卡方分布.doc

卡方分布出自 MBA智库百科(/)(重定向自卡方分布(Chi-square Distribution)卡方分布(Chi-square Distribution) 编辑什么是卡方分布 卡方分布 (2分布)是概率论与统计学中常用的一种概率分布。k 个独立的标准正态分布变量的平方和服从自由度为k 的卡方分布。卡方分布常用于假设检验和置信区间的计算。 编辑卡方分布的数学定义 若k 个随机变量Z1、Zk 相互独立，且数学期望为0、方差为 1(即服从标准正态分布)，则随机变量X 被称为服从自由度为 k 的卡方分布，记作 编辑卡方分布的特征卡方分布的概率密度函数为： 其中x0, 当x0时fk(x) = 0。这里代表Gamma 函数。 卡方分布的累积分布函数为： 其中(k,z)为不完全Gamma函数 在大多数涉及卡方分布的书中都会提供它的累积分布函数的对照表。此外许多表格计算软件如OpenO Calc和Microsoft Excel中都包括卡方分布函数。 卡方分布可以用来测试随机变量之间是否相互独立，也可用来检测统计模型是否符合实际要求。 自由度为 k 的卡方变量的平均值是 k，方差是 2k。 卡方分布是伽玛分布的一个特例，它的熵为： 其中(x) 是 Digamma function。 编辑卡方变数与 Gamma变数的关系当Gamma变数频率()为1/2 时， 的2倍为卡方变数之自由度(Degree of freedom) 即: 卡方变数之期望值=自由度卡方变数之方差=两倍自由度 卡方分布 参数k 0, 自由度 值域, 概率密度函数, 累积分布函数(cdf), 期望值k, 中位数大约k 2 / 3, 众数k-2, if, 方差2,k, 偏态, 峰态12/k, 熵值动差生成函数(mgf)，2t1, 特征函数, 一、定义：N个服从正态分布（均值为0，方差为1）的独立随机变量的平方和X服从自由度为N的卡方分布。问题：证明D(X)=2N二、定义：假设X服从均值为0方差为1的正态分布，Z服从自由度为N的卡方分布，如果X和Z独立，那么T=X/根号(Z/N)服从自由度为N的t分布。问题：证明D(T)=N/(N-2)要求：1.只要有一题证明正确者追加分数！ 2.请各位兄弟证明不到的不要乱回答，但可以说说自己的想法。辛苦各位了问题补充： 希望详细一点啦我概率数上没有正在算，但是好难最佳答案 1.设X=Y12+Y22+Y32+.+YN2 其中Yn都是独立的而且服从N(0,1) 那么X服从自由度为N的卡方分布 那么D(X)=D(Y12)+D(Y22)+.+D(YN2) 因为Yn独立 =2N 因为D(Yn2)=E(Yn4)-E(Yn2)=3-1=2 其中标准正态分布的四阶期望是3 要么通过公式得出E(Yn)=(2n)!/(n!2n) 其中Y是标准正态随机变量 n是奇数 如果n为偶数时E(Yn)=0 要么直接算 算法是分步积分法或者可以直接计算卡方分布的方差 很好计算 因为自由度为N的卡方分布其实是系数为N/2,1/2的Gamma分布 而Gamma函数的性质让我们很容易计算出X的任何阶期望 具体方法是:X的n次方期望 就是密度函数乘xn积分 这时你把xn放进密度函数你的积分函数里面就得到x的N/2-1+n次方也就是说系数从N/2变成了N/2+n 同样你把分式下面的Gamma函数和1/2(N/2)提到积分外部 然后添加需要的系数(使得该式变为系数为N/2+n和1/2的Gamma分布 对1积分为一)然后除以你添加的系数 最后积分外部的所有系数就是你的xn的期望了2.设X服从N(0,1)Z服从自由度为N的卡方分布 X和Z独立 那么D(T)=E(T2)-E(T)2 其中E(T)=E(X/sqrt(Z/N)=E(X)*E(1/sqrt(Z/N)=0所以D(T)=E(T2)=E(X2/(Z/N)=E(X2)*E(N/Z)=N*E(X2)*E(1/Z)其中E(X2)=1 E(1/Z)=1/(N-2) (通过密度函数计算 同第一题 卡方分布的1/2次方期望可以很容易求出)所以D(T)=N/(N-2)卡方分布：E(X)=n，D(X)=2nt分布：E(X)=0(n1)，D(X)=n/(n-2)(n2)F(m,n)分布：E(X)=n/(n-2)(n2)D(X)=2n2*(m+n