数理统计汪荣鑫版习题答案详细版.pdf

1 数理统计习题答案数理统计习题答案 第一章 1.解： ()() ()()()()() 1 22 5 2 11 22222 19294 103 105 106 100 5 11 100 5 1 92 10094 100103 100105 100106 100 5 34 n i i n ii ii Xx n Sxxx n = = + = = =+ = 2. 解：子样平均数 * 1 1 l ii i Xm x n = = () 1 1 83 406 1026 2 60 4 = + + + = 子样方差 () 2 2* 1 1 l ii i Smxx n = = ()()()() 22221 814403410642264 60 18.67 =+ = 子样标准差 2 4.32SS= 3. 解：因为 i i xa y c = 所以 ii xacy=+ 1 1 n i i xx n = = () 1 1 1 1 n i i n i i acy n nacy n = = =+ =+ 1 n i i c ay n acy = =+ =+ 所以 xacy=+ 成立 () 2 2 1 1 n xi i sxx n = = () () () 2 2 1 2 2 1 1 1 n i i i n i i n i i acyacy n cycy n c yy n = = = =+ = = 因 为 () 2 2 1 1 n yi i syy n = = 所 以 222 xy sc s= 成立 2 ( ) ( )( ) () ( ) 17 2 1 8 1 2 0 3.2147.21 1.2 en n en MXX RXX MXX + + = = = = 4. 解：变换 2000 ii yx= i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 i x 1939 1697 3030 2424 2020 2909 1815 2020 2310 i y -61 -303 1030 424 20 909 -185 20 310 1 1 n i i yy n = = () 1 61 303 103042420909 18520310 9 240.444 =+ = () 2 2 1 1 n yi i syy n = = ()()() ()()() ()()() 2 22 222 222 1 61 240.444303240.4441030240.444 9 424240.44420240.444909240.444 185240.44420240.444310240.444 197032.247 =+ + + + = 利用3题的结果可知 22 20002240.444 197032.247 xy xy ss =+= = 5. 解：变换 ()10080 ii yx= i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 i x 79.98 80.04 80.02 80.04 80.03 80.03 80.04 79.97 80.05 80.03 80.02 80.00 80.02 i y -2 4 2 4 3 3 4 -3 5 3 2 0 2 13 11 11 13 n ii ii yyy n = = 1 2424334353202 13 2.00 = + + + + + = () 2 2 1 1 n yi i syy n = = 2 ()()()() ()() 2 222 22 1 22.00322.0052.00342.00 13 332.0032.00 5.3077 = + + + + = 利用3题的结果可知 2 24 8080.02 100 5.307710 10000 y x y x s s =+= = 6. 解：变换()1027 ii yx= * i x 23.5 26.1 28.2 30.4 i y -35 -9 12 34 i m 2 3 4 1 1 1 l ii i ym y n = = () 1 35 29 3 12 434 10 1.5 = + + = 27 10 y x=+=26.85 () 2 2 1 1 l yii i smyy n = = ()()()() 2 2221 235 1.539 1.5412 1.534 1.5 10 440.25 = + + + = 22 1 4.4025 100 xy ss= 7解： 身高 154?158 158?162 162?166 166?170 170?174 174?178 178?182 组中值 156 160 164 168 172 176 180 学生数 10 14 26 28 12 8 2 * 1 1 l ii i xm x n = = () 1 156 10160 14 16426 172 12 168 28 176 8 180 2 100 166 =+ + = 3 () 2 2* 1 1 l ii i smxx n = = ()()()() ()()() 2 222 222 1 10156166141601662616416628168166 100 1217216681761662180166 33.44 =+ + = 8解：将子样值重新排列（由小到大） -4，-2.1，-2.1，-0.1，-0.1，0，0，1.2，1.2，2.01，2.22，3.2，3.21 ( ) ( )( ) () ( ) 17 2 1 8 1 2 0 3.2147.21 1.2 en n en MXX RXX MXX + + = = = = 9解： 12 12 11 12 12 11 nn ij ij nxnx nn x nn = + = + 1122 12 n xn x nn + = + () 12 2 2 1 12 1 nn i i sxx nn + = = + 10.某射手进行20次独立、重复的射手，击中靶子的环数如下表所示： 环数 10 9 8 7 6 5 4 频数 2 3 0 9 4 0 2 试写出子样的频数分布，再写出经验分布函数并作出其图形。 解： 环数 10 9 8 7 6 5 4 频数 2 3 0 9 4 0 2 频率 0.1 0.15 0 0.45 0.2 0 0.1 ( ) 20 04 0.146 0.367 0.7579 0.9910 110 x x x Fx x x x = （2） 因为 () 2 0, i XN? 1,2,in= ()0,1 i X N ? 所以 ( ) 2 2 2 2 1 n i i XnY n = = ? ( )( ) 2 2 2 2 2 22 0 ny Y nYny FyP YyPfx dx = ( )( ) 2 22 22 YY nyn fyFyf = 故 ( ) 2 2 1 22 2 2 0 2 2 00 nn ny n n Y n y ey n fy y = （3）因为 () 2 0, i XN? 1,2,in= () 1 0,1 n i i X N n = ? 所以 ( ) 2 2 3 1 1 n i i XY nn = = ? ( ) ( )( ) 2 2 3 3 3 2 1 0 y n Y Y FyP YyPyfx dx n = ( )( ) ( ) 2 33 22 1 1 YY y fyFyf nn = ( )( ) 2 2 1 1 0 2 00 x ex fx x x = 7 故 ( ) 2 3 2 1 0 2 00 y n Y ey fy ny y = （4）因为 () 2 0, i XN? 1,2,in= 所以 () ( ) 1 2 2 4 2 1 0,1 1 n i i n i i X N n XY n = = = ? ? ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 2 2 4 22 4 4 4 22 1 0 22 1 1 y Y Y Yy FyP YyPfx dx y fyFyf = = 故 ( ) 2 4 2 1 0 2 00 y Y ey fy y y = 17.解：因为 ( )Xt n? 存在相互独立的U，V ()0,1UN? ( ) 2 Vn? 使 U X V n = ( ) 22 1U? 则 2 21 U X V n = 由定义可知 () 2 1,Fn? 18解：因为 () 2 0, i XN? 1,2,in= () 1 0,1 n i i X N n = ? ( ) 2 2 1 n m i i n X m + = + ? 8 所以 ( ) 11 1 2 2 1 1 nn i i ii n m n m i i i n i n X mX n Yt m X nX m = + + = + = + = ? （2）因为 ()0,1 i X N ? 1,2,inm=+ ( ) ( ) 2 2 1 2 2 1 n i i n m i i n X n X m = + = + ? ? 所以 () 2 2 1 1 2 2 2 1 1 , n i n i i i n m n m i i i n i n X mX n YF n m X nX m = = + + = + = + = ? 19.解：用公式计算 () 2 0.010.01 90902 90U=+ 查表得 0.01 2.33U= 代入上式计算可得 () 2 0.01 909031.26121.26=+= 20.解：因为 ( ) 2 Xn? 2 En= 2 2Dn= 由 2 分布的性质3可知 ()0,1 2 Xn N n ? 22 Xncn P XcP nn = 2 2 2 1 2222 lim c n nt n Xncncn Pedt nnnn = 故 2 cn P Xc n 第第 二二 章章 9 1. 0 00 0 ,0 () 0 ,0 ()() 1 () 11 1 x x xx x ex fx x Exfxx d xx ed x x eedx e x + + + + + = = = + = = = 令 从而有 1 x = 2. () 11 11 2 1).()(1)(1) 11 11 kk xx Exkpppkp p p p = = = 令 1p X 所以有 1 p X = ） 其似然函数为 1 1 1 ( )(1)(1) n i xi i nX n n i LPPp pp = = = 1 ln()ln() ln (1) n i i LPnpXnp = =+ 1 l n1 ()0 1 n i i dLn Xn d ppp = = 解之得 1 1 n i i n p X X = = 解：因为总体服从（a，b）所以 10 () 2 1 2 2 ! 2! () 12 3 3 n i i abn E X rnr X XX X ab S XS bXS = + = = = = =+ 2 2 2 （ a-b） （） D（ X） = 12 令 E（ X） = D（ X） =S ， 1 S = n a+b 2 （） a 4. 解： （1）设 12 , n x xxL 为样本观察值则似然函数为： 1 1 1 ()(), 01,1, 2 , ln()lnln ln ln0 n n ii i n i ii n i i Lxxin Lnx dLn x d = = = = in xxxxL 则其似然函数 = = = n i i i x n n i x eeL 1 1 )( = = n i i xnL 1 ln)(ln = = n i i x n d L 1 )(ln x x n n i i 1 1 = = 由题中数据可知 20)6525554545703510025150152455365( 1000 1 =+=x 则 05. 0 20 1 = 10. 解： （1）由题中子样值及题意知： 极差7 . 45 . 12 . 6=R 查表 2-1 得4299. 0 1 5 = d 故0205. 27 . 44299. 0= （2）平均极差115. 0=R，查表知3249. 0 1 10 = d 0455. 0115. 03249. 0= 解：设 u为其母体平均数的无偏估计，则应有x= 13 又因4)26261034018( 60 1 =+=x 即知4= 12. 解：) 1 ,(NXQ =)( i xE ，1)(= i xD， )2 , 1(=i 则=+= 211 3 2 3 1 )(EXEXE =+= 212 4 3 4 1 )(EXEXE =+= 213 2 1 2 1 )(EXEXE 所以三个估计量 321 , 均为的无偏估计 9 5 9 1 9 4 9 1 9 4 ) 3 1 3 2 ()( 2121 =+=+=+= DXDXXXDD 同理可得 8 5 )( 2 = D， 2 1 )( 2 = D 可知 3 的方差最小也亦 2 最有效。 13 解：)(PXQ=)(,)(XDXE )( 1 1 )( 1 2 2 * = = n i i XX n ESE)()( 1 1 2 1 2 XnEXE n n i i = = )()( 1 1 1 22 = + = n i n n n = =)( 1 1 n n 即 2 * S是的无偏估计 又因为= = n i i n i i n i i EX n XE n X n EXE 111 1 )( 1 ) 1 ()( 即X也是的无偏估计。 又 1 , 0 =+=+=+)1 ()()1 ()()1 ( 2 * 2 * SEXESXaE 因此 2 * )1 (SX+也是的无偏估计 14.解：由题意：),( 2 NX 因为)()()()( 2 1 1 1 1 2 1 2 ii n i iiii XXEXXDCXXECE+= + = + 14 2 1 1 2 1 1 1 ) 1(220)()(=+= = = + nCCXDXDC n i n i ii 要使 2 2 )(= E只需 ) 1(2 1 + = n C 所以当 ) 1(2 1 = n C时 2 为 2 的无偏估计。 15.证明：Q参数的无偏估计量为 ， D依赖于子样容量n 则, 0由切比雪夫不等式 0lim= D n Q故有1lim= 由96. 1,05. 0,162. 0,994. 0,973. 0,200 025. 00 = usxn 96. 1833. 1 200 162. 0 021. 0 0 ntt 查表tt= x 故认为新安眠药已达到新疗效。 10 原假设 乙甲乙甲 ，=: 10 HH) 1 , 0(Nu 2 2 2 1 2 1 近似 乙甲 n s n s xx + = 解得拒绝域 2 uu 100n,140n 00.105s ,41.120s 2680x,2805x 21 21 21 = = = 代入计算03. 8 100 105 110 41.120 125 n s n s xx 22 2 2 2 1 2 1 21 = + = + 查表96. 1uu 025. 0 2 = 因96. 103. 8 故拒绝原假设即两种枪弹速度有显著差异。 11解：因两种作物产量分别服从正态分布且 2 2 2 1 = 假设 211210 :,:=HH 故统计量)2( 11 21 21 + + = nnt nn S YX T w 其中 2 ) 1() 1( 21 2 2 2 1 + + = nn snsn S yx w 拒绝域为 2 tT 代入计算063.24= w s 2878)18()2( 005. 021 2 =+tnnt 代入数值T的观测植为 85. 0 756.10 18. 9 10 1 10 1 063.24 79.2197.30 = + =t 因为)18(878. 285. 0 005. 0 tt=而)(),(yDxD均未知，则 ) 1 , 0( 2 2 2 1 2 1 N n s n s yx u + = 由题意易得 2491. 0)1 ( 53. 0 100 53 ,100 1137. 0)1 ( 87. 0 900 783 ,900 2 2 2 2 1 1 = = = = yys yn xxs xn 于是6466. 6 0511. 0 34. 0 100 2491. 0 900 1137. 0 53. 087. 0 2 2 2 1 2 1 = + = + n s n s yx 查表6466. 633. 2 01. 0 = 即拒绝 0 H，接受 1 H，认为甲枪弹的速度比乙枪弹速度显著得大。 31 （4）假设400,400: 1 2 0 HH) 1( ) 1( 2 2 0 2 2 =n sn 400,77.404,25 2 0 2 =sn代入)24(98.4229.24 2 01. 0 2 =HH， 21 ，未知，故用统计量 ) 1, 1( 21 2 2 2 1 =nnF s s F 解得拒绝域 FF 把0.245, 6, 90.357 2*2 21 2*2 1 = 甲乙乙 ，ssnnss 代入计算)5 , 8(82. 4457. 1 245. 0 357. 0 05. 0 FF= = 4 0 2 2 82. 7095.45 )( i i ii np npm 故拒绝 0 H，即认为总体不服从泊松分布。 26. 解：假设四面体均匀，记则抛次时白色与地面接触的概率为 4 1 =p kx =，表示1k次抛掷时，白色的一面都未与地面接触，第k次抛掷时才与地面 相接触则相当于 假设 )2, 1( 4 1 4 3 )1 (: 1 1 0 L= = kppkxPH k k 则 256 81 256 27 16 3 4 1 15 256 27 4 1 4 3 4 64 9 4 1 4 3 3 16 3 4 1 4 3 2, 4 1 1 3 2 = = = = = = xP xP xP xPxP 将以上数据代入下式，则 216.18 )( 5 1 2 2 = = i i ii np npf 对于05. 0=，自由度41= ln 查表 22 05. 0 216.18488. 9)4(= 拒绝 0 H故可认为这几支伏特计之间有显著差异。 5 解：假设 012345 :H= 112345 :H不全相等 温度（C o ） 得率（%） i X 60 90 92 88 90 65 97 93 92 94 70 96 96 93 95 75 84 83 88 85 80 84 86 82 84 12345 5389.6rnnnnnX= 经计算可得下列方差分析表： 来源 离差平方和 自由度 均方离差 F值 组间 303.6 4 75.9 15.18 组内 50 10 5 总和 353.6 14 0.05 0.05 (4,10)3.48 15.18(4,10) F FF = = 拒绝 0 H故可认为温度对得率有显著影响 2 1515 15 11 (,()XXN nn +? 由T检验法知： 1515 15 () () 11 E XX Tt nr S nn = + ? Q给定的置信概率为10.95= 0.025 ()0.95P Ttnr 故接受 01 H，拒绝 02 H, 03 H 即可认为机器之间的差异不显著，操作工之间的差异显著，交互作用的影响也显著。 10、 解：假设 01123 :0H= 43 021234 :0H= 03: 01,2,3,;1,2,3,4 ij Hij= 浓度 （%） 温度（C o ） i X 10 24 38 52 2 14，10 11，11 13，9 10，12 11.25 （12） (11) （11） （11） 4 9，7 10，8 7，11 6，10 8.5 （8） （9） （9） （8） 6 5，11 13，14 12，13 14，10 11.5 （8） （13.5） （12.5） （12） . . j X 9.3 11.17 10.83 10.3 10.417 342, AB rskFF=和 I F的值可按入夏二元方差分析表 来源 离差平方和 自由度 均方离差 F值 浓度A 44.3 2 22.176 A F=4.092 B F=0.7114 I F=0.829 温度B 11.5602 3 3.8534 交互作用 26.943 6 4.4905 误差 64.9998 12 5.4167 总和 147.833 23 0.05(2,12) 3.89F= 0.05(3,12) 3.49F= 0.05(6,12) 3.00F= 0.05(2,12)A FF 0.05(3,12)B FF 0.05(6,12)I FF 故拒绝 01 H，接受 02 H, 03 H 即可认为浓度对得率的影响显著，而温度和交互作用对得率的影响不显著。 11、解：由题意：设温度为因子A，加碱量为因子B，催化剂种类为因子C 假设 01123 :0Haaa= 02123 03123 :0 :0 Hbbb Hccc = = 则可列下表： 列号 试验号 A B C 试验值 平方 1 1 1 1 51 2601 2 1 2 2 71 5041 44 3 1 3 3 58 3364 4 2 2 82 6724 5 2 2 3 69 4761 6 2 3 1 59 3481 7 3 1 3 77 5929 8 3 2 1 85 7225 9 3 3 2 84 7056 1 k 180 210 195 k=636，w=46182 2 k 210 225 237 3 k 246 201 204 u 45672 45042 45270 P=44944 Q 728 98 326 得方差分析表如下： 来源 离差平方和 自由度 均方离差 F值 A 728 2 364 A F=8.465 B F=1.139 c F=3.79 B 98 2 49 C 326 2 163 误差 86 2 43 总和 1238 8 给定0.05=，查表 0.05(2,2) 19F= 0.05 0.05 0.05 8.465(2,2) 1.13919(2,2) 3.7919(2,2) A B C FF FF FF = = = 即接受 01 H， 02 H， 03 H，即可认为温度、加碱量、催化剂种类对收率无显著影响。 12、解：由题意，设退伙温度为因素A，退伙时间为因子B，原料产地为因子C，轧程分配为因子D。 假设 0112 :0Haa= 0212 0312 :0 :0 Hbb Hcc = = 45 0412 :0Hdd= 则可列表如下： 试验号 A B C D 试验值 平方 1 1 1 1 1 0.82 0.6724 2 1 1 2 2 0.85 0.7225 3 1 2 1 2 0.70 0.49 4 1 2 2 1 0.75 0.5676 5 2 1 1 2 0.74 0.5476 6 2 1 2 1 0.79 0.6241 7 2 2 1 1 0.80 0.64 8 2 2 2 2 0.87 0.7569 1 k 3.12 3.2 3.06 3.16 k=6.32 w=5.016 2 k 3.2 3.12 3.26 3,16 u 4.9936 4.9936 4.9978 4.9928 P=4.9928 Q 0.0008 0.0008 0,005 0 可得方差分析表为： 来源 离差平方和 自由度 均方离差 F值 A 0.0008 1 0.0008 A F=0.145 B F=0.145 c F=0.909 D F=0 B 0.0008 1 0.0008 C 0.005 1 0.005 D 0 1 0 误差 0.0166 3 0.0055 总和 0.0232 7 0.05=，查表 0.05(1,3) 10.13F= 0.05 0.05 0.05 0.14510.13(1,3) 0.90910.13(1,3) 010.13(1,3) AB C D FFF FF FF = = = 所以若把苗数、秧龄和苗数交互作用、秧龄和氮肥交互作用引起的三项离差合并到误差项中， 则秧龄对亩产有显著影响。而氮肥、亩数和氮肥交互作用无显著影响。 第五章 1.解： 对一元回归的线性模型为 iii Yx=+ 1,2,in= 离差平方和为 () 2 1 n ii i Qyx = = 对Q求的偏导数，并令其为0，即 () 1 0 n iii i yxx = = 变换得 2 11 11 nn iii ii x yx nn = = 48 解此方程得 2 xy x = 因为 22 DE= iii yx= 所以 2 2 1 1 n ii i yx n = = ()() ( ) 2 22 1 2 22 22 2 2 2 2 2 1 2 2 2 n iiii i yx yx n yxyx xyxyx y x x = =+ =+ =+ () 2 2 2 xy y x = 其中 1 1 n ii i xyx y n = = 22 1 1 n i i xx n = = 22 1 1 n i i yy n = = 2. 解：将 26x = 90.14y = 2736.511xy = 2 451.11 x m = 2 342.665 y m = 代入得 2 2 2222 2736.511 26 90.14 0.8706 451.11 90.140.8706 2667.5088 342.6650.8706451.110.7487 x yx xyxy m yx mm = = = 3证明： 00 2 2 11 dd uvuv dd uu = ()() () 01 2 1 1 n ii i n i i uuvv d d uu = = = 49 ()() () ()() () 1001 1 1100 0 2 1 11 1 11 1 001 2 1 2 1 1 1 2 1 1 1 n ii i n i i n ii i n i i n ii i n i i xcycycxc dddd d d xcxc dd xxyy dd d d xx d xxyy xx = = = = = = = = = = 0 001 1 0 0001 1 1 000 1 0 1 d dcc d d d vducc d c d vcdu d d yx d yx + =+ =+ = = = () 2 2 0 1 2 000 1 2 1 000 1 1 2 00 001 1 11 2 1 n ii i n ii i n i i i n ii i n ii i dvu d vddu xc ycdd d dd ycdxc dd yx = = = = = = = =+ = 50 4.解： 15202530354045505560 1800 1900 2000 2100 2200 2300 2400 2500 2600 品 质 指 标 支 数 B 将 35.353x = 2211.2y = 76061.676xy = 2 132.130 x m = 2 34527.46 y m = 代入得 () 2 2 2 222 76061.67635.353 2211.2 15.98 132.130 2211.2 15.98 35.3532776.14 34527.4615.98132.130786.69 x yx xyxy m yx mm = =+= = = *2 为 2 的无偏估计量 *22 20 786.69874.10 218 n n = 5. 解：将 6x = 210.4y = 1558xy = 2 8 x m = 2 10929.84 y m = 代入得 () 2 *222 * 15586 210.4 36.95 8 210.436.95 611.3 5 10929.8436.95812.37 23 3.517 x xyxy m yx n n = = = = 假设 0: 38H= 1: 38H 51 用T检验法 拒绝域为 ()() 2 0 2 * 1 2 n i i xxtn = 查表得 ( ) 0.025 33.1824t= 将上面的数据代入得 ( ) 0.025 1.893tt= 所以 接受 0 H 即认为为38 6. 解： （1）由散点图看，x的回归函数具有线性函数形式，认为长度对于质量的回归是线性的。 51015202530 7 8 9 10 11 12 长 度 质量 B （2）将 17.5x = 9.49y = 179.37xy = 2 72.92 x m = 2 2.45 y m = 代入得 2 179.37 17.5 9.49 0.182 72.92 x xyxy m = 9.490.182 17.56.305yx = 6.3050.182yxx =+=+ （3）当16x =时 00 16yab=+ 由T分布定义 () () () 00 2 0 * 2 1 2 1 1 n i i Yx Tt n xx n xx = = + ? 52 () () () 00 0.025 2 0 * 2 1 20.95 1 1 n i i Yx Ptn xx n xx = = + 所以 0 Y的预测区间为 () () () () () () 22 00 * 00.02500.025 22 11 11 21,21 nn ii ii xxxx xtnxtn nn xxxx = + 查表得 ( ) 0.025 42.776t= 将（2）的数据代入得 () *222 * 6 2.450.18272.920.0075 24 0.0866 n n = = 计算得 0 Y的预测区间为 ()8.9521,9.4721 9. 解：利用第八题得到的公式 将 21x = 141.2y = 3138xy = 2 90 x m = 代入得 2 313821 141.2 1.92 90 141.2 1.92 21100.88 x xyxy m yx = = 10.。解：二元线性回归模型为 1122 ,1,2, iiii Yxxin=+= 离差平方和为 () 2 122 1 n iiii i Qyxx = = 对Q求 12 , 的偏导数并令其为0 () () 11221 1 11222 1 0 0 n iiii i n iiii i yxxx yxxx = = = = 可变换为 53 2 111212 111 2 211222 111 0 0 nnn iiiii iii nnn iiiii iii x yxx x y xx xx = = = = 正规方程为 2 111221 2 121222 xx xx y x xxx y += += 最小二乘估计为 2 21212 1 2 22 1212 2 11221 2 2 22 1212 x yx xx yx x xx x x yx xx yx x xx x = = 其中 11 1 1 n ii i x yx y n = = 22 1 1 n ii i x yx y n = = 1212 1 1 n ii i x xx x n = = 22 1 1 n jij i xx n = = 1,2j = 11解： （1） 2p = 15n = 采用线性回归模型 ()() 1122 Yxxxx=+ 15 1 248.25 i i y = = 16.55y = 15 2 1 4148.3125 i i y = = 15 1 1 920 i i x = = 15 2 1 1 56734 i i x = = 1 61.33x = 15 2 1 7257 i i x = = 2 483.8x = 15 2 2 1 3524489 i i x = = 15 12 1 445366 ii i x x = = 15 1 1 15170 ii i x y = = 15 2 1 12063925 ii i x y = = 54 2 1515 2 1111 11 1 5673456426.66307.34 15 ii ii Lxx = = 2 1515 2 2222 11