人教课标版高中数学选修1-2：《回归分析基本思想及其初步应用(第2课时)》教案-新版.doc

1.1.1 回归分析基本思想及其初步应用第二课时一、教学目标1.核心素养:通过学习回归分析的基本思想及其初步应用，初步形成基本的数据分析能力.2.学习目标 （1）1.1.2.1 理解相关系数概念（2）1.1.2.2 判断刻画模型拟合效果的方法相关指数和残差分析 （3）1.1.2.3 能用回归分析的方法对简单的案例进行分析.3.学习重点判断刻画模型拟合效果的方法相关系数、相关指数和残差分析4.学习难点判断刻画模型拟合效果的方法相关系数、相关指数和残差分析二、教学设计（一）课前设计1.预习任务任务1阅读教材P4P6，思考在回归分析中，分析残差能够帮助我们解决那些问题？任务2刻画模型拟合效果的方法有哪些？2 预习自测1.下列说法正确的是 （ ）A.在统计学中,回归分析是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法B.线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点中的一个点C.在残差图中,残差点分布的带状区域的宽度越狭窄,其模型拟合的精度越高D.在回归分析中,相关指数为的模型比相关指数为的模型拟合的效果差【知识点：回归分析】解:C A.回归分析反映两个变量相关关系的数学方法，由建立回归方程来预报变量的情况.错误；B.线性回归方程对应的直线，过其样本数据平均数点，错误；D.相关指数越大，则相关性越强，模型的拟合效果越好. 错误；C.在残差图中,残差点分布的带状区域的宽度越狭窄,其模型拟合的精度越高. 正确.2.两个变量与的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数如下，其中拟合效果最好的模型是（ ）A.模型1的相关指数为0.99B.模型2的相关指数为0.88C.模型3的相关指数为0.50D.模型4的相关指数为0.20【知识点：回归分析】解:A由相关指数的意义知，越大说明相关性越强，故选A.（二）课堂设计1.知识回顾 对于一组具有线性相关关系的数据，则称点为样本点的中心. （2）线性回归方程：，其中.， （3）线性回归模型：y=bx+a+e其中a和b为模型的未知参数，e称为随机误差.2.问题探究问题探究一 什么是相关系数？相关系数可以用来解释什么？活动一 理论研究，概念学习相关系数我们知道，两个变量x和y正（负）相关时，它们就有相同（反）的变化趋势，因此可以用回归直线来描述这种关系.与此相关的一个问题：如何描述x和y之间种线性关系的强弱？在统计中用相关系数r来衡量两个变量之间线性关系的强弱.若相应于变量x的取值，变量y的观测值为（），则两个变量的相关系数r的计算公式为 对于相关系数r，当为正时，表明变量x和y正相关，当r为负时，表明变量x和y负相关.统计学认为，对于变量x,y，如果，那么负相关很强；如果，那么正相关很强；如果或，那么相关性一般；若，那么相关性较弱.活动二 学以致用，相关系数的应用例1 对下列各图中两个变量间的线性相关程度作出分析 【知识点：相关系数】 详解：图1，r=0.97相关性很强，而且是正相关；图2，r=-0.85相关性很强，而且是负相关图3，r=0.24，不能用线性回归模型描述两个变量的关系；图4，r=-0.05乎没有什么关系，不能用线性回归模型描述两个变量的关系.点拨：当相关系数越接近1时，两个变量的线性相关程度越高，当相关系数越接近0时，两个变量的线性相关程度越低.问题探究二 什么是残差、及残差平方和、如何用残差判断拟合效果？ 重点、难点知识活动一 残差的定义在线性回归模型中，e是用bx+a报真实值y的随机误差，它是一个不可观测的量，那么应该怎样研究随机误差呢？在实际应用中，我们用回归方程中的估计回归模型y=bx+a+e中的bx+a.由于随机误差e=y-(bx+a)，所以是e的估计值.对于样本点 而言，它们的随机误差为 其估计值为 称是相对于点的残差.活动二 学以致用，残差的应用如何发现数据中的错误，如何衡量模型的拟合效果？通过残差可以发现原始数据中的可疑数据，判断所建立模型的拟合效果.下表是女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据.编号12345678身高/cm165165157170175165155170体重/kg4857505464614359yi54.37354.37347.58158.61862.86354.37345.88358.618ei-6.3732.6272.419-4.6181.1376.627-2.8830.382我们可以利用图形来分析残差.作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本的编号或者解释变量的数值，这样作出的图形称为残差图.下表是以女大学生编号为横坐标的残差图从残差图中可以看到第1个样本点和第6个样本点的残差较大，需要确认是否出现人为的错误.残差所能说明的情况： 样本点的残差比较大，确认采集数据时是否出现人为的错误或其他原因； 残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高.活动三 多角度刻画拟合效果 从残差图中我们可以大致判断模型的拟合效果，能否定性分析模型的拟合效果呢？ 我们可以用是刻画回归效果的量，除了表示回归模型的拟合效果，也表示解释变量和预报变量的线性相关关系（在线性回归模型中）.其计算公式是 对于已获取的样本数据，表达式中的为确定的数.因此越大，说明残差平方和越小，模型的拟合效果越好；越小，说明残差平方和越大，模型的拟合效果越差.在线性回归模型中，越接近于1，回归的效果越好（因为越接近于1，表示解释变量和预报变量的线性相关性越强）.在线性回归模型中，同时也表示解释变量对预报变量变化的贡献率.，即解释变量对预报变量变化约贡献了64%，而随机误差贡献了剩余的36%.问题探究三活动一 学以致用 例2.某运动员训练次数与运动成绩之间的数据关系如下：次数/x3033353739444650成绩/y3034373942464851根据数据分别计算相关系数、残差、相关指数，判断能否用线性回归模型，若能求出回归方程并试预测该运动员训练47次以及55次的成绩，若不能说明理由.【知识点：线性回归，线性相关关系】详解：（1）作出该运动员训练次数x与成绩y之间的散点图，如图1所示，由散点图可知，它们之间具有线性相关关系.（2）列表计算：次数成绩30309009009003334108911561122353712251369129537391369152114433942152117641638444619362116202446482116230422085051250026012550由上表可求得， ，所以，所以回归直线方程为（3）计算相关系数将上述数据代入，查表可知，而，故y与x之间存在显著的相关关系.（4）残差分析：作残差图如图2，由图可知，残差点比较均匀地分布在水平带状区域中，说明选用的模型比较合适.计算残差的方差得，说明预报的精度较高.（5）计算相关指数计算相关指数0.9855.说明该运动员的成绩的差异有98.55是由训练次数引起的.（6）做出预报由上述分析可知，我们可用回归方程作为该运动员成绩的预报值.将x47和x55分别代入该方程可得y49和y57，故预测运动员训练47次和55次的成绩分别为49和57.点拨：1.解答本类题目应先通过散点图来分析两变量间的关系是否线性相关，然后再利用求回归方程的公式求解回归方程，并利用残差图或相关指数R2来分析函数模型的拟合效果，在此基础上，借助回归方程对实际问题进行分析.2.在使用回归方程进行预报时要注意：(1)回归方程只适用于我们所研究的样本的总体；(2)我们所建立的回归方程一般都有时间性；(3)样本取值的范围会影响回归方程的适用范围；(4)不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值.3.课堂总结【知识梳理】（1）在统计中用相关系数r来衡量两个变量之间线性关系的强弱.若相应于变量x的取值，变量y的观测值为（），则两个变量的相关系数r的计算公式为 （2）数据点和它在回归直线上相应位置的差异是随机误差的效应，称为残差.由得.【重难点突破】（1）残差图分析：若残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度就越高.若残差点分布在其他形状的区域，则说明所选用的回归模型不是最好的，有改进的空间.（2）越大，说明残差平方和越小，模型的拟合效果越好；越小，说明残差平方和越大，模型的拟合效果越差在线性回归模型中，越接近于1，回归的效果越好（因为越接近于1，表示解释变量和预报变量的线性相关性越强）.在线性回归模型中， 同时也表示解释变量对预报变量变化的贡献率.4.随堂检测1.下列各组变量之间具有线性相关关系的是（ ）A.出租车费与行驶的里程B.学习成绩与学生身高C.身高与体重D.铁的体积与质量【知识点：线性回归，线性相关关系】解:C2.已知x与y之间的几组数据如下表：x123456y021334假设根据上表数据所得线性回归直线方程x ，若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为ybxa，则以下结论正确的是（ ）A. b， aB. b， aC. b， aD. b， a【知识点：线性回归，线性相关关系】解:C b2，a2， ， ， b， a.选C.3.四名同学根据各自的样本数据研究变量之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：与负相关且；与负相关且；与正相关且；与正相关且.其中一定不正确的结论的序号是（ ）A.B.C.D.【知识点：线性回归，线性相关关系】解：D 中y与x负相关而斜率为正，不正确；中y与x正相关而斜率为负，不正确.4.如果散点图中的所有的点都在一条斜率不为0的直线上，则残差为_，相关指数_.【知识点：线性回归，线性相关关系】解：0， 1 由题意知， 相应的残差.相关指数（三）课后作业基础型 自主突破1.对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数比较，正确的是（ ） 相关系数为 相关系数为 相关系数为 相关系数为A.B.C.D.【知识点：相关系数】解：A2. 甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量的回归模型时，分别选择了4中不同的模型，计算可得它们的相关指数分别如下表，其中拟合效果最好的为（ ）甲乙丙丁0.980.780.300.85A.甲B.乙C.丙D.丁答案：A解析：【知识点：相关指数】3.已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数3，3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ）A.0.4x2.3B.2x2.4C.2x9.5D.0.3x4.4【知识点：回归方程，相关关系】解：A 因为变量x和y正相关，则回归直线的斜率为正，故可以排除选项C与D.因为样本点的中心在回归直线上，把点(3，3.5)的坐标分别代入选项A和B中的直线方程进行检验，可以排除B，只有A可能.4.已知一组观测值之间满足，若恒为0，则为 .【知识点：残差，相关指数】答案：1.5.下表中给出了5组数据，从中选出4组使其线性相关性最大，且保留第1组（-5，-3），那么应该去掉第_组12345-5-4-3-24-3-24-16【知识点：残差分析】解： 3能力型 师生共研6.设两个变量x和y之间具有线性相关关系，它们的相关系数是，关于的回归方程的回归系数是，回归截距是，那么必有（ ）A.与的符号相同B.与的符号相同C.与的相反D.与的符号相反【知识点：相关关系】解：.A 决定正相关还是负相关，与的符号相同.7.回归分析中，相关指数的值越大，说明残差平方和（ ）A.越小B.越大C.可能大也可能小D.以上都不对【知识点：相关指数】解： A 由和残差平方和公式易得.8. 若对于变量与的组统计数据的回归模型中，相关指数，又知残差平方和为，那么的值为（ ）A.241.06B.2410.6C.253.08D.2530.8【知识点：相关指数】解： B 由和残差平方和公式易得.9.已知，之间的一组数据如下表：1234523578对于表中数据，现给出如下拟合直线：；.根据最小二乘法的思想，其中拟合程度最好的直线是_.(填正确序号)【知识点：样本点中心，回归方程】解： 直线必过样本点中心（3,5），依次检验即可.探究型 多维突破（一般为2道题，具体课时可相应灵活调整）10.假定小麦基本苗数与成熟期有效穗之间存在相关关系，现测得5组数据如下表：15.025.830.036.644.439.442.942.943.149.2（1）以为解释变量，为预报变量，作出散点图；（2）球与间的回归方程，对于基本苗数56.7，预报其成熟期的有效穗；（3）求相关指数，并说明残差变量对成熟期有效穗的影响占百分之几.【知识点：散点图，回归方程，相关指数】解：（1）略（2）由散点图可知，样本点呈条状分布，有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系.可求得线性回归方程为当=56.7时，即估计其成熟期有效穗为51.164.（3）残差平方和为：总偏差平方和：故解释变量小麦基本苗数对成熟期有效穗的影响约占83.2%，残差变量的影响约占1-83.2%=16.8%.11.一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，测得数据如下：零件数（个）102030405060708090100加工时间（分）626875818995102108115122（1）计算残差及残差和;（2）进行残差分析.【知识点：残差，残差分析，残差图】 解：（1） 列出残差表（由已知可知）如下62687581899510210811512261.668.375.081.788.495.0101.7108.4115.1121.8-29.7-23.7-16.7-10.7-2.73.310.316.323.330.30.4-0.30-0.70.600.3-0.4-0.10.2所以残差平方和=，残差值如表中第四行的值.（2）残差分析：画出残差图，散点图（略），由散点图可以说明与有很强的相关性.可以观察到，第4个样本点和第5个样本点的残差比较大，需要纠正数据，重新利用线性回归模型拟合数据；残差图中的残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的线性回归模型较为合适，带状区域的宽度仅为1.3，比较狭窄，说明模型拟合精度较高.（四）自助餐1.从某大学随机抽取8名女大学生，其身高（cm）和体重（kg）的回归方程为，则身高172cm的女大学生，由回归方程可以得知其体重（ ）A.等于60.316kgB.约为60.316kgC.大于60.316kgD.小于60.316kg【知识点：回归分析】解：B2.在回归分析中，残差图的纵坐标为（ ）A.残差B.样本编号C.等高条形图D.独立性检验【知识点：残差图】解： A3.设是变量和的个样本点，直线是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论正确的是（ ）A.直线过点B.与的相关系数为直线的斜率C.与的相关系数在0到1之间D.当为偶数时，分布在两侧的样本点的个数一定相同【知识点：回归分析，相关系数】解：A4.对两个变量x和y进行回归分析,得到一组样本数据: ，则下列说法中不正确的是（ ）A.由样本数据得到的回归方程必过样本点的中心B.残差平方和越小的模型,拟合的效果越好C.用相关指数R2来刻画回归效果,R2的值越小,说明模型的拟合效果越好D.若变量y和x之间的相关系数r=-0.936 2,则变量y和x之间具有线性相关关系【知识点：回归分析，相关系数】解： C 解析:R2的值越大,说明残差平方和越小,也就是说模型的拟合效果越好.5.如图所示的是四个残差图，其中回归模型的拟合效果最好的是（ ）【知识点：残差图】解：B 残差图中，只有A、B是水平带状区域分布，且B中残差点散点分布集中在更狭窄的范围内所以B项中回归模型的拟合效果最好.6.变量与具有线性相关关系，当取值16，14，12，8时，通过观测得到的值为别为11，9，8.5.若在实际问题中，的最大取值是10，则的最大取值不能超过（ ）A.16B.17C.15D.12【知识点：回归方程】解：C7.一家工厂对职工进行技能培训，收集数据如下：零件数（个）1020304050607080加工时间（分钟）1225354855616470两变量的回归直线方程为_,该函数模型的残差平方和为_,相关指数为_.【知识点：回归方程，残差，相关指数】解：. .8.若回归直线方程中的参数，则相关系数为 .【知识点：相关系数】解：0.9.关于与有如下数据245