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文档简介
6一元二次方程一、本章知识结构框图实际问题数学问题设未知数,列方程实际问题的答案数学问题的解解 方 程降 次开平方法配方法公式法分解因式法检 验二、考点总结:1.一元二次方程的一般式:,为二次项系数,为一次项系数,为常数项。2.一元二次方程的解法(1) 直接开平方法 (也可以使用因式分解法) 解为: 解为: 解为: 解为:注意:形如的方程的解法:当时,;当时,;当时,方程无实数根。(2) 因式分解法:提公因式分,平方公式,平方差,十字相乘法如: 此类方程适合用提供因此,而且其中一个根为0 注意:提取整个因式的方法非常常见,解题的过程中一定要认真观察。 十字相乘法非常实用,注意在解题的过程中多考虑。(3) 配方法:通过配方的方法把一元二次方程转化为的方程,再运用开平方法求解。一般步骤:移项:把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边,常数项移到方程的右边;“系数化1”:根据等式的性质把二次项的系数化为1;配方:将方程两边分别加上一次项系数一半的平方,把方程变形为的形式;求解:若时,方程的解为,若时,方程无实数解。1)二次项的系数为“1”的时候:直接将一次项的系数除于2进行配方,如下所示:示例:2)二次项的系数不为“1”的时候:先提取二次项的系数,之后的方法同上:示例: 备注:实际在解方程的过程中,一般也只是针对且为偶数时,才使用配方法,否则可以考虑使用公式法来更加简单。(4)公式法:一元二次方程,用配方法将其变形为: 当时,右端是正数因此,方程有两个不相等的实根: 当时,右端是零因此,方程有两个相等的实根: 当时,右端是负数因此,方程没有实根。注意:虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解,但它往往并非最简单的,一定要注意方法的选用。备注:公式法解方程的步骤:把方程化成一般形式:一元二次方程的一般式:,并确定出、求出,并判断方程解的情况。代公式:(要注意符号)备注:一元二次方程的解题步骤:首先看方程中是否可以同时除以或者乘以一个非零的数,使得方程更加方便计算:如:(同除于10)这样更加方便计算。(同乘于,这样二次项的系数为正整数,更方便计算)四种求方程方法的一定要合理选用,依次按直接开平方、因式分解,配方法和公式法的顺序考虑选用。可以考虑选用根与系数的关系对方程的根进行适当的检验,同时对于应用题中,一定要考虑根的实际意义,是否所有的根都是方程的解。 (5)、一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)法1:一元二次方程的两个根为:所以:,韦达定理:如果一元二次方程定的两个根为,那么:法2:如果一元二次方程定的两个根为;那么 两边同时除于,展开后可得: ;法3:如果一元二次方程定的两个根为;那么 得:(余下略)常用变形:, , , , 等练习:【练习1】若是方程的两个根,试求下列各式的值:(1) ;(2) ;(3) ;(4) 【练习2】已知关于的方程,根据下列条件,分别求出的值(1) 方程两实根的积为5;(2) 方程的两实根满足【练习3】已知是一元二次方程的两个实数根(1) 是否存在实数,使成立?若存在,求出的值;若不存在,请您说明理由(2) 求使的值为整数的实数的整数值3、韦达定理相关知识(1)若一元二次方程有两个实数根,那么 , 。我们把这两个结论称为一元二次方程根与系数的关系,简称韦达定理。(2)如果一元二次方程的两个根是,则 , 。(3)以为根的一元二次方程(二次项系数为1)是(4)在一元二次方程中,有一根为0,则 ;有一根为1,则 ;有一根为,则 ;若两根互为倒数,则 ;若两根互为相反数,则 。(5)二次三项式的因式分解(公式法) 在分解二次三项式的因式时,如果可用公式求出方程的两个根,那么如果方程无根,则此二次三项式不能分解。4、一类特殊的二元一次方程的求解方法再探讨的两个根为,那么:(1)的两个根为:,(原因留给大家自行思考)例1: 先求出方程:的两根为: ,故原方程的根为:(2)的两个根为:,例2: 先解得方程:的两根为:,所以原方程的两个解为:5、应用题1.数字问题:解答这类问题要能正确地用代数式表示出多位数,奇偶数,连续整数等形式。2.几何问题:这类问题要结合几何图形的性质、特征、定理或法则来寻找等量关系,构建方程,对结果要结合几何知识检验。面积问题:注意平移思想的使用.3.增长率问题(下降率):其中:为基数,为增长率,表示连续增长的次数, 表示增长后的数量。4.其它实际问题(都要注意检验解的实际意义,若不符合实际意义,则舍去)。6、换元法 例:解:令 则原方程可化为: 解得: 当时,求得: 当时,求得:(原方程共有4个解) 练习:7.一元二次方程的二次函数的关系大家已经学过二次函数(即抛物线)了,对他也有很深的了解,好像解法,在图象中表示等等,其实一元二次方程也可以用二次函数来表示,其实一元二次方程也是二次函数的一个特殊情况,就是当Y的0的时候就构成了一元二次方程了。那如果在平面直角坐标系中表示出来,一元二次方程就是二次函数中,图象与X轴的交点。也就是该方程的解了8.根的判别式(难点)1了解一元二次方程根的判别式概念,能用判别式判定根的情况,并会用判别式求一元二次方程中符合题意的参数取值范围。(1)=(2)根的判别式定理及其逆定理:对于一元二次方程()当方程有实数根;(当方程有两个不相等的实数根;当方程有两个相等的实数根;)当方程无实数根; 从左到右为根的判别式定理;从右到左为根的判别式逆定理。2常见的问题类型(1)利用根的判别式定理,不解方程,判别一元二次方程根的情况(2)已知方程中根的情况,如何由根的判别式的逆定理确定参数的取值范围(3)应用判别式,证明一元二次方程根的情况先计算出判别式(关键步骤);用配方法将判别式恒等变形;判断判别式的符号;总结出结论.例:求证:方程无实数根。(4)分类讨论思想的应用:如果方程给出的时未指明是二次方程,后面也未指明两个根,那一定要对方程进行分类讨论,如果二次系数为0,方程有可能是一元一次方程;如果二次项系数不为0,一
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