2019届高考数学二轮复习专题六函数与导数、不等式第2讲基本初等函数、函数与方程学案理.docx

第2讲基本初等函数、函数与方程高考定位1.掌握二次函数、分段函数、幂函数、指数函数、对数函数的图象性质；2.以基本初等函数为依托，考查函数与方程的关系、函数零点存在性定理；3.能利用函数解决简单的实际问题.真 题 感 悟 1.(2017全国卷)已知函数f(x)x22xa(ex1ex1)有唯一零点，则a()A. B. C. D.1解析f(x)(x1)2a(ex1e1x)1，令tx1，则g(t)f(t1)t2a(etet)1.g(t)(t)2a(etet)1g(t)，函数g(t)为偶函数.f(x)有唯一零点，g(t)也有唯一零点.又g(t)为偶函数，由偶函数的性质知g(0)0，2a10，解得a.答案C2.(2018天津卷)已知alog2e，bln 2，clog，则a，b，c的大小关系是()A.abc B.bacC.cba D.cab解析cloglog23，alog2e，由ylog2x在(0，)上是增函数，知ca1.又bln 21，故cab.答案D3.(2018全国卷)已知函数f(x)g(x)f(x)xa.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是()A.1，0) B.0，)C.1，) D.1，)解析函数g(x)f(x)xa存在2个零点，即关于x的方程f(x)xa有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线yxa有2个交点，作出直线yxa与函数f(x)的图象，如图所示，由图可知，a1，解得a1.答案C4.(2017江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是_.解析一年的总运费与总存储费用之和为y64x4x2240，当且仅当4x，即x30时，y有最小值240.答案30考 点 整 合1.指数式与对数式的七个运算公式(1)amanamn；(2)(am)namn；(3)loga(MN)logaMlogaN；(4)logalogaMlogaN；(5)logaMnnlogaM；(6)alogaNN；(7)logaN(注：a，b0且a，b1，M0，N0).2.指数函数与对数函数的图象和性质指数函数yax(a0，a1)与对数函数ylogax(a0，a1)的图象和性质，分0a1，a1两种情况，当a1时，两函数在定义域内都为增函数，当0a1时，两函数在定义域内都为减函数.3.函数的零点问题(1)函数F(x)f(x)g(x)的零点就是方程f(x)g(x)的根，即函数yf(x)的图象与函数yg(x)的图象交点的横坐标.(2)确定函数零点的常用方法：直接解方程法；利用零点存在性定理；数形结合，利用两个函数图象的交点求解.4.应用函数模型解决实际问题的一般程序.热点一基本初等函数的图象与性质【例1】 (1)(2018郑州一模)若函数ya|x|(a0，且a1)的值域为y|y1，则函数yloga|x|的图象大致是()(2)(2018济南质检)已知a(a1)0，若函数f(x)log2(ax1)在(3，2)上为减函数，且函数g(x)在R上有最大值，则a的取值范围为()A. B.C. D.解析(1)由于ya|x|的值域为y|y1，a1，则ylogax在(0，)上是增函数，又函数yloga|x|的图象关于y轴对称.因此yloga|x|的图象应大致为选项B.(2)f(x)log2(ax1)在(3，2)上为减函数，a，a(a1)0，|a|(1，).当x时，g(x)4x(0，2，又g(x)在R上有最大值，则当x时，log|a|x2，且|a|，log|a|2，|a|2，则|a|，又a，a.答案(1)B(2) A探究提高1.指数函数、对数函数的图象和性质受底数a的影响，解决与指数、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数a的范围.2.研究对数函数的性质，应注意真数与底数的限制条件.如求f(x)ln(x23x2)的单调区间，只考虑tx23x2与函数yln t的单调性，忽视t0的限制条件.【训练1】 (1)函数yln |x|x2的图象大致为()(2)(2018西安调研)设函数f(x)则满足ff(t)2f(t)的t的取值范围是_.解析(1)易知yln|x|x2是偶函数，排除B，D.当x0时，yln xx2，则y2x，当x时，y2x0，yln xx2单调递增，排除C.A项满足.(2)若f(t)1，显然成立，则有或解得t.若f(t)1，由ff(t)2f(t)，可知f(t)1，所以t1，得t3.综上，实数t的取值范围是.答案(1)A(2)热点二函数的零点与方程考法1确定函数零点个数或其存在范围【例21】 (1)函数f(x)log2x的零点所在的区间为()A. B. C.(1，2) D.(2，3)(2)(2018全国卷)函数f(x)cos在0，的零点个数为_.解析(1)函数f(x)的定义域为(0，)，且函数f(x)在(0，)上为增函数.f log21230，f(1)log21010，f(2)log2210，f(3)log2310，即f(1)f(2)0，函数f(x)log2x的零点在区间(1，2)内.(2)由题意知，cos0，所以3xk，kZ，所以x，kZ，当k0时，x；当k1时，x；当k2时，x，均满足题意，所以函数f(x)在0，的零点个数为3.答案(1)C(2)3探究提高1.函数零点 (即方程的根)的确定问题，常见的类型有：(1)函数零点值大致存在区间的确定；(2)零点个数的确定；(3)两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定.2.判断函数零点个数的主要方法：(1)解方程f(x)0，直接求零点；(2)利用零点存在定理；(3)数形结合法：对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个能画出的函数图象交点问题.【训练2】 函数f(x)2sin xsinx2的零点个数为_.解析f(x)2sin xcos xx2sin 2xx2，函数f(x)的零点个数可转化为函数y1sin 2x与y2x2图象的交点个数，在同一坐标系中画出y1sin 2x与y2x2的图象如图所示：由图可知两函数图象有2个交点，则f(x)的零点个数为2.答案2考法2根据函数的零点求参数的取值或范围【例22】 (2018天津卷)已知a0，函数f(x)若关于x的方程f(x)ax恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是_.解析当x0时，由x22axaax，得ax2ax；当x0时，由x22ax2aax，得2ax2ax.令g(x) 作出ya(x0)，y2a(x0)，函数g(x)的图象如图所示，g(x)的最大值为，由图象可知，若f(x)ax恰有2个互异的实数解，则a2a，解得4a8.答案(4，8)探究提高1.求解本题的关键在于转化为研究函数g(x)的图象与ya(x0)，y2a(x0)的交点个数问题：常见的错误是误认为y2a，ya是两条直线，忽视x的限制条件.2.解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解.【训练3】 (2018湖北七校联考)已知f(x)是奇函数且是R上的单调函数，若函数yf(2x21)f(x)只有一个零点，则实数的值是_.解析令yf(2x21)f(x)0，则f(2x21)f(x)f(x)，因为f(x)是R上的单调函数，所以2x21x，只有一个实根，即2x2x10只有一个实根，则18(1)0，解得.答案热点三函数的实际应用【例3】 为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层，体育馆要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)(0x10，k为常数)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求最小值.解(1)当x0时，C8，k40，C(x)(0x10)，f(x)6x6x(0x10).(2)由(1)得f(x)2(3x5)10.令3x5t，t5，35，则y2t1021070(当且仅当2t，即t20时等号成立)，此时x5，因此f(x)的最小值为70.隔热层修建5 cm厚时，总费用f(x)达到最小，最小值为70万元.探究提高解决函数实际应用题的两个关键点(1)认真读题，缜密审题，准确理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学地抽象概括，将实际问题归纳为相应的数学问题.(2)要合理选取参变量，设定变量之后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数模型，最终求解数学模型使实际问题获解.【训练4】 (2018大连质检)某海上油田A到海岸线(近似直线)的垂直距离为10海里，垂足为B，海岸线上距离B处100海里有一原油厂C，现计划在BC之间建一石油管道中转站M.已知海上修建石油管道的单位长度费用是陆地上的3倍，要使从油田A处到原油厂C修建管道的费用最低，则中转站M到B处的距离应为()A.5海里 B. 海里C.5海里 D.10海里解析设中转站M到B处的距离为x海里，修造管道的费用为y，陆地上单位长度修建管道的费用为a，依题意，ya(3100x)，0x100，则yaa.令y0，得3x，解得x.当x时，y取得最小值.答案B1.指数函数与对数函数的图象和性质受底数a(a0，且a1)的取值影响，解题时一定要注意讨论，并注意两类函数的定义域与值域所隐含条件的制约.2.(1)忽略概念致误：函数的零点不是一个“点”，而是函数图象与x轴交点的横坐标.(2)零点存在性定理注意两点：满足条件的零点可能不唯一；不满足条件时，也可能有零点.3.利用函数的零点求参数范围的主要方法：(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解.4.构建函数模型解决实际问题的常见类型与求解方法：(1)构建二次函数模型，常用配方法、数形结合、分类讨论思想求解.(2)构建分段函数模型，应用分段函数分段求解的方法.(3)构建f(x)x(a0)模型，常用基本不等式、导数等知识求解.一、选择题1.(2017北京卷)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是()(参考数据：lg 30.48)A.1033 B.1053 C.1073 D.1093解析M3361，N1080，则lglglg 3361lg1080361lg 38093.1093.答案D2.(2018潍坊三模)已知a，b，clog，则a，b，c的大小关系是()A.abc B.bacC.cab D.acb解析yx在(0，)上是增函数，ab1.由于0，clog1.因此cba.答案A3.函数f(x)ln xex(e为自然对数的底数)的零点所在的区间是()A. B. C.(1，e) D.(e，)解析函数f(x)ln xex在(0，)上单调递增，因此函数f(x)最多只有一个零点.当x0时，f(x)；又f lnee10，函数f(x)ln xex(e为自然对数的底数)的零点所在的区间是.答案A4.(2018全国卷)设alog0.20.3，blog20.3，则()A.abab0 B.abab0C.ab0ab D.ab0ab解析由alog0.20.3得log0.30.2，由blog20.3得log0.32，所以log0.30.2log0.32log0.30.4，所以01，得01.又a0，b0，所以ab0，所以abab0.答案B5.(2018北京燕博园联考)已知函数f(x)若函数yf(x)k有三个不同的零点，则实数k的取值范围是()A.(2，2) B.(2，1)C.(0，2) D.(1，3)解析当x0时，f(x)x33x，则f(x)3x23，令f(x)0，x1(舍去正根)，故f(x)在(，1)上单调递增，在(1，0)上单调递减，又f(x)ln(x1)在x0上单调递增.则函数f(x)图象如图所示.f(x)极大值f(1)132，且f(0)0.故当k(0，2)时，yf(x)k有三个不同零点.答案C二、填空题6.(2018浙江卷改编)已知R，函数f(x)若函数f(x)恰有2个零点，则的取值范围是_.解析令f(x)0，当x时，x4.当x时，x24x30，则x1或x3.若函数f(x)恰有2个零点，结合如图函数的图象知，13或4.答案(1，3(4，)7.将甲桶中的a L水缓慢注入空桶乙中，t min后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线yaent.假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min甲桶中的水只有 L，则m的值为_.解析5 min后甲桶和乙桶的水量相等，函数yf(t)aent满足f(5)ae5na，可得nln，f(t)a，因此，当k min后甲桶中的水只有 L时，f(k)aa，即，k10，由题可知mk55.答案58.(2018广州模拟)已知函数f(x)若方程f(x)ax有三个不同的实数根，则a的取值范围是_.解析在同一坐标系内，作函数yf(x)与yax的图象，当yax是yln x的切线时，设切点P(x0，y0)，y0ln x0，a(ln x)|xx0，y0ax01ln x0，x0e，故a.故yax与yf(x)的图象有三个交点时，0a.答案三、解答题9.(2018雅礼中学月考)已知函数f(x)(1)求方程f(x)3f(2)的解集；(2)讨论函数g(x)f(x)a(aR)的零点的个数.解(1)f(2)log331，当x1时，由f(x)3f(2)3得x127，即x26.当x1时，由f(x)3得5x8，即x3.故方程f(x)3f(2)的解集为3，26.(2)当x1时，f(x)log3(x1)递增，且f(x)(log32，).当x1时，f(x)log2(5x)递减，且f(x)2，).由g(x)f(x)a0得f(x)a，故当a(，log32时，g(x)的零点个数为0；当a(log32，2)时，g(x)的零点个数为1；当a2，)时，g(x)的零点个数为2.10.候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为vablog3(其中a，b是实数).据统计，该种鸟类在静止时其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，