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文档简介
第2讲基本初等函数、函数与方程高考定位1.掌握二次函数、分段函数、幂函数、指数函数、对数函数的图象性质;2.以基本初等函数为依托,考查函数与方程的关系、函数零点存在性定理;3.能利用函数解决简单的实际问题.真 题 感 悟 1.(2017全国卷)已知函数f(x)x22xa(ex1ex1)有唯一零点,则a()A. B. C. D.1解析f(x)(x1)2a(ex1e1x)1,令tx1,则g(t)f(t1)t2a(etet)1.g(t)(t)2a(etet)1g(t),函数g(t)为偶函数.f(x)有唯一零点,g(t)也有唯一零点.又g(t)为偶函数,由偶函数的性质知g(0)0,2a10,解得a.答案C2.(2018天津卷)已知alog2e,bln 2,clog,则a,b,c的大小关系是()A.abc B.bacC.cba D.cab解析cloglog23,alog2e,由ylog2x在(0,)上是增函数,知ca1.又bln 21,故cab.答案D3.(2018全国卷)已知函数f(x)g(x)f(x)xa.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是()A.1,0) B.0,)C.1,) D.1,)解析函数g(x)f(x)xa存在2个零点,即关于x的方程f(x)xa有2个不同的实根,即函数f(x)的图象与直线yxa有2个交点,作出直线yxa与函数f(x)的图象,如图所示,由图可知,a1,解得a1.答案C4.(2017江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是_.解析一年的总运费与总存储费用之和为y64x4x2240,当且仅当4x,即x30时,y有最小值240.答案30考 点 整 合1.指数式与对数式的七个运算公式(1)amanamn;(2)(am)namn;(3)loga(MN)logaMlogaN;(4)logalogaMlogaN;(5)logaMnnlogaM;(6)alogaNN;(7)logaN(注:a,b0且a,b1,M0,N0).2.指数函数与对数函数的图象和性质指数函数yax(a0,a1)与对数函数ylogax(a0,a1)的图象和性质,分0a1,a1两种情况,当a1时,两函数在定义域内都为增函数,当0a1时,两函数在定义域内都为减函数.3.函数的零点问题(1)函数F(x)f(x)g(x)的零点就是方程f(x)g(x)的根,即函数yf(x)的图象与函数yg(x)的图象交点的横坐标.(2)确定函数零点的常用方法:直接解方程法;利用零点存在性定理;数形结合,利用两个函数图象的交点求解.4.应用函数模型解决实际问题的一般程序.热点一基本初等函数的图象与性质【例1】 (1)(2018郑州一模)若函数ya|x|(a0,且a1)的值域为y|y1,则函数yloga|x|的图象大致是()(2)(2018济南质检)已知a(a1)0,若函数f(x)log2(ax1)在(3,2)上为减函数,且函数g(x)在R上有最大值,则a的取值范围为()A. B.C. D.解析(1)由于ya|x|的值域为y|y1,a1,则ylogax在(0,)上是增函数,又函数yloga|x|的图象关于y轴对称.因此yloga|x|的图象应大致为选项B.(2)f(x)log2(ax1)在(3,2)上为减函数,a,a(a1)0,|a|(1,).当x时,g(x)4x(0,2,又g(x)在R上有最大值,则当x时,log|a|x2,且|a|,log|a|2,|a|2,则|a|,又a,a.答案(1)B(2) A探究提高1.指数函数、对数函数的图象和性质受底数a的影响,解决与指数、对数函数特别是与单调性有关的问题时,首先要看底数a的范围.2.研究对数函数的性质,应注意真数与底数的限制条件.如求f(x)ln(x23x2)的单调区间,只考虑tx23x2与函数yln t的单调性,忽视t0的限制条件.【训练1】 (1)函数yln |x|x2的图象大致为()(2)(2018西安调研)设函数f(x)则满足ff(t)2f(t)的t的取值范围是_.解析(1)易知yln|x|x2是偶函数,排除B,D.当x0时,yln xx2,则y2x,当x时,y2x0,yln xx2单调递增,排除C.A项满足.(2)若f(t)1,显然成立,则有或解得t.若f(t)1,由ff(t)2f(t),可知f(t)1,所以t1,得t3.综上,实数t的取值范围是.答案(1)A(2)热点二函数的零点与方程考法1确定函数零点个数或其存在范围【例21】 (1)函数f(x)log2x的零点所在的区间为()A. B. C.(1,2) D.(2,3)(2)(2018全国卷)函数f(x)cos在0,的零点个数为_.解析(1)函数f(x)的定义域为(0,),且函数f(x)在(0,)上为增函数.f log21230,f(1)log21010,f(2)log2210,f(3)log2310,即f(1)f(2)0,函数f(x)log2x的零点在区间(1,2)内.(2)由题意知,cos0,所以3xk,kZ,所以x,kZ,当k0时,x;当k1时,x;当k2时,x,均满足题意,所以函数f(x)在0,的零点个数为3.答案(1)C(2)3探究提高1.函数零点 (即方程的根)的确定问题,常见的类型有:(1)函数零点值大致存在区间的确定;(2)零点个数的确定;(3)两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定.2.判断函数零点个数的主要方法:(1)解方程f(x)0,直接求零点;(2)利用零点存在定理;(3)数形结合法:对于给定的函数不能直接求解或画出图形,常会通过分解转化为两个能画出的函数图象交点问题.【训练2】 函数f(x)2sin xsinx2的零点个数为_.解析f(x)2sin xcos xx2sin 2xx2,函数f(x)的零点个数可转化为函数y1sin 2x与y2x2图象的交点个数,在同一坐标系中画出y1sin 2x与y2x2的图象如图所示:由图可知两函数图象有2个交点,则f(x)的零点个数为2.答案2考法2根据函数的零点求参数的取值或范围【例22】 (2018天津卷)已知a0,函数f(x)若关于x的方程f(x)ax恰有2个互异的实数解,则a的取值范围是_.解析当x0时,由x22axaax,得ax2ax;当x0时,由x22ax2aax,得2ax2ax.令g(x) 作出ya(x0),y2a(x0),函数g(x)的图象如图所示,g(x)的最大值为,由图象可知,若f(x)ax恰有2个互异的实数解,则a2a,解得4a8.答案(4,8)探究提高1.求解本题的关键在于转化为研究函数g(x)的图象与ya(x0),y2a(x0)的交点个数问题:常见的错误是误认为y2a,ya是两条直线,忽视x的限制条件.2.解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题,关键是利用函数方程思想或数形结合思想,构建关于参数的方程或不等式求解.【训练3】 (2018湖北七校联考)已知f(x)是奇函数且是R上的单调函数,若函数yf(2x21)f(x)只有一个零点,则实数的值是_.解析令yf(2x21)f(x)0,则f(2x21)f(x)f(x),因为f(x)是R上的单调函数,所以2x21x,只有一个实根,即2x2x10只有一个实根,则18(1)0,解得.答案热点三函数的实际应用【例3】 为了降低能源损耗,某体育馆的外墙需要建造隔热层,体育馆要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系:C(x)(0x10,k为常数),若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元,设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.(1)求k的值及f(x)的表达式;(2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小?并求最小值.解(1)当x0时,C8,k40,C(x)(0x10),f(x)6x6x(0x10).(2)由(1)得f(x)2(3x5)10.令3x5t,t5,35,则y2t1021070(当且仅当2t,即t20时等号成立),此时x5,因此f(x)的最小值为70.隔热层修建5 cm厚时,总费用f(x)达到最小,最小值为70万元.探究提高解决函数实际应用题的两个关键点(1)认真读题,缜密审题,准确理解题意,明确问题的实际背景,然后进行科学地抽象概括,将实际问题归纳为相应的数学问题.(2)要合理选取参变量,设定变量之后,就要寻找它们之间的内在联系,选用恰当的代数式表示问题中的关系,建立相应的函数模型,最终求解数学模型使实际问题获解.【训练4】 (2018大连质检)某海上油田A到海岸线(近似直线)的垂直距离为10海里,垂足为B,海岸线上距离B处100海里有一原油厂C,现计划在BC之间建一石油管道中转站M.已知海上修建石油管道的单位长度费用是陆地上的3倍,要使从油田A处到原油厂C修建管道的费用最低,则中转站M到B处的距离应为()A.5海里 B. 海里C.5海里 D.10海里解析设中转站M到B处的距离为x海里,修造管道的费用为y,陆地上单位长度修建管道的费用为a,依题意,ya(3100x),0x100,则yaa.令y0,得3x,解得x.当x时,y取得最小值.答案B1.指数函数与对数函数的图象和性质受底数a(a0,且a1)的取值影响,解题时一定要注意讨论,并注意两类函数的定义域与值域所隐含条件的制约.2.(1)忽略概念致误:函数的零点不是一个“点”,而是函数图象与x轴交点的横坐标.(2)零点存在性定理注意两点:满足条件的零点可能不唯一;不满足条件时,也可能有零点.3.利用函数的零点求参数范围的主要方法:(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的位置关系问题,从而构建不等式求解.4.构建函数模型解决实际问题的常见类型与求解方法:(1)构建二次函数模型,常用配方法、数形结合、分类讨论思想求解.(2)构建分段函数模型,应用分段函数分段求解的方法.(3)构建f(x)x(a0)模型,常用基本不等式、导数等知识求解.一、选择题1.(2017北京卷)根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是()(参考数据:lg 30.48)A.1033 B.1053 C.1073 D.1093解析M3361,N1080,则lglglg 3361lg1080361lg 38093.1093.答案D2.(2018潍坊三模)已知a,b,clog,则a,b,c的大小关系是()A.abc B.bacC.cab D.acb解析yx在(0,)上是增函数,ab1.由于0,clog1.因此cba.答案A3.函数f(x)ln xex(e为自然对数的底数)的零点所在的区间是()A. B. C.(1,e) D.(e,)解析函数f(x)ln xex在(0,)上单调递增,因此函数f(x)最多只有一个零点.当x0时,f(x);又f lnee10,函数f(x)ln xex(e为自然对数的底数)的零点所在的区间是.答案A4.(2018全国卷)设alog0.20.3,blog20.3,则()A.abab0 B.abab0C.ab0ab D.ab0ab解析由alog0.20.3得log0.30.2,由blog20.3得log0.32,所以log0.30.2log0.32log0.30.4,所以01,得01.又a0,b0,所以ab0,所以abab0.答案B5.(2018北京燕博园联考)已知函数f(x)若函数yf(x)k有三个不同的零点,则实数k的取值范围是()A.(2,2) B.(2,1)C.(0,2) D.(1,3)解析当x0时,f(x)x33x,则f(x)3x23,令f(x)0,x1(舍去正根),故f(x)在(,1)上单调递增,在(1,0)上单调递减,又f(x)ln(x1)在x0上单调递增.则函数f(x)图象如图所示.f(x)极大值f(1)132,且f(0)0.故当k(0,2)时,yf(x)k有三个不同零点.答案C二、填空题6.(2018浙江卷改编)已知R,函数f(x)若函数f(x)恰有2个零点,则的取值范围是_.解析令f(x)0,当x时,x4.当x时,x24x30,则x1或x3.若函数f(x)恰有2个零点,结合如图函数的图象知,13或4.答案(1,3(4,)7.将甲桶中的a L水缓慢注入空桶乙中,t min后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线yaent.假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等,若再过m min甲桶中的水只有 L,则m的值为_.解析5 min后甲桶和乙桶的水量相等,函数yf(t)aent满足f(5)ae5na,可得nln,f(t)a,因此,当k min后甲桶中的水只有 L时,f(k)aa,即,k10,由题可知mk55.答案58.(2018广州模拟)已知函数f(x)若方程f(x)ax有三个不同的实数根,则a的取值范围是_.解析在同一坐标系内,作函数yf(x)与yax的图象,当yax是yln x的切线时,设切点P(x0,y0),y0ln x0,a(ln x)|xx0,y0ax01ln x0,x0e,故a.故yax与yf(x)的图象有三个交点时,0a.答案三、解答题9.(2018雅礼中学月考)已知函数f(x)(1)求方程f(x)3f(2)的解集;(2)讨论函数g(x)f(x)a(aR)的零点的个数.解(1)f(2)log331,当x1时,由f(x)3f(2)3得x127,即x26.当x1时,由f(x)3得5x8,即x3.故方程f(x)3f(2)的解集为3,26.(2)当x1时,f(x)log3(x1)递增,且f(x)(log32,).当x1时,f(x)log2(5x)递减,且f(x)2,).由g(x)f(x)a0得f(x)a,故当a(,log32时,g(x)的零点个数为0;当a(log32,2)时,g(x)的零点个数为1;当a2,)时,g(x)的零点个数为2.10.候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙,研究某种鸟类的专家发现,该种鸟类的飞行速度v(单位:m/s)与其耗氧量Q之间的关系为vablog3(其中a,b是实数).据统计,该种鸟类在静止时其耗氧量为30个单位,而其耗氧量为90个单位时,
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