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两个矩阵同时对角化的条件 陈现平 ,王文省 ( 聊城大学 数学科学学院, 山东 聊城 252059) 摘 要 给出两个矩阵同时合同对角化与同时相似对角化的一些条件. 关键词 矩阵; 实对称矩阵; 正定矩阵; 同时对角化 中图分类号 O151. 21 文献标识码 A 文章编号 1004-7077( 2005) 02-0011-03 在高等代数或线性代数中, 矩阵对角化占有重要地位. 在矩阵理论、二次型及线性变换等 问题上有广泛的应用. 单个矩阵对角化的问题已在高等代数或线性代数教材中有系统的讨论. 然而, 经常遇到两个矩阵同时相似对角化或同时合同对角化的问题. 本文主要给出两个矩阵同 时合同对角化与同时相似对角化的充分或充要条件. 这些对于深化高等代数或线性代数的学 习及问题的解决是非常有益的. 1 两个矩阵同时合同对角化 对于两个实对称矩阵, 可有如下的同时合同对角化的条件. 定理1 5 设A, B 为 n 阶实对称方阵, 且 A 正定, 则存在实可逆矩阵P, 使 PTAP =E, PTBP =diag( 1, , n) 其中 i R , i =1, n. 定理2 1 设A, B 为n 阶实对称半正定方阵, 则存在n 阶实可逆矩阵P, 使PTAP 与PTBP 同时为对角矩阵. 定理3 设A, B 为n阶实对称方阵, 且B 可逆, B- 1A 有n 个互异的特征根, 则存在可逆阵 P, 使 PTAP 与PTBP 同时为对角矩阵. 证明 设 1, , n为 B- 1A 的 n 个互异的特征根, 对应的特征向量为1, ,n, 即 B- 1A i=ii, i =1, , n. 由于1, , n线性无关, 故 P =( 1, , n)可逆, 且B - 1AP =Pdiag( 1, , n) , 即 AP =BPdiag( 1, , n) 上式两端左乘 PT得 PTAP =PTBPdiag( 1, , n) 而PTAP 为对称的, 故 PTBPdiag( 1, , n)=diag( 1, , n) PTBP 又 1, , n互异, 不防设P TBP =diag( b 1, , bn) , 于是有 PTAP =diag( b1, , bn) diag( 1, , n)=diag( b11, , bnn) 可得结论成立. 定理4 设A, B 为 n 阶实对称矩阵, 则存在正交矩阵 Q, 使QTAQ 与QTBQ 同为对角矩阵 11 收稿日期 2004-12-20 作者简介 陈现平( 1976- ) , 男, 山东临朐人, 聊城大学数学科学学院讲师, 主要从事最优化理论与算法研究. 2005年 4 月 第22 卷 第2 期 枣庄学院学报 JOURNAL OF ZAOZHUANG UNIVERSITY Apr. 2005 Vol. 22 NO. 2 的充要条件为 AB =BA. 证明 必要性. 设 QTAQ =diag( 1, , n) , Q TBQ =diag( 1, , n) , 则有 QTABQ =diag( 11, , nn)=QTBAQ 由Q 为正交矩阵有AB =BA. 充分性. 由 A 为实对称矩阵, 则存在正交矩阵P, 使得 PTAP =diag( 1En1, 2En2, , sEns) 其中1, , s互异, n1+ +ns=n. 由AB =BA 有 ( PTAP) ( PTBP)=( PTBP) ( PTAP) , 故 PTBP =diag( Bn1, Bn2, , Bns) 其中Bn i 为ni阶实对称方阵. 而B 为实对称矩阵, 可对角化. 故Bn i 也可对角化, 即存在正交矩阵 Rni使得RTniBniRni( i =1, , s)为对角矩阵. 令 Q =Pdiag( Rn1, Rn2, , Rns) 则Q 为正交矩阵, 且使得QTAQ 与 QTBQ 同为对角矩阵. 2 两个矩阵同时相似对角化 对于一般的两个矩阵, 若 A, B 可交换且满足一定条件, 则A, B 可同时相似对角化. 定理5 6 设矩阵A, B Fn n, A, B 均可相似对角化, 且A 的特征值相等, 则A, B 可同时 相似对角化. 定理 6 设A, B Fnn, 且A 在F 中有 n 个不同的特征值, AB =BA, 则存在可逆矩阵P Fn n, 使 P- 1AP, P- 1BP 同时为对角阵. 证明 由A 在F 中有 n 个不同的特征值, 则存在可逆矩阵P, 使得P- 1AP =diag( 1, , n) . 其中1, , n为A 的 n 个不同的特征值. 由 AB =BA 有 ( P- 1AP) ( P- 1BP)=( P - 1BP) ( P- 1AP) 从而 P- 1BP 为对角阵, 即结论成立. 定理7 设A, B Fn n, 且A, B 均相似于对角矩阵, 则存在可逆矩阵P Fn n, 使P- 1AP, P- 1BP 同时为对角阵的充要条件为AB =BA. 证明 与定理 4类似. 由矩阵相似于对角矩阵与初等因子, 最小多项式的关系, 有如下推论. 推论1 设A, B Fn n, 且AB =BA, A, B 的初等因子全为一次的, 则A, B 可同时相似于 对角阵. 推论2 设A, B Fn n, 且AB =BA, A, B 的最小多项式无重根, 则A, B 可同时相似于对 角阵. 由于幂等矩阵,对合矩阵可相似对角化, 故 推论3 设A, B Fn n, 且 A2=A, B2=B , AB =BA, 则 A, B 可同时相似于对角阵. 推论4 设A, B Fn n, 且 A2=B2=E, AB =BA, 则 A, B 可同时相似于对角阵. 推论5 设A, B Cnn, 且Ak=Bk=E, AB =BA, 其中k 为正整数, 则A, B 可同时相似 于对角阵. 推论6 设A Fn n, 且A 可对角化, A 表示A 的伴随矩阵, 则A, A可同时相似于对角 阵. 证明 设存在可逆矩阵P, 使得 P- 1AP =diag( 1, , n) , 利用( AB) =B A有 P A ( P- 1) =diag( 1, , n) 又AA =A A, 故由定理7, 结论成立. 推论7 设A Fn n,且A B =A B, A, B 相似于对角阵,则A, B 可同时相似于对角阵. 证明 只证 A +B =AB 时结论成立, 对A -B =AB 类似可证. 由A +B =AB 有AB -A -B +E =E, 即( A -E) ( B -E)=E, 故 ( A-E) - 1 =B -E. 12 枣庄学院学报2005 年第 2期 于是 E =( B -E) ( A -E)=BA -B -A +E 由此可得BA =A +B, 故 AB =BA, 由定理7可证. 对于一般的可交换的两个矩阵A, B , 则有如下结论. 定理 8 设A, B Fn n, 且A, B 的特征值都在F 中, A B =BA, 则存在可逆矩阵T Fnn, 使得 T- 1AT , T - 1BT 同时为上三角阵. 证明 对矩阵阶数 n 用数学归纳法. 当n =1时, 结论显然成立. 假设结论对 n -1阶矩阵成立. 由于 AB =BA, 故A, B 有公共的特征向量 ( 4 ) , 设为1, 将其扩充为Fn的一组基 1, , n, 令 Q =( 1, , n) 则Q 可逆, 且 Q- 1AQ = 1 0 A1 , Q- 1BQ = 1 0 B1 , 由AB =BA, 可得A1B1=B1A1, 由归纳假设, 存在n -1阶可逆矩阵Q1, 使Q1- 1A1Q1, Q1- 1B1Q1同 时为上三角矩阵, 令 T =Q 1 0 0 Q1 则T - 1AT, T- 1BT 同时为上三角阵. 从而结论成立. 参考文献 1 张锦川. 实与复方阵的相合标准形和同时对角化 J . 泉州师范学院学报, 2002,20( 2) : 21-25. 2 徐利治, 等. 大学数学解题法诠释M . 合肥: 安徽教育出版社, 1999. 3 王品超. 高等代数新方法( 下册) M . 徐州: 中国矿业大学出版社,2003. 4 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组. 高等代数( 第二版) M . 北京: 高等教育出版社, 1988. 5 王文省, 等. 高等代数 M . 济南: 山东大学出版社, 2004. 6 夏璇. 二个矩阵同时对角化 J . 南昌航空工业学院学报( 自然科学版) , 2003, 17 ( 3) : 26-32. The Conditions of Simultaneous Diagonalization of Two Matrices CHEN Xian-ping ,WANG Wen - sheng ( School of Mathematical Science ,Liaocheng University ,Liaocheng 252059,China) Abstract :Th