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河北工业大学 硕士学位论文 手机辐射对人体器官影响的动态仿真研究 姓名：杨丽 申请学位级别：硕士 专业：电工理论与新技术 指导教师：葛曼玲 20071101 河北工业大学硕士学位论文 i 手机辐射对人体器官影响的动态仿真研究 手机辐射对人体器官影响的动态仿真研究 摘摘 要要 本文利用 FDTD 算法，计算和分析了手机使用时对于佩戴金属镜架和不佩戴眼镜两种 情况下人体眼睛以及用耳机接听电话时人体心脏部位产生的场强和比吸收率。手机辐射是 近年来电磁剂量学方面的一个相当重要的问题，也是人们普遍关心的问题之一，此方面的 研究有相当重要的理论和现实意义。 利用时域有限差分方法，结合手机辐射电磁模型和人体的生物电磁模型，研究了 GSM 900MHz 移动电话天线近区场中的人体眼睛和心脏在辐射系统峰值功率下比吸收率和场强 的分布，并将计算结果同现有的国际卫生标准进行了比较。 本文主要包括以下几部分内容:第一、 将电磁场数值计算的常用方法 FDTD 引入到 SAR 模拟仿真计算中，并对边界条件、网格剖分进行定义，以更好的适应电磁辐射的计算。第 二、建立了 1/4 波长的单极天线手机模型和佩戴眼镜和没佩戴眼镜两种情况下人体头部电 磁模型。第三、计算和分析了在佩戴金属镜架和没有佩戴眼镜使用手机时，眼睛内的场强 和比吸收率的大小和分布。第四、对人体胸部进行建模，计算当人们将手机放在左上衣口 袋，使用耳机接听电话时手机的电磁辐射对人体心脏的影响。 计算结果表明：距离天线馈电点越近，电场强度越大；距离天线越远场强越小。SAR 和电场强度具有相同的变化趋势， 右眼附近的 SAR 变化比左眼大， 因为手机的馈电点在右 耳附近。 对于佩戴金属镜架的头模型， 其 SAR 的最大空间峰值几乎是没有佩戴金属镜架时 的 2 倍，此时产生的电磁辐射使得 SAR 值超过了 IEEE C95 标准所规定的数值。手机放置 在心脏附近部位时产生的电磁辐射要远小于头部模型计算的结果，主要因为人体心脏的电 磁常数与头部的不同，SAR 值均在参考标准允许的范围之内。 关键词：关键词：电磁辐射，时域有限差分法，比吸收率，手机天线，人体模型 手机辐射对人体器官影响的动态仿真研究 ii THE SIMULATION FOR EFFECTS OF THE ELECTROMAGNETIC RADIATION FROM A MOBILE HANDSET ON HUMAN ORGANS ABSTRACT By using the algorithm of FDTD (Finite-Difference Time-Domain) method，the field intensity and SAR caused by the 900 MHz exposed electromagnetic radiation are calculated based on the sensitive organs model such as the persons eyes model, the eyes model with glasses of metal frame and persons heart model. The simulations are important in the electromagnetic dose field. It is also practical, because more and more people are concerning about the effects of the electromagnetic radiation from the mobile phone on the health of the human beings. At first, in my computing, the suitable boundary conditions and the meshed cell are defined for better performance by using FDTD. Second, some models such as the monopole of cell phone as well as the eyes model and the heart model are set up. Third, the distribution of SAR and the electrical field intensity are simulated based on these models. It is concluded that more nearer are the organs to the driving source, more stronger is the electrical field intensity. SAR has the same trend as that of the electric field intensity. The maximum value of the SAR based on the eyes model with the glasses of the metal framework is greater than that based on the eyes model without glasses, greater than nearly 2 times so that the SAR in this case is over the IEEE C95 safe standard. It is also concluded that the radiation of the cell-phone putting near to the heart is much weaker than that of the head model, because the electrical properties of the heart are different to that of the humans head so that the SAR is lower than the IEEE C95 safe standard. Keywords: electromagnetic radiation, FDTD method, SAR, mobile antenna, phantom 河北工业大学硕士学位论文 1 第一章 绪论第一章 绪论 1-1 电磁辐射对人体影响的研究背景 1-1 电磁辐射对人体影响的研究背景 近年来， 移动通信的快速发展使我国手机的保有量以前所未有的速度增长。 根据信息产业部的统计 显示，截至07年8月底，全国电话用户达8.5亿户，其中移动电话用户突破5亿户。据出自天极数据调查 中心的2006中国IT品牌网络调查研究报告预测，2007年年底手机用户将达到6.3亿，手机已经成为 当今社会不可缺少的、发展最快的产品之一，是当今社会人们必备的通讯工具，从青少年到老年，使用 手机的人数越来越多。然而，手机在带给人们便捷畅快的通信自由的同时，亦为人们增添了“幸福的烦 恼”手机辐射引发的健康问题令世人关注。 早在移动通信发展初期，人们己开始重视手机辐射对人体作用的研究 1。1993年3月美国各大报刊 在头版报道了佛罗里达州马迪拉比奇镇居民戴维雷纳德(David Raynad)状告日本NEC公司 2，指责该 公司生产的移动电话导致其夫人苏珊瑞纳患恶性肿瘤并死亡， 因为经过超声断层扫描发现， 她的脑肿瘤 分布呈现以耳朵为中心的弧形， 正好是使用手机时天线尖端的轨迹。 之后世界各地相继出现了移动电话 的电磁辐射损害使用者健康的报道， 一时间引起了众多移动电话用户的恐慌。 移动电话的电磁辐射有多 大，对人体有没有伤害，如何预防或减少电磁辐射对人体的伤害，己成为大众关心的热门话题。目前手 机的广泛应用使得手机对健康的影响日益成为新的研究热点， 但由于应用的数学工具、 建模方法和实验 条件等有所不同，迄今为止，对手机辐射是否对人体健康构成危害，至今尚无定论。对其产生人体生物 学效应的机理更是知之甚少，导致各国制订的手机辐射防护标准版本繁多，差异不小。 作为终端的手机可当作一部小功率的无线收发射机， 对人体健康的影响， 主要是由其发射的高频无 线电波造成的，这点并没有本质上差别，虽然射频 RF 发射功率比较小(1W 左右的量级)，但由于该类 产品在使用环境中要贴近人的大脑， 经常、 长期使用手机是否会对人体眼睛这样的重要器官造成一定程 度的伤害，是一个值得关注的问题。 很多人都有这样的经验，当我们坐在电脑旁工作时，手机一响，电脑显示屏幕上立即会出现闪动的 横线，当我们收听广播时，手机一响，收音机里也会发出“滴滴滴”的干扰声，这说明电磁波信号被电 脑显示器、收音机所吸收，人体对它没有直接感觉，被称为非热效应。红外线能让人感觉发热，被称为 热效应。而手机辐射的频段在广播、电视信号和红外线之间，它既有一部分热效应，也有一部分非热效 应。 手机使用的频率在8001800MHz之间3，手机辐射与X射线、射线等电离辐射完全不同，被称为 非电离性辐射场。 当手机天线发出的微波从空气中传播到生物体表面时，传播条件会发生改变。微波 在靶体表面反射、折射和吸收，其中部分能量进入生物体。如果在体内传播方向适当，可产生全反射形 成驻波，从而使生物体发生最大能量的吸收。手机微波辐射能量以217Hz脉冲式重复速率递增，由于其 频率高、波长短，作用于生物体时不是持续的场能，而是脉冲式的波能，因此对生物体的影响更大。而 手机辐射对人体器官影响的动态仿真研究 2 且手机通过电磁波时刻与基站保持着联系使其能够随时使用， 这种便捷性增加了人体吸收这种无线电波 的时间。以往在手机的电磁辐射研究多以脑模型为研究重点，实际上，诸如眼睛和耳朵等器官并没有象 脑颅骨一样的保护层， 它们往往更敏感和更容易受辐射的影响， 特别是手机长期使用大多要靠近这些部 位，所以，手机辐射对这些部位的影响的研究变得更为重要，它是本文的研究重点。 1-2 国内外对比吸收率的研究1-2 国内外对比吸收率的研究 目前，一般认为电磁辐射对人体的影响4包括两个方面: 一、热效应 辐射功率密度 2 10mW/cmS (E194V/m)，人体吸收的辐射能转化为热量，超过人体体温调节能 力时，会引起人体(或局部组织)体温明显升高，或引起生理功能紊乱(人的体温每升高一度，基础代谢 增加约 5-14%，组织中的氧的需求量增加 50-100%)。热效应首先损伤人体上对热比较敏感的器官，例 如眼睛、大脑、男性生殖器等，可导致白内障(S 300 2 mW/cm)。当 Sl0 2 mW/cm，不会引起体温 明显的升高，但可能使体内局部小范围内出现显著的能量吸收(谐振吸收)，引起生理功能的障碍。 二、非热效应 S1 2 mW/cm (E61.4V/m)，长时间照射也不会引起体温明显的升高，但会出现烦躁、头晕、疲 劳、失眠、记忆力减退、脱发、白血球升高、植物神经功能紊乱等症状以及使用者脑电图和心电图的变 化。这些一般称为电磁辐射的非热效应，这些症状在脱离辐射源后一般是可以逐渐恢复的。 当前， 在电磁场(波)与人体相互作用的研究中都是从电磁场对人体的热效应出发分析人体对电磁 吸收水平，并以单位质量的人体组织所吸收的电磁功率即比吸收率 SAR 作为电磁场(波)对人体的作用 的电磁吸收多少的一个衡量标准。 1-2-11-2-1 比吸收率的概念比吸收率的概念 手机电磁辐射对人体的作用，无法通过目测或者直接的感官得知，属于一种无形的环境污染。其对 人体的具体危害造成的后果虽然还没有科学实验证实， 但是长期处于辐射之下， 必将对人体的生理以及 心理带来一定的负面影响。过往由于手机等无线通信终端设备使用较少，这个危害还不为人们所重视， 但是随着技术的发展， 人均拥有手机的数量以及人均手机使用的通话时间都有了极大的增长。 为了衡量 手机电磁辐射对人体的危害，比吸收率的概念就由此被提了出来。 国外对于电磁辐射的研究早在上世纪五十年代就己经在军方的实验室进行了。 当时研究的重点多集 中于大功率的电磁辐射即军事上的应用。早期用于衡量电磁辐射大小的指标通常采用最大辐射容许值 MPE (Maximum Permissible Exposure)。MPE 是指：在一定的辐射条件下，对人体组织辐射了一定时间 后，会使组织产生明显损害的某波长电磁波的能量大小。MPE 数值根据不同条件，计算方式也有所不 同，在此就不作详细说明了。 MPE 的计算过程不够简洁，而且由于人体各部位电磁参数不尽相同，在考虑电磁辐射造成的热效 河北工业大学硕士学位论文 3 应的时候，情况也有所不同，因此用于衡量电磁辐射对人体的影响并不是非常合适。 日前用于衡量电磁辐射的指标通常采用比吸收率 SAR( Specific Absorption Rate )。SAR 最初是生物 计量学中的一个物理量，现在被引入到了计算电磁学中。比吸收率5,6定义为单位时间内单位质量的人 体组织所吸收或消耗的电磁辐射功率，其单位大多采用 W/kg，也可以使用 mW/g 表示。 = = dV dW dt d dm d dt d SAR W (1.1) 上式就是根据定义得到的 SAR 表达式，其中 t 为时间，单位为 s；W 为辐射功率，单位为 W；m 为人体组织的质量， 单位为 kg；为物质密度， 单位为 kg/ 3 m； V 为人体组织结构的体积， 单位为 3 m。 在实际的计算或者测量中， 辐射功率是不容易直接得到的一个参数， 因此可以将上式变换成以下形 式： 2 E SAR = (1.2) 其中，E 是人体组织中电场强度的均方根值，即： 2 z 2 y 2 x EEE+=E，单位为 V/m；是人体 组织的电导率，单位是 S/m。电导率和密度可以通过简单的生物实验得到，因此从这个式子出发，只要 知道人体组织的电场强度的分布，就可以很方便的计算得到 SAR 值。 本文对于比吸收率的研究，是从电磁场计算角度来考虑，通过得到电场强度分布来推算 SAR 值。 同时，SAR 值又可以根据考察的需要分为局部 SAR 值和平均 SAR 值。平均 SAR 值就是在前面计算的 基础上，在一定质量的组织范围内对 SAR 求平均值的过程。一般取的质量单元的大小为 1g 或者 10g。 局部 SAR 值主要用在考察一定范围内电磁辐射的最大峰值， 以评判手机是否符合相关的安全规范标准； 而平均 SAR 值可以描绘出空间电磁辐射的分布状况，给进一步的分析提供帮助。 1-2-21-2-2 国内外对比吸收率的研究 国内外对比吸收率的研究 比吸收率的概念最早在 1953 年由美国的学者 Schwan 提出。国外对于比吸收率的研究，开始于上 世纪七十年代末期，当时由于计算机技术的限制，所有的研究仅停留在简单的估算和定性的描述。而且 由于手机等移动通信设备使用还不够普及，比吸收率的研究发展的很缓慢。 到了上世纪九十年代， 随着各种数值算法的成熟以及计算机技术的发展， 越来越多的人开始利用数 值计算来分析电磁场问题。通过 CT 扫描得到的真实人体模型被应用在仿真计算里面。从九十年代中期 开始，随着制造技术的发展，实验方法以及实验仪器也不断的被研制出来，使得理论与实践有了互相参 考的机会。 P. J. Dimbylow7等在 1994 年分析了在 900MHz 和 1800MHz 频率下几种单极天线手机对人体的作 用，首次用到由核磁共振成像建立的人头模型。 M. A. Jensen8等在 900MHz 的条件下研究了人体头部与手机的相互作用，但以讨论人体对天线辐 射特性影响为主，仅给出了人体 SAR 分布的简单结果。 Okoniewski 等9在 1996 年用 FDTD 法详细研究了在手机辐射下， 几种不同人体头部模型(均匀立方 手机辐射对人体器官影响的动态仿真研究 4 体、均匀球体和两种基于 MRI 的模型)内部的能量沉积和 SAR 分布情况。 Wolker10等在 1996 年用 FDTD 法计算并用实验法测试了人头部在手机辐射作用下的 SAR 分布， 计算中用到由三维 MRI 扫描图像得到的三种模型。 2004 年韩国的 D.G.Choil、 C.S.Shin 博士11从分析移动通信终端电磁辐射对人体作用机理开始探讨， 通过应用 FDTD 方法对最易受到天线辐射影响的人体头部进行分析，确立了用 SAR 分布曲线及三维分 布图来分析移动通信终端电磁辐射在人体的吸收情况，得出了减少 SAR 值的直接有效的手机天线设计 方法。 国内对比吸收率的研究开始的比较晚， 从上世纪九十年代中后期开始， 其中信息产业部所属的泰尔 实验室是国内开展系统研究最早的单位。 但是目前国内各科研单位由于条件所限， 研究多在理论方面进 行。 王长清、祝里西和康刚等12,13在1995-1997年间计算了分辨率为0. 655 cm的人体非均匀块状模型在 频率为900MHz，长度为/4的单极天线手机作用下人体内的SAR分布。 闻映红、张林昌等14在1998年计算了频率为900MHz的手机天线对人体全身模型作用时人体内的场 强分布。计算分别在人体处于自由空间中、四周反射墙中的不同条件下进行，其FDTD法采用PML吸收 边界条件，最后结果中没有给出SAR值。 周永军、牛中奇等 15在2007年用时域有限差分法通过分层人体建模计算了900MHz平面波照射下不 同姿态的SAR分布。 1-2-3 1-2-3 SAR 限值标准 限值标准 在国际上现在有两个 SAR 限值标淮，一个是在欧洲采用的通行标准：国际非电离性照射防护委员 会(International Commission on Non-Ionizing Radiation Protection, ICNIRP )，称为 IEEE1528SAR-200x 标 准；另一个是美国国家标准化协会(ANSI)规定的 ANSI/IEEE 安全标准。其中应用较为广泛的是美国制 订的 ANSI/IEEEC95.1-199216安全标准： 以 1 克组织为测量单位， 该文献定出人体暴露于 RF 辐射(3 kHz 至 300GHz)下的安全标准为：对于公众场合下的照射，在任意连续 30 分钟内，人体全身平均 SAR 应 小于 0.08w/kg，任意 1 克肌体中最大 SAR 应小于 1.6w/kg。这一标准是目前国际电信业界的通用标准。 欧洲采用的测试标准的测量单位是 10 克。1998 年国际非电离防护委员会(ICNIRP)公布了一个文件，即 随时间变化的电场、磁场和电磁场暴露限制的导则 ，对于 l0MHz10GHz 频段规定的限值是:头部 和躯干部位，暴露每 10 克 SAR 限值是 2 W/kg17。 从上面的标准可以看到， 不同的标准之间还是存在着一定的差异。 以美国为代表的标准以较小的质 量单位来定标，而欧洲的质量单位均达到 10g。如果简单的将美国标准中的 SAR 最大允许值乘以 10， 得到 16W/kg，远远大于美国标准。但是事实上并不能这样简单计算，因为 1g 组织和 10g 组织在近区场 吸收的能量并不是线性关系，同时也不存在统计关系。因此，标准限值的协调问题有待于进一步论证。 目前，这些标准均尚未引入我国，有关实验数据也无从取得，我国至今仍未明确制定手机专用的安 全卫生标准18，各种不同的测试方法很难得以确认和比较。现有的国家标准电磁辐射防护规定 (GB8702-88)，电磁辐射防护限值包括基本限值和导出限值。基本限值：对于公众照射，在一天 24 小时 以内，任意连续 6 分钟全身平均的比吸收率（SAR）应小于 0.02W/kg；导出限值：包括电场强度、磁 场强度和辐射功率密度，对于公众照射，在 303000MHz，一天 24 小时内，辐射功率密度在任意连续 河北工业大学硕士学位论文 5 6 分钟内的平均值应小于 40 2 cm/W。但是此标准还不适合作为手机的卫生安全标准。 本文采用的是美国国家标准化协会(ANSI)规定的 ANSI/IEEE 安全标准。 1-3 本文的主要内容 1-3 本文的主要内容 本论文的工作是围绕 GSM 手机在 900MHz 辐射下人体头部内（主要是眼睛）和心脏的场强和比吸 收率的分布研究而展开的。具体说来，本论文的工作主要包括以下几个方而: 一、将 FDTD 法引入到 SAR 计算中，并对边界条件、网格剖分进行定义，以更好的适应电磁辐射 的计算。 二、建立手机和人体头部的电磁模型，本文所建立的是简化的单极天线的手机模型，包含杆状天线 和手机主体盒两部分。 人体头部模型分为佩戴金属眼镜的头模型和没有佩戴眼镜的头模型， 用三层球模 型来模拟人体的头部， 将两个内部充满玻璃体外面覆盖一层巩膜的小球体嵌入人体头模型内部来模拟眼 睛，用一根金属棒来模拟金属镜架的一条眼镜腿。 三、计算在佩戴金属镜架和没有佩戴眼镜使用手机时，眼睛内的场强和比吸收率的大小、分布，并 将计算结果同现有的安全标准进行比较。 四、对人体的胸部进行建模，用圆柱体来模拟人体的躯干，球体模拟心脏，计算当人们将手机放在 左上衣口袋，使用手机耳机接听电话时手机的电磁辐射对人体心脏的影响。 最后对全文进行了总结概括，并指出了进一步研究的问题与方向。 手机辐射对人体器官影响的动态仿真研究 6 第二章 第二章 FDTD 在在 SAR 模拟仿真计算中的应用 模拟仿真计算中的应用 时域有限差分法(Finite-Difference Time-Domain Method)简称 FDTD,最早由 K.S.Yee19在 1966 年提 出，其后得到了不断的发展20。采用 FDTD 求解电磁场问题，由于其直接建立在所有电磁问题的电磁 场都满足的麦克斯韦方程组基础之上，因此求解思路清晰，且易于实现。而且由于它是一种时域方法， 可以获得我们感兴趣的任何一个时刻的场分布情况。 FDTD 现已被广泛应用于电磁辐射与散射21， 天线 分析、电磁兼容技术等多种电磁问题的求解。本章将从麦克斯韦方程出发，阐述时域有限差分法的基本 原理、稳定性条件、吸收边界条件等基本问题。 2-1 时域有限差分法的基本原理 2-1 时域有限差分法的基本原理 2-1-1 有限差分的概念 2-1-1 有限差分的概念 有限差分法简称差分法，是电磁场数值分析应用较早的一种方法。其基本原理是用差分替代微分， 从而将复杂的微分方程转化为代数方程，方便了应用计算机来进行求解。 设函数( )xf，其独立变量x有一很小的增量hx =，则相应的该函数( )xf的增量为： ()( )xfhxff+= (2.1) 它称为函数( )xf的一阶差分，因为是有限量的差，故称为有限差分。而一阶差分( )xf除以增量 h 的值，称为一阶差商： ()( ) h xfhxf x f+ = (2.2) 根据一阶导数的定义： ( ) ( ) x xf dx df xf x = 0 lim (2.3) 可以看出，当(2.2)中的h越小，差分和微分的值将越接近，两者的差值将越小。(2.2)为前向差分， 此外还有以下两种差分形式： ( )() h hxfxf x f = （后向差分） (2.4) ()() h hxfhxf x f 2 + = （中心差分） (2.5) 三种差分方法中，采用中心差分的截断误差最小，这可以从泰勒展式来说明 ()( ) +=+ 3 2 2 2 2 1 h dx fd h dx df hxfhxf ！ （2.6） 河北工业大学硕士学位论文 7 ()( ) += 3 2 2 2 2 1 h dx fd h dx df hxfhxf ！ (2.7) 故有： ()()( ) +=+ 4 3 3 3 3 2 2h dx fd h dx df hhxfhxf ！ (2.8) 比较(2.5)和(2.8)可以看到用中心差分替代微分两者的截断误差为 3 h ，当h较小时，用差分替代 微分将获得足够的精度。 2-1-2 时域有限差分法基本原理2-1-2 时域有限差分法基本原理 时域有限差分法直接求解依赖时间的麦克斯韦旋度方程， 采用二阶精度的中心差分把旋度方程中的 微分方程变成差分方程。 考察空间无源区域，其媒质参数不随时间变化且各向同性，则麦克斯韦旋度方程可以写为22 ： J t D H r r r + = （2.9） m J t B E r r r = （2.10） 其中， E r 为电场强度，单位为伏特/米（V/m） ； D r 为电通量密度，单位为库仑/米 2 （C/m2） ； H r 为磁场强度，单位为安培/米（A/m） ； B r 为磁通量密度，单位为韦伯/米 2 （Wb/m2） ； J r 为电流密度，单位为安培/米 2 （A/m2） ； m J r 为磁流密度，单位为伏特/米 2 （V/m2） 。 各向同性线性介质中，有如下关系： ED rr = ， HB rr =， EJ rr =， HJ mm rr = （2.11） 其中，表示介质介电常数，单位为法拉/米（F/m） ；磁导系数，单位为亨利/米（H/ m） ；表示电 导率，单位为西门子/米（S/m） ； m 表示磁导率，单位为欧姆/米（m/） 。和 m 分别为介质的电 损耗和磁损耗。真空中0, 0= m ，以及 手机辐射对人体器官影响的动态仿真研究 8 12 0 1085. 8 = F/m 7 0 104 = H/m 在直角坐标系下，麦克斯韦方程（2.9）和（2.10）式写为； y y zx E t E x H z H r r rr + = z zx y E t E y H x H r rr r + = （2.12） x x y z E t E z H y H r r r r + = 以及 ym y zx H t H x E z E r r rr = zm zx y H t H y E x E r rr r = (2.13) xm x y z H t H z E y E r r r r = 为了将上面的分量表达式进行差分，应当将考察的空间进行离散，也就是建立空间网格，Yee 采用 矩形网格来进行空间离散。 出于计算方便的考虑， 将每个节点进行编号， 节点的编号和其空间坐标位置按照下面的方式对应起 来 ()()zkyjxikji=, (2.14) 上式中x，y和z分别为zyx、方向上离散的空间步长。 在时间上也进行离散，时间步长设为t，则空间中任意一点在某一时刻的场值可以写为： ()()tnzkyjxiFkjiF n =, (2.15) Yee 采用中心差分来代替对时间和空间的微分，具有二阶精度， ()()() ()() 2 ,21,21, x x kjiFkjiF x kjiF nnn + + = (2.16) ()()() ()() 2 2121 , t t kjiFkjiF t kjiF nnn + = + (2.17) 河北工业大学硕士学位论文 9 图 2.1 Yee 网格中的电磁场分量的排列 Fig. 2.1 The array of the electric field and the magnetic field on the Yee cell 为了获得空间微分的二阶精度，Yee 巧妙的按照图 2.1 的方式放置每一个网格上的场分量，这样放 置的另外一个好处就是便于利用边界条件，例如，若某一网格由理想导体构成，理想导体上电场的切向 分量为零，磁场法向分量为零， 那么采用这种放置方式我们可以很方便的利用边界条件， 试着交换E和 H对应的分量，则不能很好的利用边界条件。同时为了获得时间微分的二阶精度，Yee 将E和H在时 间上相差半个步长交替计算。我们可以将（2.12）做下面的处理： ()() ()() ()() () ()() ()kjiE t kjikji kjiE t kjikji z kjiHkjiH y kjiHkjiH n x xx n x xx n y n y n z n z ,21 ,21 2 ,21 ,21 ,21 2 ,21 21,2121,21 ,21,21,21,21 1 2121 2121 + + + + + + + + = + + + + + r r rr rr (2.18) 由上式可以解出()kjiEn x ,21 1 + + r ，对(2.12)和(2.13)各式运用相似的过程，则可以得到六个场分 量的有限差分式如下： ()( )() ( ) ()() ()() + + + +=+ + + + z kjiHkjiH y kjiHkjiH mCB kjiEmCAkjiE n y n y n z n z n x n x 21,2121,21 ,21,21,21,21 ,21,21 2121 2121 1 rr rr rr (2.19) Z(k) Y(j) X(i) （i,j,k） (i,j+1,k) (i-1,j+1,k) (i-1,j+1,k+1) (i-1,j,k+1) (i,j,k+1) z E r x H r x H r z E r y E r x E r y H r z E r x E r z H r y E r x E r O 手机辐射对人体器官影响的动态仿真研究 10 式中()kjim,21+=。 ()( )() ( ) ()() ()() + + + +=+ + + + x kjiHkjiH z kjiHkjiH mCB kjiEmCAkjiE n z n z n x n x n y n y ,21,21,21,21 21,21,21,21, ,21,21, 2121 2121 1 rr rr rr (2.20) 式中()kjim,21,+=。 ()( )() ( ) ()() ()() + + + +=+ + + + x kjiHkjiH z kjiHkjiH mCB kjiEmCAkjiE n x n x n y n y n z n z 21,21,21,21, 21,2121,21 21,21, 2121 2121 1 rr rr rr (2.21) 式中()21,+=kjim。 ()( )() ( ) ()() ()() + + +=+ + z kjiEkjiE y kjiEkjiE mCQ kjiHmCPkjiH n y n y n z n z n x n x ,21,1,21, 21,21, 1, 21,21,21,21, 2121 rr rr rr (2.22) 式中()21,21,+=kjim。 ()( )() ( ) ()() ()() + + +=+ + x kjiEkjiE z kjiEkjiE mCQ kjiHmCPkjiH n z n z n x n x n y n y 21,21, 1 ,2121,21 21,2121,21 2121 rr rr rr (2.23) 式中()21,21+=kjim。 河北工业大学硕士学位论文 11 ()( )() ( ) ()() ()() + + +=+ + y kjiEkjiE x kjiEkjiE mCQ kjiHmCPkjiH n x n x n y n y n z n z ,21, 1,21 ,21,21, 1 ,21,21,21,21 2121 rr rr rr (2.24) 式中()kjim,21,21+=。 在式 2.112.16 中： ( ) ( )( ) ( )( ) 2 2 m t m m t m mCA + = ( ) ( ) 2 )( 1 m t m mCB + = (2.25) ( ) ( )( ) ( )( ) 2 2 m t m m t m mCP m m + = ( ) ( )( ) 2 1 m t m mCQ m + = 2-1-3 稳定性条件 2-1-3 稳定性条件 FDTD 方法是以一组有限差分方程来代替 Maxwell 旋度方程， 即以差分方程的解来代替原来电磁场 偏微分方程组的解。 只有离散后的差分方程组的解是收敛和稳定的， 这样的替代才是有意义。 稳定性23,24 是指寻求一种离散间隔所满足的条件，在此条件下差分方程的数值解与原方程的严格解之间的差为有 界。 收敛性是指当离散间隔趋于零时， 差分方程的解在空间任意一点和任意时刻都一致趋于原方程的解。 从麦克斯韦方程可导出电磁场任意直角分量均满足齐次波动方程： 0 2 2 2 2 2 2 2 2 =+ + + f cz f y f x f （2.26） 考虑平面波的解，即： )(exp),( 0 tzkykxkjftzyxf zyx += （2.27） 采用有限差分近似，即（2.26）式中的二阶导数近似为： 手机辐射对人体器官影响的动态仿真研究 12 22 2 )( )()(2)( x xxfxfxxf x f + （2.28） 将（2.27）代入上式得： f x xk f x xjkxfxjk x f x xx 2 2 22 2 2 2 sin )( )exp()(2)exp( = + （2.29） （2.26）式中其余二阶导数的差分近似有类似形式，因而波动方程（2.26）的离散式为： 0 2 2 sin 2 2 sin 2 2 sin 2 2 2 2 2 2 2 2 = + + c z zk y yk x xk z y x （2.30） 其中 1 =c为介质中的光速。这一等式给出波动方程离散后平面波（2.27）式中波矢量 ),( zyx kkkk = 与频率之间应满足的关系式，即色散关系。上式又可写为： 1 2 2 2 sin 2 2 sin 2 2 sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = + + t z zk y yk x xk tc z y x (2.31) 上式对任何 zyx kkk,均成立的充分条件是： ()()() 1 111 )( 222 2 + + zyx tc (2.32) 即： ()()()2 22 z 1 y 1 x 1 1 c + + t (2.33) 上式给出了空间和时间离散间隔之间应当满足的关系,又称为 Courant 稳定性条件25。对于三维情 况的立方体元胞,即取=zyx时，(2.33)式有更简单的形式： 3 tc (2.34) 2-2 吸收边界条件2-2 吸收边界条件 通过 FDTD 算法我们模拟空间的电磁场相互作用，由于计算机硬件条件的限制不可能模拟无限大 河北工业大学硕士学位论文 13 的空间，因此其网格总要在某处被截断。把网格空间截断后，需要在计算网格空间中设置边界，在网格 空间的截断处所出现的反射是由 FDTD 算法所导致的非物理的电磁反射。这种反射的存在将严重影响 计算精度。 因此必须设置边界条件来消除这种非物理因素引起的入射到截断边界上的波的反射。 2-2-1 吸收边界条件概述2-2-1 吸收边界条件概述 从吸收边界条件的研究历史看，大致可以分为两个阶段。第一阶段是七、八十年代，共提出了四大 类吸收边界条件，它们是： 基于 Sommerfield 辐射条件的 Bayliss-Turkel 吸收边界条件；基于单向波动 方程的 Engquist-Majda 吸收边界条件； 利用插值技术的廖氏吸收边界条件； 以及梅方超吸收边界条件。 这些吸收边界条件通常在 FDTD 仿真区域的外边界具有 0.5%到 5%的反射系数， 在许多场合可以视为无 反射吸收。第二阶段是九十年代，由 Berenger 提出了完全匹配层(PML)的理论模型，它可以在 FDTD 仿 真区域的外边界提供比上述各种吸收边界条件低 40dB 的反射系数，使吸收边界条件的研究向前迈进了 一大步。 Bayliss-Turkel26吸收边界条件是从波动方程出发，将其解展为收敛级数，然后根据 Sommerlield 辐 射条件，构造偏微分算子 L，如果将 L 作用于波动方程的解，在 R 较大时余项可以忽略，那么边界条 件就可以由 L 来得到。我们可以根据问题求解的复杂度和精度来构造合适的偏微分算子。 如果一个偏微分方程允许波沿一定的方向传播，则称它为单向波方程 27。Enguist 和 Makda 导出了 适合作直角坐标 FDTD 网格吸收边界条件的单向波方程，并证明了在网格边界将得到的算子作用于波 函数将完全吸收以任意角度入射向边界的平面波。 尽管这是一个准确的解析吸收边界条件， 但是由于 算子中包含了根号运算，限制了将其直接用来数值实现吸收边界条件，因此常常作一些近似的处理，例 如，采用泰勒级数或有理函数近似来代替根式。Mur28根据泰勒级数的一阶近似和二阶近似，引入了简 单有效的边界 FDTD 差分格式，这就是广泛使用的 Mur 吸收边界条件来截断仿真区域，其总体虚假反 射在 1 %5%之间。 廖氏吸收边界条件29可以看作利用牛顿后向差分多项式在时空对波函数进行外插的结果。是将边 界上的场值用垂直于边界上的采样点的场值来表达。为此，首先建立采样点区域的内插值表达式，然后 将其外插到边界上，就得到边界上的场值表达式。用内插公式作外插通常会带来高阶误差，但是，只要 牛顿差分多项式中的项数足够多，误差可以控制在允许的范围内。其在网格外边界引起的反射比 Mur 二阶吸收边界条件要小一个数量级。值得一提的是，有文章报道，如果采用单精度计算，可能导致使用 廖氏吸收边界条件的 FDTD 算法不稳定，而采用双精度计算则可改善稳定性。一种保险的做法是，对 每个内插系数施加一个微小的损耗，在保证最终结果精度的同时使计算过程保持稳定。 梅方超吸收概念30自身并不是一个吸收边界条件，其基本思路是将一种吸收边界条件，例如， Mur 吸收边界条件用于计算边界面上的电场和退后半个空间步长处的磁场，由于边界面上的电场已知， 因而还可以通过普通的 FDTD 差分网格形式计算退后半格处的磁场，通过这两次计算的磁场进行适当 的运算可以消掉边界引入的误差， 得到边界面上磁场的理论计算值， 从而改善所采用吸收边界条件的吸 收效果。数值试验表明，在 Mur 的吸收边界条件基础上，采用梅方超吸收过程后，可以使由外边界 反射引起的全局误差减小 60%左右。该方法可能存在的一个缺陷是，对入射角的假设并不严格，因此 迭代过程可能会收敛到一个有一定误差的值上。 手机辐射对人体器官影响的动态仿真研究 14 2-2-2 2-2-2 Berenger 完全匹配层 完全匹配层 1994 年，Berenger31首先提出完全匹配层（Perfectly Matched Layer, PML）32,33,34吸收边界条件， 通过在 FDTD 区域截断边界处设置一种特殊介质层，该层介质的波阻抗与相邻介质波阻抗完全匹配， 因而入射波将无反射地穿过分界面而进入 PML 层。并且，由于 PML 层为有耗介质，进入 PML 层的透 射波将迅速衰减，即使 PML 为有限厚度，它对于入射波仍然有很好的吸收效果。在 PML 中，每个场 分量被分解为两个子分量，PML 介质中的 Maxwell 方程变为以下形式： y HH E t E zyzx xyy xy + =+ )( z HH E t E yxyz xzz xz + =+ )( z HH E t E xzxy yzz yz + =+ )( x HH E t E zyzx yxx yx + =+ )( x HH E t E yxyz zxx zx + =+ )( y HH E t E xzxy zyy zy + =+ )( (2.35) y HH H t H zyzx xymy xy + =+ )( z EE H t H yxyz xzmz xz + =+ )( z EE H t H xzxy yzmz yz + =+ )( x EE H t H zyzx yxmx yx + =+ )( x EE H t H yxyz zxmx zx + =+ )( y EE H t H xzxy zymy zy + =+ )( 其中 mzmymxzyx ,为电导率和磁导率。 若上式中的 zyx =和