数学物理方程第二版习题解答第四章.pdf

59 第四章第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结二阶线性偏微分方程的分类与总结 1 二阶方程的分类二阶方程的分类 1 证明两个自变量的二阶线性方程经过可逆变换后它的类型不会改变，也就是说，经可逆变换后 2211 2 12 aaa=的符号不变。 证：因两个自变量的二阶线性方程一般形式为 fcuububuauaua yxyyxyxx =+ 21221211 2 经可逆变换 = = ),( ),( yx yx xx 0 ),( ),( yxD Dx 化为 fucubuauaua=+ xxx2221211 2 其中 += += += 2 2212 2 1122 22121112 2 2212 2 1111 2 )( 2 yyxx yyxyyxxx yyxx aaaa aaaa aaaa xxxx xxxx 所以 yxyxyxyxxyyx aaaaaaaxxxxxx 221111 2222 12 2 2211 12 2 22)(+= 2 2 2211 12 22222 2211 ),( ),( )()( =+ yxD D aaaaa xyyxyxyx x xxxx 因0 ),( ),( 2 yxD Dx ，故与同号，即类型不变。 2 判定下述方程的类型 （1）0 22 = yyxx uyux （2）0)( 2 =+ yyxx uyxu （3）0=+ yyxx xyuu （4）) 01 00 01 (sgn0sgn2sgn =+ x x x xxuuyu yyxyxx (5) 0424=+ zzyyxzxyxx uuuuu 解：(1)0 22 = yyxx uyux 因 0 22 =yx 当0, 0yx时0, 0=x或0=y时0=。 即在坐标轴上方程为抛物型， 其余处为双曲型。 （2）0)( 2 =+ yyxx uyxu 因 0)( 2 +=yx，在直线0=+ yx上，0=为抛物型，其余处0，为双曲型；在一，三象限内0=，为抛物型；在二，四 象限内0 ，为双曲型。 （5）0424=+ zzyyxzxyxx uuuuu 因对应二次型为 2 3 2 23121 2 1 424xxxxxxx+ 相应对称矩阵为 101 042 121 其特征方程为 60 0)446( 101 042 121 23 =+= 记 )446()( 23 +=f 经计算得： 28)6( 1)5(, 4)2(, 3) 1 (, 4)0( , 7 ) 1( = = f fffff 说明A的三个特征值分别在区间() () ()6 , 5,2 , 1,0 , 1中，故方程为双曲型的。 3 化下列方程为标准形式 （1）0254=+ yxyyxyxx uuuuu （2）02 22 =+ yyxyxx uyxyuux （3）0=+ yyxx yuu （4）0)sin3(cos2 2 =+ yyyxyxx yuuxxuu （5）0)1 ()1 ( 22 =+ yxyyxx yuxuuyux 解： （1）0254=+ yxyyxyxx uuuuu 因 0154 = = 00 00 00 y y y y 当 y0 为椭圆形.特征方程为0)( 2 =+ y dx dy , 解之得 1 2,2,cyxicxiyi y dx dy =+= 因此引变换 = = y x 2 x 有 x = u x u 2 2 2 2 x = u x u 2 1 = y u y u ) 2 1 ( 2 3 1 2 2 2 2 + = y u y u y u 代入化简得 0 1 =+ xx uuu (4) 0)sin3(cos2 2 =+ yyyxyxx yuuxxuu 因 04)sin3(cos 22 =+=xx为双曲型.特征方程为 0)sin3(cos2)( 22 =+x dx dy x dx dy 解之得 2cos=x dx dy =+ =+ += += 2 1 2 1 2sin 2sin 2sin 2sin cxxy cxxy cxxy cxxy 因此引变换 = += yxx yxx sin2 sin2 x 有 )cos2()cos2(x u x u x u + = x x x x + + + += u x u x u x u x u x x u sinsin)cos2()cos4(2)cos2( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x = uu y u 2 22 2 2 2 2 2 x x + = uuu y u 2 22 2 22 )cos2()cos2()cos2( x x + += u x u x u x yx u 代入化简得 0)( 32 2 = x x x uuu (5) 0)1 ()1 ( 22 =+ yxyyxx yuxuuyux 因 0)1)(1 ( 22 tt，级数以 = 1 )( 2 0 2 )()( n t l an e l n l an M 为优级数。用比值法，易 证此优级数收敛。因此原级数绝对收敛且一致收敛。得证。 3 举例说明弦振动方程不成立极值原理。 解： 函数sinatsinxt)u(x,=满足 = = = = = xauu uu x u a t u t t t nxx sin, 0 0 00 0 2 2 2 2 2 它在边界 t=0,x=0,x=上为零，内部不为零。因此与热传导混合问题类似的极值原理不存在。 对柯西问题： = = = = x tt e t u u x u a t u 00 2 2 2 2 2 |0| 解为 2 2 1 2 1 ,( atat atx atx x atxatx ee a e ee a de a txu + + = x x ） 0=shat a ex 但在边界 t=0，u 为零。因而不成立极值原理。 4. 若曲线 s 将区域分成 1 与 2 两部分，函数 u(x,y)在 21, 内分别二次连续可微，且满 足拉普拉斯方程u=0，又 u 在 s 上一阶导数连续，试证明函数 u(x,y)在 s 上也具有二阶连续导数， 且满足方程u=0。 证：由题设在 21, 内分别二次连续可微，知u在s上沿s的切线方向有二阶连续偏导数以及 不与s切线方向相同的任一方向有二阶“单侧”偏导数存在。因而要证在s上有二次连续偏导数，只 需证在不与s切线方向相同的两个相反方向上，u的两个二阶“单侧”偏导数相等即可。 为此，设曲线s的方程，0),(=yx适当光滑，在 s 上任取一点，在此点邻近作可逆变换 = = ),( ),( x x yy xx 使=，且0=时使。 = = ) 0 , ( ) 0 , ( x x yy xx 恰好为曲线 s： （x， y） =0 的参数方程。 在这个变换下所求的二阶 “单侧” 偏导数， 就变成在0= 的两侧，u 对 的二阶“单侧”偏导数 。 设对变量x ，而言，方程u=0 变为 u= （*） 其中右端未写出的项，包含 u 的二阶和低二阶且关于不高于一阶的导数项，因u=0 是椭圆型的， 故方程（*）仍为椭圆型方程，它没有实特特征线。因此，在=0（即 （x，y）=0，相当于 s）上 给定 u、u 的一阶偏导数，以及 u 关于x的二阶偏导数（相当于沿 s 切线方向的二阶偏导数） ，和关于 x ，的混合偏导数，就由方程（*）唯一地确定出u在=0 上的值。 另外， 在=0 两侧， u 沿方向以及沿相反方向的两个二阶 “单侧” 偏导数也分别满足方程 （*） 。 由假设知方程（*）右端各项在=0 连续。因此当点在=0