t（2t1），令g（t）0解得t或t0，又0t1，所以函数g（t）=S1+S2的单调递增区间为（，1）；故答案为：（，1）点评：本题考查了利用定积分求曲边梯形的面积以及利用导数求函数的单调区间；属于经常考查的题型三、解答题：本大题共4小题，共36分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（2015春天津校级期中）求证：对于任意的xR，ex1+x（e为自然对数的底数）考点：导数在最大值、最小值问题中的应用专题：证明题；导数的综合应用分析：构造函数f（x）=ex（1+x），从而求导f（x）=ex1，从而判断函数的单调性即最值，即可证明解答：证明：令f（x）=ex（1+x），则f（x）=ex1，故f（x）在（，0）上是减函数，在（0，+）上是增函数；故f（x）f（0）=1（1+0）=0；故ex（1+x）0，即对于任意的xR，ex1+x点评：本题考查了导数的综合应用及函数的性质与不等式的关系应用，属于中档题18（2015春天津校级期中）n为正整数，求证：1（n+1）+2n+3（n1）+（n+1）1=（n+1）（n+2）（n=3）考点：数学归纳法专题：证明题；点列、递归数列与数学归纳法分析：根据数学归纳法证明的步骤，首先验证当n=1时成立，进而假设n=k时等式成立，证明n=k+1时，等式也成立；最后作答即可解答：证明：设f（n）=1（n+1）+2n+3（n1）+（n+1）1（1）当n=1时，左边=4，右边=4，等式成立；（2）设当n=k时等式成立，即1（k+1）+2k+3（k1）+（k+2）2+（k+1）1=（k+1）（k+2）（k+3），则当n=k+1时，f（k+1）=f（k）+1+2+3+k+（k+1）+（k+2）=（k+1）（k+2）（k+3）+（k+2）（k+2+1）=（k+2）（k+3）（k+4），即n=k+1时等式也成立；由（1）（2）可知当nN*时等式都成立点评：本题考查数学归纳法的证明，需要牢记数学归纳法证明的步骤，特别要注意从k到k+1等式的形式的变化、区别19（2015春天津校级期中）用总长29.6米的钢条制作一个长方体容器的框架如果所制容器底面一边的长比另一边的长多1米，那么高为多少时容器的容积最大？最大的容积是多少？考点：利用导数求闭区间上函数的最值；基本不等式在最值问题中的应用专题：导数的综合应用分析：先设容器底面短边长为xm，利用长方体的体积公式求得其容积表达式，再利用导数研究它的单调性，进而得出此函数的最大值即可解答：解：设容器底面短边长为xm，则另一边长为（x+1）m，高为：=6.42x由6.42x0和x0，得0x3.2，设容器的容积为ym3，则有y=x（x+1）（6.42x）（0x3.2）整理，得y=2x3+4.4x2+6.4x，y=6x2+8.8x+6.4令y=0，有6x2+8.8x+6.4=0，即15x222x16=0，解得x1=2，x2=（不合题意，舍去）从而，在定义域（0，3.2）内只有在x=2处使y=0由题意，若x过小（接近0）或过大（接近3.2）时，y值很小（接近0），因此，当x=2时y取得最大值，y最大值=28+4.44+6.42=14.4，这时，高为6.422=2.4答：容器的高为2m时容积最大，最大容积为14.4m3点评：本题主要考查应用所学导数的知识、思想和方法解决实际问题的能力，建立函数式、解方程、不等式、最大值等基础知识20（2015春天津校级期中）已知函数f（x）=ln（x+1）+ax22x+1；（1）求函数曲线在x=0处的切线方程；（2）函数f（x）不单调，求参数a的范围；（3）曲线C：y=f（x）与（1）中的切线只有一个公共点，求实数a的取值范围考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程专题：导数的综合应用分析：（1）根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=0处的导数，求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成一般式即可；（2）求出函数f（x）的定义域，化简f（x）的表达式，将条件转化为：f（0）=0有解，对讨论a与0的关系，根据导数与函数的单调性，以及二次函数的图象与性质，分别列出不等式组，求出a的取值范围；（2）将条件转化为：方程ax22x+1+ln（x+1）=x+1即ax2x+ln（x+1）=0有且只有一个实数解令h（x）=ax2x+ln（x+1），求出h（x），然后讨论a与0、的大小，利用导数研究函数的单调性，利用函数的单调性与特殊的函数值，分别求出满足使方程h（x）=0有一解x=0的a的取值范围即可解答：解：（1）由题意得，且f（0）=1，所以曲线在x=0处的切线斜率k=f（0）=1，则曲线在x=0处的切线方程是y1=x，即x+y1=0；（2）函数f（x）的定义域是（1，+），且=，因为函数f（x）不单调，所以f（0）=0有解，即2ax2+（2a2）x1=0在（1，+）上有解，当a=0时，方