中山大学考研数学分析2018年真题及答案.pdf

中山大学 2018 年数学分析真题 题目题目 一、解答下面各题（每小题 9 分，共 54 分） 1. 求极限：lim 0(1 + tan) 2018 。 2. 若已知函数()的二阶导数存在，() 0且存在 = 1()，求(1)()。 3. 求极限：lim (1 + 1 +1 + 1 2)。 4. 设(,) = 23，函数(,)满足 2+ 2+ 2= 3，求 |(1,1,1)。 5. 计算( + ) + 1 。 6. 计算2 + (2+ 2) + ( + + ) ，其中L为曲面2+ 2+ z2= 5与曲面 = 1 + 2+ 2的交线，从 z 轴正向看过去时顺时针方向。 二、（10 分）判断级数 (1) +(1) =2 的收敛性。 三、（10 分）求(,) = 在约束条件2+ 2+ z2= 1与 + + = 0下的极值。 四、（10 分）证明： 1 2+1 =1 1 2 + 4。 五、（10 分）设()在(,+)上连续，且 lim ()与 lim + ()存在，证明()在 (,+)上一致连续。 六、（20 分）()在(0 1,0+ 1)上连续，在(0 1,0) (0,0+ 1)上可导，且 lim 0 () = 。证明：(0)存在，且 ( 0) = 。 七、（10 分）求级数(1 + 1 2 + + 1 ) 的收敛域。 八、（10 分）求() = + + 2cos的极值。 九、（10 分）判断() = 1 4在0,+)上的一致连续性。 十、（10 分）讨论 n=2 在0,1)上的一致收敛性。 十一、 （6 分）设： 的连续函数，() = 1 n ( + ) 1 =0 。证明：()在任意有 限区间(,)上一致收敛。()在(,+)上一致收敛吗？若不能，请举出反例。 参考答案参考答案 一、 1. lim 0(1 + tan) = 1，lim0 2018tan = 2018，故lim 0(1 + tan) 2018 = 2018。 2. (1)() = 1 = 1 () (1)() = () ()2 = () ()2 = () 1 () ()2 = () ()3 3. lim 1 = 0，故 lim (1 + 1 +1 + 1 2) = lim ( 1 +1 + 1 +2 + 1 2) = lim 1 + =1 = lim 1 1+ =1 1 = 1+ 1 0 = ln2 4. 令(,) = 2+ 2+ 2= 3， 则= 2 3，= 2 3，= 2 3， 都是连续的，(1,1,1) = 1，(1,1,1) = 1 0，由隐函数存在定理， |(1,1,1)= (1,1,1) (1,1,1) = 1。(,) = 23，故 = 23322 ， |(1,1,1)= 2 5. 区域(,)| + 1关于直线 = 是对称的，故 () + 1 = () + 1 = 1 0 (1)2 0 = (1 ) 2 1 0 = (1 2 + ) 1 0 = 2 3 1 + 2 5 = 1 15 故( + ) + 1 = 2 15 6. 联立两曲面方程，可得 2 + 2+ z2= 5 = 1 + 2+ 2 ，求解，可得 2 + 2= 1 = 2 ，记为圆面 2 + 2 1 = 2 ，方向与L的方向符合右手定则，取下侧，由斯托克斯公式， 2 + (2+ 2) + ( + + ) = | 22+ 2 + + | = + (2 1) + (2 2) = (2 2+21 22) 奇偶性 = 22 2+21 轮换对称性 = 22 2+21 = (2+ 2) 2+21 = 1 2 二、 (1) + (1) = (1) + (1) + (1) (1) ， 1 n=2 + 为严格单调递减趋于 0 的正数列，由莱布尼兹判别法， (1) =2 收敛。 (1) + (1) (1) = 1 + (1) 1 n ， ， 1 =2 发散，故 (1) +(1) (1) =2 发散，故 (1) +(1) =2 发散。 三、 记 = (,)|2+ 2+ 2= 1, + + = 0，则G为一个有界闭集，连续函数 (,) = 在有界闭集G上必有最大值和最小值。 令(,) = + (2+ 2+ z2 1) + ( + + )，令 = = = = = 0， 有 + 2 + = 0 (1) + 2 + = 0 (2) + 2 + = 0 (3) 2+ 2+ 2= 1 (4) + + = 0 (5) ,(1) + (2)+ (3),可得 + + + 2( + + ) + 3 = 0， 由(5)， + + = 0， 故 + + + 3 = 0， 即 = + 3 。 由(4)和(5)， + + = (+)2222 2 = 1 2，故 = 1 6，代入前三个方程，可得 + 2 + 1 6 = 0 (1) + 2 + 1 6 = 0 (2) + 2 + 1 6 = 0 (3) 。(1)中乘，(2)中乘，(3)中乘 z，可得 + 22+ 1 6 = 0 (1) + 22+ 1 6 = 0 (2) + 22+ 1 6 = 0 (3) ，于是，22+ 1 6 = 2 2 + 1 6 = 2 2 + 1 6 = ， 于是， ,中至少有两个是相同的。 由于,满足(4)和(5)， 故,不全相等， 即, 有且只有两个相同。 如果 = ，代入(4)和(5)，可得2 2 + 2= 1 (4) 2 + = 0 (5)，求解，可得 = 1 6 = 1 6 = 2 6 或 = 1 6 = 1 6 = 2 6 。 如果 = ，可得 = 1 6 = 2 6 = 1 6 或 = 1 6 = 2 6 = 1 6 ；如果 = ，可得 = 2 6 = 1 6 = 1 6 或 = 2 6 = 1 6 = 1 6 。这就求出 了所有可疑的条件极值点，而最值点就在其中。 ( 1 6 , 1 6 , 2 6 ) = ( 1 6 , 2 6 , 1 6 ) = ( 2 6 , 1 6 , 1 6 ) = 1 36 ， ( 1 6 , 1 6 , 2 6 ) = ( 1 6 , 2 6 , 1 6 ) = ( 2 6 , 1 6 , 1 6 ) = 1 36 ， 因此， 1 36为最小值，也是极小值； 1 36为最大值，也是极大值。 四、 1 2+ 1 =1 = 1 2 + 1 2+ 1 =2 = 1 2 + 1 2+ 1 1 =2 0，存在 0，故()在 = 0取得极小值(0) = 4。 九、 我们首先给出如下结论： 假设()为区间上的一致连续函数，则()在的任何长度为常数的子区间上振幅一 致有界，这个界只与有关。 ()一致连续， 故存在 0， 使得对任意,， 只要| | ， 就有|() ()| 1。任取子区间1 以及 0，存在 0，使得对任意 和0,1)，恒有| = | 0，存在 0，使得对任意,(, + 1)，只要| | ，就有|() ()| ， 恒有1 。 对任意(,)和0,1,2, 1， + (, + 1)，于是， |() () +1 | = |1 ( + ) 1 =0 () +1 | = | ( + ) () +1 + 1 =0 | |( + ) ()| +1 + 1 =0 +1 + 1 =0 = 1 1 =0 = 故()在有限区间(,)上一致收敛于() +1 。 ()在(,+)上未必一致收敛。例如，取() = 2，则 () = 1 n ( + ) 1 =0 = 1 n ( + ) 1 =0 2 = 1 (2+ 2 + 2 2) 1 =0 = 1 n 2+ 2 ( 1) 2 + 1 6( 1)(