同余练习题.doc

博师堂国际教育奥数中级教程同余解题1、2001年元旦是星期一，问20年后的元旦是星期几？由于每年有365天，20年共有20365=7300天，但每四年有一个闰年，20年中有5个闰年，故20年有7305天。7305=71043+4，说明20年中有1043周，外加4天，我们关心的其实不是20年中有多少周，而是1043周以后的那4天，因为经过1043周以后那天的是星期一，再往后数4天，即20年后的元旦是星期五。 2、某年级有将近400名学生。有一次演出节目排队时出现：如果每8人站成一列则多余1人；如果改为每9人站成一列则仍多余1人；结果发现现成每10人结成一列，结果还是多余1人；同学们你们知道该年级共有学生多少名吗？ 假设有一名学生不参加演出，则结果一定是不管每列站8人或9人或10人都将刚好站齐。因此此时学生人数应是8、9、10公倍数，而8、9、10的最小公倍数是360，因此可知该年级共有361人。3、求4373091993被7除的余数。思路分析：如果将4373091993算出以后，再除以7，从而引得到，即4373091993=269120769，此数被7除的余数为1。但是能否寻找更为简变的办法呢？4733（mod7）；3091（mod7）由同余的可乘性知：43730931（mod7）3（mod7）又因为19935（mod7）所以：437309199335（mod7）15（mod7）1（mod7）即：4373091993被7除余1。4、分别求满足下列条件的最小自然数：（1）用3除余1，用5除余1，用7除余1。（2）用3除余2，用5除余1，用7除余1。（3）用3除余1，用5除余2，用7除余2。（4）用3除余2，用7除余4，用11除余1。思路分析：（1）该数减去1以后，是3，5和7的最小公倍数105，所以该数的是105+1=106（2）该数减去1以后是5和7的公倍数。因此我们可以以5和7的公倍数中去寻找答案。下面列举一些同时被5除余1，被7除余1的数，即1，36，71，106，141，176，211，246，从以上数中寻找最小的被3除余2的数。360（mod3），712（mod3），符合条件的最小的数是71。（3）我们首先列举出被5除余2，被7除余2的数，2，37，72，107，142，177，212，247，从以上数中寻找最小的被3除余1的数。2（mod3），37（mod3）、因此符合条件的最小的数是37。（4）我们从被11除余1的数中寻找答案。1，12，23，34，45，56，67，78，89，100，133，144，155，166，177，188，199，210，232，243，1（mod3）； 1（mod7）， 不符合120（mod3）， 125（mod7） 不符合；232（mod3）， 232（mod7） 不符合341（mod3）， 346（mod7） 不符合；450（mod3）， 453（mod7） 不符合562（mod3）， 560（mod7） 不符合；671（mod3）， 674（mod7） 不符合1991（mod3），1993（mod7） 不符合；2100（mod3），2100（mod7） 不符合2212（mod3），2214（mod7） 符合；因此符合条件的数是221。 由能被8、9整除的特征，得由（2）得 y2（mod 8）因0y9且y是整数，y2把y2代入（1）得：x67920（mod 9）x3（mod 9）由x是一位整数得：x3所求五位数是36792分析 设 n9商r，那么9（nr），根据 nr商9，以及nr的个位数字，可推算出商的个位数字抓住“一个整数与它的各位数字之和对于模9同余”这性质，可以很快的化大数为小数191920224（mod 9），9（n4），即n49商，又n4的个位数字是5，n被9除所得的商的个位数字是5例5 a除以5余1，b除以5余4，如果3ab，那么3ab除以5余几？分析 与余数有关的问题考虑用同余式可以使解题简便解：a1（mod5），3a3（mod 5），或者3a8（mod 5）（1）又 b4（mod 5），（2）（1）（2）得：3ab844（mod 5）因此，3ab除以5余4 问：a除以13所得余数是几？解：用试除方法可知：13191919191923838，而33837，即1919个“1919”有3838个“19”，三组三组取走“19”后还剩下一组a19（mod 13）a6（mod 13）即a除以13余数是6【课后练习题】1.两个数被13除分别余7和10，这两个数的和被13除余几？2.用108除一个数余100，如果改用36除这个数，那么余数是几？3.1111除以一个两位数，余数是66，求这个两位数。4.用19这9个数码连续不断地排列成一个100位数：123456789123456789这个100位数除以9余几？5.把自然数从小到大依次无间隔地写成一个数。问：从第1个数码到第300个数码所构成的数除以9余几？6.求下列各数除以11的余数： 7.将自然数140从左至右依次排列成一个71位数，求这个数除以11的余数。8.分别求满足下列条件的最小自然数：(1)用3除余2，用5除余1，用7除余1；(2)用3除余1，用5除余2，用7除余2；(3)用3除余2，用7除余4，用11除余1。9.甲、乙、丙、丁四人分扑克牌，先给甲3张，再给乙2张，再给丙1张，最后给丁2张，然后再按照甲3张、乙2张，的顺序发牌。问：最后一张(第54张)牌发给了谁？10.节日的街上挂起了长长一排彩灯，从第1盏开始，按照5盏红灯、4盏黄灯、3盏绿灯、2盏蓝灯的顺序周而复始地排下去。问：第2000盏灯是什么颜色？11.上图中，从A点出发沿顺时针方向绕正方形走，到B点拐第1个弯，在哪个点拐第67个弯？12.某班学生列队时，排三路纵队多1人，排四路纵队多2人，排五路纵队多3人。问：这班学生至少有多少人？13.有一个数除以3余2，除以4余1。问：此数除以12余几？14.计算下列各式的余数：(1)815471187； (2)275833619；(3)96422879478713； (4)2461135604711；(5) 6443 12 19； (6)253 16187 1983。15.求下列各式的余数；(1) 21236； (2) 48485； (3)101007；(4) 3457； (5) 510011； (6)1013 13；（7）19992000 7的余数。16.将一批货物共 328千克装入纸箱，每箱13千克，最后余多少千克？17.有一串数1，1，2，3，5，8，从第3个数起，每个数都是前2个数之和，在这串数的前100个数中，有多少个是5的倍数？18.有一个自然数，除345和543所得的余数相同，且商相差11。求这个数。19.在计算有余数的除法时，把被除数115当成了151，结果商比正确结果大了3，但余数恰好相同。求这道除法算式的除数。20.用一个整数去除454和546所得的余数都是17，求这个数。21.有一个大于1的整数，除365，450，314所得的余数都相同，求这个数。22.学校新买来118个乒乓球，67个乒乓球拍和33个乒乓球网。如果将这三种物品分别平分给每个班，那么这三种物品剩下的数量相同。学校共有多少个班？第六讲 数论之同余定理、个位律 想 挑 战 吗？ 射雕英雄传第29回写到,黄蓉给瑛姑出了三道算题.其中第三题是所谓的“鬼谷算题”:今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何? 这个其实是我国古代比较有名的一道题.你能答出黄蓉的这道题吗？回顾【例1】 （北大附中入学测试题）有一个自然数，用它分别去除63，90，130都有余数，这三个余数的和是25。这三个余数中最大的一个是多少？【例2】 （人大附中入学测试题）一个两位数被它的各位数字之和去除，问余数最大是多少？ 专题 题型一、余数规律余数定理：a：两数的和除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数和。实例：73=1，53=2，这样（7+5）3的余数就等于1+2=3，所以余0。b: 两数的差除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数差。实例：83=2，43=1，这样（8-4）3的余数就等于2-1=1，所以余1。如果是（7-5）3呢? 会出什么问题？c: 两数的积除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数积。实例：73=1，53=2，这样（75）3的余数就等于12=2，所以余2。 性质：带余除法：一般地，如果a是整数，b是整数（b0）,那么一定有另外两个整数q和r，0rb,使得a=bq+r当r=0时，我们称a能被b整除。当r0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商（亦简称为商）。用带余数除式又可以表示为ab=qr, 0rb【例1】 除以10所得的余数为多少？【例2】 试求253101685的末两位数。题型二、余数定理、性质的运用同余定义：若两个整数a，b被自然数m除有相同的余数，那么称a，b对于模m同余，用式子表示为 ab(mod m) （*） 同余式（*）意味着（我们假设ab）ab=mk，k是整数，即m|(a-b)若两个数a，b除以同一个数c得到的余数相同，则a，b的差一定能被c整除这条性质非常有用，一定要熟练掌握。下面是一些和同余有关的题目，这些题型都是考试经常出的，一定要掌握。【例3】 一个大于10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220后所得的余数，则这个自然数是多少？【例4】 甲、乙、丙三数分别为603，939，393.某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍，A除乙数所得余数是A除丙数所得余数的2倍.求A等于多少？题型三、一个数除以多个数，得不同余数一般解题步骤:凑“多”相同，即把余数处理成相同 条件：余数与除数的和相同凑“缺”相同，即把余数处理成缺的数字相同 条件：除数与余数的差相同先考虑上面两种，如果都不行，则用“中国剩余定理” 【例5】 一个大于10的数，除以3余1，除以5余2，除以11余7，问满足条件的最小自然数是多少？【例6】 一个大于2的数，除以3余1，除以5余3，除以7余5，问满足条件的最小自然数是_.【例7】 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余4，问满足条件的最小自然数_.【例8】 一个数除以3、5、7、11的余数分别是2、3、4、5，求符合条件的最小的数：题型四：余数和应用题相结合。【例9】 在33的方格表中已如右图填入了9个质数。将表中同一行或同一列的3个数加上相同的自然数称为一次操作。问：你能通过若干次操作使得表中9个数都变为相同的数吗？为什么？【例10】 六张卡片上分别标上1193，1258，1842，1866，1912，2494六个数，甲取3张，乙取2张，丙取1张，结果发现甲手中卡片上的数之和是乙各自手中卡片上的数之和的2倍，则丙手中卡片上的数是几？【例11】 甲、乙两个代表团乘车去参观，每辆车可乘36人，两代表团坐满若干辆车后，甲代表团余下的11人与乙代表团余下的成员正好又坐满一辆车。参观完，甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片留念，那么拍完最后一张照片后，照相机里的胶卷还可拍_张照片（每个胶卷可拍36张照片）。【例12】 （南京市第三届“兴趣杯”少年数学邀请赛决赛D卷第11题）现有糖果254粒,饼干210块和桔子186个.某幼儿园大班人数超过40.每人分得一样多的糖果,一样多的饼干,也分得一样多的桔子。余下的糖果、饼干和桔子的数量