计算方法引论课后答案.pdf

第一章第一章 误差误差 1. 试举例试举例,说明什么是模型误差说明什么是模型误差,什么是方法误差什么是方法误差. 解: 例如,把地球近似看为一个标准球体,利用公式 2 4Ar计算其表面积,这个近似看为球体的过程产生 的误差即为模型误差. 在计算过程中,要用到,我们利用无穷乘积公式计算的值: 12 22 2. qq 其中 1 1 2, 2,2,3,. nn q qqn 我们取前 9 项的乘积作为的近似值,得 3.141587725. 这个去掉的无穷乘积公式中第 9 项后的部分产生的误差就是方法误差,也成为截断误差. 2. 按照四舍五入的原则按照四舍五入的原则,将下列各数舍成五位有效数字将下列各数舍成五位有效数字: 816.956 7 6.000 015 17.322 50 1.235 651 93.182 13 0.015 236 23 解: 816.96 6.000 0 17.323 1.235 7 93.182 0.015 236 3. 下列各数是按照四舍五入原则得到的近似数下列各数是按照四舍五入原则得到的近似数,它们各有几位有效数字它们各有几位有效数字? 81.897 0.008 13 6.320 05 0.180 0 解: 五位 三位 六位 四位 4. 若若 1/4 用用 0.25 表示表示,问有多少位有效数字问有多少位有效数字? 解: 两位 5. 若若1.1062,0.947ab,是经过舍入后得到的近似值是经过舍入后得到的近似值,问问:,ab a b各有几位有效数字各有几位有效数字? 解: 已知 43 11 d10 , d10 22 ab , 又0.20532 10ab, 4332 111 10100.55 1010 222 d abdadbdadb , 所以ab有三位有效数字; 因为0.10475714 10a b, 4332 111 0.947101.1062100.60045 1010 222 d a bb daa db 所以a b有三位有效数字. 6. 设设 12 0.9863,0.0062yy,是经过舍入后作为是经过舍入后作为 12 ,x x的近似值的近似值.求求 12 11 , yy 的计算值与真的计算值与真 值的相对误差限及值的相对误差限及 12 yy与真值的相对误差限与真值的相对误差限. 解: 已知 -4-4 11122212 11 d ,d ,d =10 ,d10 22 xyx xyxxx, 4 4 11 1 111 1 10 dd1 2 drdr0.50 10 0.9863 xx x xxy ; 4 2 22 2 222 1 10 dd1 2 drdr0.81 10 0.0062 xx x xxy ; 422 1212 drdrdr0.50 100.81 100.82 10x xxx . 7. 正方形的边长约为正方形的边长约为 100cm,应该怎样测量应该怎样测量,才能使其面积的误差不超过才能使其面积的误差不超过 1cm2. 解 : 设 正 方 形 面 积 为S, 边 长 为a, 则S=a2. 所 以 要 使 : 2 dd2 d1saa a, 则 要 求 2 11 d0.5 10 2200 a a .所以边长的误差不能超过 2 0.5 10cm. 8. 用观测恒星的方法求得某地维度为用观测恒星的方法求得某地维度为45 0 2 (读到秒读到秒),试问试问:计算计算sin将有多大误差将有多大误差? 解: 1 d sincosdcos 4502 2 . 9 . 真空中自由落体运动距离真空中自由落体运动距离 s 与时间的关系由公式与时间的关系由公式 2 1 2 sgt确定确定,g 是重力加速度是重力加速度.现在假现在假 设设 g 是准确的是准确的,而对而对 t 的测量有的测量有0.1s的误差的误差,证明证明 t 增加时增加时,距离的绝对误差增加而相对误差距离的绝对误差增加而相对误差 却减小却减小. 证明: 因为: 2 2 1dddd ddd ;2. 1 2 2 sgt tgt tt sgtgt t sst gt ds与 t 成正比, ds s 与 t 成反比, 所以当dt固定的时候, t 增加时,距离的绝对误差增加而相对误差却减小. 10. 设设0x ,x的相对误差为的相对误差为,求求ln x的绝对误差的绝对误差. 解: 已知 dx x ,所以ln x的绝对误差 d d ln x x x . 11. 设设x的相对误差为的相对误差为%,求求 n x的相对误差的相对误差. 解: 1 ddd % nn nn xnxxn x n xxx . 12. 计算球的体积计算球的体积,为了使相对误差限为为了使相对误差限为 1%,问度量半径问度量半径 R 时允许的相对误差限如何时允许的相对误差限如何? 解: 已知 3 4 3 VR,设 d dr R Ra R ,则要使得 3 d drdlndln3 dln3 dln3dr31% V VVRRRRa V ,则 1 1% 3 a . 第二章第二章 插值法与数值微分插值法与数值微分 1. 设设yx,在在100,121,144x 三处的值是很容易求得的三处的值是很容易求得的,试以这三个点建立试以这三个点建立yx的的 二次插值多项式二次插值多项式,并用此多项式计算并用此多项式计算115的近似值的近似值,且给出误差估计且给出误差估计.用其中的任意两点用其中的任意两点,构构 造线性插值函数造线性插值函数,用得到的三个线性插值函数用得到的三个线性插值函数,计算计算115的近似值的近似值,并分析其结果不同的原并分析其结果不同的原 因因. 解: 已知 012012 100,121,144;10,11,12xxxyyy, 建立二次 Lagrange 插值函数可得: 2 121144100144 1011 100 121 100 144121 100 121 144 121100 12 144 121 144 100 xxxx Lx xx 所以 2 11511510.7228L. 误差 2012012 , 3! f Rxxxxxxxx x x ,所以 2 0.00065551150.001631R 利用前两个节点建立线性插值函数可得: 1 121100 1011 100 121121 100 xx Lx 所以 1 11511510.7143L. 利用后两个节点建立线性插值可得: 1 144121 1112 121 144144 121 xx Lx 所以 1 11511510.7391L. 利用前后两个节点建立线性插值可得: 2 144100 1012 100 144144 100 xx Lx 所以 1 11511510.6818L. 与115的真实值比较,二次插值比线性插值效果好,利用前两个节点的线性插值比其他两个线性插值 效果好.此说明,二次插值比线性插值效果好,内插比外插效果好. 2. 利用利用(2.9)式证明式证明 01 2 10 01 max, 8 xx x xx R xfxxxx 证明: 由(2.9)式 0101 , 2! f R xxxxxxx 当 01 xxx时, 01 max xx x ffx , 01 2 0110 1 max 4 xx x xxxxxx 所以 01 2 10 01 max, 8 xx x xx R xfxxxx 3. 若若0,1,., j xn为互异节点为互异节点,且有且有 011 011 jjn j jjjjjjn xxxxxxxx lx xxxxxxxx 证明证明 0 ,0,1,., n kk jj j x lxxkn 证明: 由于 1 ; 0 . jiij ij lx ij 且 0 n k jj j x lx 和 k x都为 k 次多项式,而且在 k+1 个不同的节点处的函数值都相同 0,1,.,kn, 所以 马上有 0 ,0,1,., n kk jj j x lxxkn . 4. 设给出设给出sin x在在, 上的数值表上的数值表,用二次插值进行计算用二次插值进行计算,若希望截断误差小于若希望截断误差小于 5 10,问函问函 数表的步长最大能取多少数表的步长最大能取多少? 解: 记插值函数为 p(x),则 11 sin sin 3! iii xp xxxxxxx 所以 11 cos max sin 3! iii x xpxxxxxx cos1 ;令 11iii g xxxxxxx ,设 1i xxth ,得 3 1 12 ,0,2 i g xthh t ttt 又 12 ,0,2tt ttt的最大值为 3 10.3849 3 ,所以有 35 0.3849 max sin10 6 x xph 所以 0.0538h . 5. 用拉格朗日插值和牛顿插值找经过点用拉格朗日插值和牛顿插值找经过点 3, 1 , 0,2 , 3, 2 , 6,10 的三次插值公式的三次插值公式. 解: Lagrange 插值函数: 123023 301 010203101213 013012 23 202123303132 3103310 16227 31033 . 2781/5 xxxxxxxxxxxx Lxyy xxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxx yy xxxxxxxxxxxx x xxxxx xx xxx x 牛顿插值: 首先计算差商 3 1 0 2 1 3 2 1.333 0.3889 6 10 4 0.8889 0.1420 3 130.388931.142033 .Nxxxxxx x 也可以利用等距节点构造,首先计算差分 3 1 0 2 3 3 2 4 7 6 10 12 16 23 可得前插公式 30 723 1 3112 ; 26 Nxthtt tt tt 和后插公式 33 1623 10 12112 . 26 Nxthtt tt tt 6. 确定一次数不高于确定一次数不高于 4 的多项式的多项式 x,使使 00,00,111,21. 解: 利用重节点计算差商 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 2 1 0 1 1/2 1/4 则可构造 Hermite 插值函数满足题设条件: 4 432 0001001001 1 0011 4 139 . 424 Hxxxxxxx xxxx xxx 7. 寻找过寻找过1n个点个点 01 , ,., n x xx的的21n次多项式次多项式 21n Hx ,满足条件满足条件: 2100211121 2100211121 ,., ,. nnnnn nnnnn Hxf xHxf xHxf x HxfxHxfxHxfx 解: 和 Lagrange 插值函数的构造类似,可将插值函数写成 , 21, 0 n n i nn iii i Hxhx yhx y 其中,基函数满足条件 (1) , , ,21 n i n i hxhxPn; (2), , ,0;,0 n in i n ijijn ijjijj hxhxhxhx 则可由已知条件,可得 2 , 1 2 n in iiin i hxlxxxlx ; 2 , , n i in i hxxx lx . 所以可得 22 21, 0 1 2 n nn iiin iiin ii i Hxlxxxlx yxx lx y 8. 过过 0,1 两点构造一个三次两点构造一个三次 Hermite 插值多项式插值多项式,满足条件满足条件: 11 01,0,12,1 22 ffff 解: 计算重节点的差商 0 1 0 1 1/2 1 2 1 1/2 1 2 1/2 -1/2 1 马上可得 3 32 11 10001001 22 31 1 22 Hxxxxxxx xxx 9. 过给定数组过给定数组 x 75 76 77 78 79 80 y 2.768 2.833 2.903 2.979 3.062 3.153 (1) 作一分段线性插值函数作一分段线性插值函数. (2) 取第二类边界条件取第二类边界条件,作三次样条插值多项式作三次样条插值多项式. (3) 用两种插值函数分别计算用两种插值函数分别计算75.5,78.3xx的函数值的函数值. 解: (1)做分段线性插值函数可得: 5012345 2.7682.8332.9032.9793.0623.153Ixlxlxlxlxlxlx 其中, 0 76 75, 76 ; 0 75, 76 . x x lx x 1 75 75, 76 77 76, 77 ; 0 75, 77 . xx lxx x x 2 76 76,77 78 77,78 ; 0 76,78 . xx lxx x x 3 77 77,78 79 78,79 ; 0 77,79 . xx lxx x x 4 78 78,79 80 79,80 ; 0 78,80 . xx lxx x x 5 80 79,80 ; 0 79,80 . x x lx x (2)把已知节点值带入 M 关系式可得: 012 123 234 345 11 20.015 22 11 20.018 22 11 20.014 22 11 20.016 22 MMM MMM MMM MMM 由边界条件可得 05 0MM,所以上面方程组变为可求解方程组 12 123 234 34 1 20.015 2 11 20.018 22 11 20.014 22 1 20.016 2 MM MMM MMM MM 解得 1234 0.0058,0.0067,0.0036,0.0071MMMM. 所以可得在每个区间上的三次样条函数的表达式: 33 11 111 6666 jjjj jjjjjj MMMM s xxxxxyxxyxx (3)当75.5x 时, 501 75.52.76875.52.83375.52.8005Ill; 30.00580.0058 75.575.5762.7687675.52.83375.5752.799 66 s 当78.3x 时, 534 75.52.97978.33.06278.33.0039Ill; 330.00360.0071 78.37978.378.378 66 0.00360.0071 2.9797978.33.06278.3783.0034. 66 s 10. 若给出若给出sin ,cos ,tanxxx的函数表的函数表: x sin x cosx tan x 1.567 1.568 1.569 1.570 0.999 992 8 0.999 996 1 0.999 998 4 0.999 999 7 0.003 796 3 0.002 796 3 0.001 796 3 0.000 796 3 263.411 25 357.611 06 556.690 98 1 255.765 59 用表上的数据和任一插值公式求用表上的数据和任一插值公式求: (1) 用用tan x表格直接计算表格直接计算tan1.5695. (2) 用用sin1.5695和和cos1.5695来计算来计算tan1.5695.并讨论这两个结果中误差变化的原因并讨论这两个结果中误差变化的原因. 解: 利用 Lagrange 插值直接用 tan 表计算得 tan1.5695819.0342874999274; 利用 Lagrange 插值计算 sin 得 sin1.56950.99999917500000; 利用 Lagrange 插值计算 cos 得 cos1.56950.00129630000000; 最后利用 sin/cos 计算 tan 得 tan1.5695771.4257309264500. 出现小除数,误差被放大. 11. 求三次样条函数求三次样条函数 s x,已知已知 i x 0.25 0.30 0.39 0.45 0.53 i y 0.500 0 0.547 7 0.624 5 0.670 8 0.728 0 和边界条件和边界条件 0.251.0000,0.530.6868ss 解: 把表中数