高中数学第一章推理与证明1.2.1综合法学案北师大版选修.docx

1.2.1综合法1.了解综合法的思考过程、特点.(重点)2.会用综合法证明数学问题.(难点)基础初探教材整理综合法阅读教材P8P9“练习”以上内容，完成下列问题.1.综合法的定义从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明，这种思维方法称为综合法.2.综合法证明的思维过程用P表示已知条件、已知的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，则综合法的思维过程可用框图表示为：判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)综合法是由因导果的顺推证法.()(2)综合法证明的依据是三段论.()(3)综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件.()【解析】(1)正确.由综合法的定义可知该说法正确.(2)正确.综合法的逻辑依据是三段论.(3)正确.综合法从“已知”看“可知”，逐步推出“未知”，其逐步推理实际上是寻找它的必要条件.【答案】(1)(2)(3)质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：小组合作型用综合法证明三角问题在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C.(1)求证：A的大小为60；(2)若sin Bsin C.证明：ABC为等边三角形.【精彩点拨】(1)利用正弦定理将角与边互化，然后利用余弦定理求A.(2)结合(1)中A的大小利用三角恒等变形证明ABC60.【自主解答】(1)由2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C，得2a2(2bc)b(2cb)c，即bcb2c2a2，所以cos A，所以A60.(2)由ABC180，得BC120，由sin Bsin C，得sin Bsin(120B)，sin B(sin 120cos Bcos 120sin B)，sin Bcos B，即sin(B30)1.因为0B120，所以30B30150，所以B3090，即B60，所以ABC60，即ABC为等边三角形.证明三角等式的主要依据1.三角函数的定义、诱导公式及同角基本关系式.2.和、差、倍角的三角函数公式.3.三角形中的三角函数及三角形内角和定理.4.正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式.再练一题1.求证：32cos2. 【证明】原式右边112sin212(1cos2)32cos2左边.所以原式成立.用综合法证明几何问题如图121，在四面体BACD中，CBCD，ADBD，E，F分别是AB，BD的中点.求证：(1)直线EF平面ACD；(2)平面EFC平面BCD.图121【精彩点拨】(1)依据线面平行的判定定理，欲证明直线EF平面ACD，只需在平面ACD内找出一条直线和直线EF平行即可；(2)根据面面垂直的判定定理，欲证明平面EFC平面BCD，只需在其中一个平面内找出一条另一个面的垂线即可.【自主解答】(1)因为E，F分别是AB，BD的中点，所以EF是ABD的中位线，所以EFAD，又EF平面ACD，AD平面ACD，所以直线EF平面ACD. (2)因为ADBD，EFAD，所以EFBD.因为CBCD，F是BD的中点，所以CFBD.又EFCFF，所以BD平面EFC.因为BD平面BCD，所以平面EFC平面BCD.本题是综合运用已知条件和相关的空间位置关系的判定定理来证明的，故证明空间位置关系问题，也是综合法的一个典型应用.在证明过程中，语言转化是主旋律，转化途径为把符号语言转化为图形语言或文字语言转化为符号语言.这也是证明空间位置关系问题的一般模式.再练一题2.如图122，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1ADa，AB2a，E，F分别为C1D1，A1D1的中点.图122(1)求证：DE平面BCE；(2)求证：AF平面BDE.【证明】(1)BC侧面CDD1C1，DE侧面CDD1C1，DEBC.在CDE中，CD2a，CEDEa，则有CD2DE2CE2，DEC90，DEEC，又BCECC，DE平面BCE.(2)连接EF，A1C1，设AC交BD于O，连接EO，EFA1C1，AOA1C1，EFAO，四边形AOEF是平行四边形，AFOE.又OE平面BDE，AF平面BDE，AF平面BDE.探究共研型用综合法证明不等式问题探究综合法证明不等式的主要依据有哪些？【提示】(1)a20(aR).(2)a2b22ab，ab，a2b2.(3)a，b(0，)，则，特别地，2.(4)ab0ab；ab0ab.(5)a2b2c2abbcca.已知x0，y0，xy1，求证：9.【精彩点拨】解答本题可由已知条件出发，结合基本不等式利用综合法证明.【自主解答】法一：因为x0，y0，1xy2，所以xy.所以111189.法二：因为1xy，所以52.又因为x0，y0，所以2，当且仅当xy时，取“”.所以5229.综合法的证明步骤1.分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等.2.转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程.特别地，根据题目特点选取合适的证法可以简化解题过程.再练一题3.将上例条件不变，求证：4.【证明】法一：因为x，y(0，)，且xy1，所以xy2，当且仅当xy时，取“”，所以，即xy，所以4.法二：因为x，y(0，)，所以xy20，当且仅当xy时，取“”，20，当且仅当时，取“”，所以(xy)4.又xy1，所以4.法三：因为x，y(0，)，所以1122 4，当且仅当xy时，取“”.构建体系 1.已知等差数列an中，a5a1116，a41，则a12的值是()A.15 B.30C.31D.64【解析】an为等差数列，a5a11a4a12.又a5a1116，a41，a1215.【答案】A2.已知直线l，m，平面，且l，m，给出下列四个命题：若，则lm；若lm，则；若，则lm；若lm，则.其中正确的命题的个数是()A.1 B.2 C.3D.4【解析】若l，则l，又m，所以lm，正确；若l，m，lm，与可能相交，不正确；若l，m，l与m可能平行，不正确；若l，lm，则m，又m，所以，正确.【答案】B3.若a，b，c是常数，则“a0且b24ac0”是“ax2bxc0对任意xR恒成立”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】因为a0且b24ac0ax2bxc0对任意xR恒成立.反之，ax2bxc0对任意xR恒成立不能推出a0且b24ac0，反例为：当ab0且c0时也有ax2bxc0对任意xR恒成立，所以“a0且b24ac0”是“ax2bxc0对任意实数xR恒成立”的充分不必要条件.【答案】A4.已知pa(a2)，q2a24a2(a2)，则p与q的大小关系是_. 【解析】pa22224，a24a22(a2)22，q224p.【答案】pq5.(2016济南高二检测)数列an的前n项和记为Sn，已知a11，an1Sn(n1，2，3，).求证：(