半导体激子基态性质的研究-林晓熙.doc

本科毕业设计（论文）半导体激子基态性质的研究林晓熙燕 山 大 学2010年 6月 摘要摘要 半导体激光器是很多日常装备中的关键部分，为了提高这些设备的性能，全界都在努力的研制和开发开，更小，更亮，效率更高或可在新的波长下工作的半导体激光器。而作为半导体发光性质的重要应用，进一步了解半导体的发光性质对于半导体激光器的发展是很重要的。本文研究的课题就属于半导体激光器的发光性质方面的理论分析和计算。论文首先介绍了半导体的发光原理及激子。从而说明了研究半导体的发光性质的重要性。指出半导体激光器中激子的复合发光起起着重要作用。激子概念的提出对于半导体发光而言是一个重要的里程碑，有关激子束缚态的研究一直是人们关注的热点。文章主要介绍了有关激子基态的理论研究和实验上的状况。本文使用有限元方法，利用虚时演化的计算方法，使用Matlab数学软件，近似计算激子在无限深势阱里的基态及基态能。并对计算结果进行讨论。关键词半导体激子；束缚基态；有限元法；matlab I 燕山大学本科生毕业设计（论文）Abstract Semiconductor lasers ale used extensively in many equipmentsThe better properties in semiconductors are expected to develop the optoelectronic devicesAs the important application of semiconductor optical properties，the progress of semiconductors lasers depend on its further researchesThe subject of this article is about the optical properties of semiconductorsFirstly the progress of semiconductor lasers is introduced in this article and present the necessity and importance on studying the optical properties of semiconductorsThen the luminescence mechanism in semiconductors is explained and point out the recombination of excitons plays the important role in the luminescence of semiconductor lasersThis paper used the finite element method, using the virtual evolution, a calculation method when using Matlab mathematical software, the approximate calculation excitation an infinite-potential-well ground and in the ground. And the calculated results are discussed.KeywordsSemiconductor exciton；exciton-bounded state； Finite element method；matlab LXVII目 录摘要IAbstractII第1章 绪论11.1 课题背景11.2 研究的主要内容2第2章 激子及激子研究现状32.1激子简介32.2量子阱中激子凝聚的研究进展52.3 本章小结10第3章 激子基态计算方法113.1 激子基态计算方法-有限元法113.1.1 一维问题的有限元方法、线性元123.1.2 二维问题，三角形线性元223.2 激子基态描述273.3 matlab pde工具箱简介293.4 本章小结30第四章 半导体中激子基态计算314.1 虚时演化314.2 分析非线性薛定谔方程324.3 matlab求解334.3.1 三角格子334.3.2 公式处理334.3.3 计算结果及讨论34结论39参考文献41致谢43附录1 开题报告45附录2 文献综述47附录3 外文翻译49附录4 外文原文55附录5 编程源代码671第1章 绪论第1章 绪论1.1 课题背景半导体激光器是以半导体材料为工作物质，用电注入直接泵浦的方式激励的小型化激光器，它的体积小、功耗低、可靠性高且便于集成化，因此在国内外拥有及其广泛的应用市场。半导体激光器是很多日常装置的关键部分，如光存储驱动，激光打印机，光纤通讯，彩色显示和袖珍光盘播放器，为了提高这些设备的性能，全世界都在努力地研制和开发更小，更亮，效率更高或可在新的波长下工作的半导体激光器。而作为半导体发光性质的重要应用，进一步了解半导体的发光性质对于半导体激光器的发展是很重要的 近年来，人们热衷于低维量子系统的研究。量子阱就是一种二维系统，现代技术的发展使人们可以制作超薄型量子阱。例如用分子束外延的晶体生长技术可以让晶格常数相近的不同的极性晶体层交替生长叠合在一起 在某一晶体层中，电荷在垂直于晶体生长轴的方向(即横方向) 不受限制，而在平行于生长轴的方向(即纵方向) 则受到束缚。随着制作技术的发展 ，人们又可以对电荷在横方向的运动维度作进一步的限制，使电荷的运动变成准一维的和准零维的，所对应的结构分别称为量子线和量子点。这些结构的尺寸都是很小的，量子阱的厚度一般在几纳米到几十纳米范围， 在量子阱基础上制成的量子线的宽度、量子盒(量子点) 的直径一般在几十纳米到几百纳米范围。这些纳米尺寸的低维半导体晶体结构使半导体的许多性质发生了变化，其中也包括光学性质的变化。量子点中比较常见的光致元激发是产生激子。为了从理论上解释对量子点光学实验的结果，人们发展了量子点中的激子理论。半导体量子阱中激子的玻色-爱因斯坦凝聚研究取得了很大进展，实验上利用耦合量子阱间接激子中电子和空穴在空间上的分离，显著提高了激子的冷却速度和寿命，成功地把激子冷却到以下，观察到了激子的准凝聚状态，并且在强激光照射下，发现了随光照强度增强而增大的激子发光环和环上形成的有规则斑点图案，引起了广泛的兴趣和重视。理论研究表明，发光环的出现是电子和空穴在量子阱中的反常输运行为造成的，但环上形成规则斑点的物理机理目前尚不清楚。半导体中带负电的电子和带正电的空穴通过库仑相互作用形成的束缚对称为激子，是和氢原子相似的一种准粒子，可通过光场激发，电子空穴注入等方法产生激子是一种具有弱排斥相互作用的玻色准粒子，有一定寿命，复合可发出光子通过理论分析预言，在合适的条件下，低密度的激子可以形成玻色-爱因斯坦凝聚体。1.2 研究的主要内容 从上面一节对半导体发光性质进程的介绍，可以看出激子的复合发光在半导体激光器的发光中发挥着主要作用，所以关于激子束缚态的研究对于半导体激光器的发展起着重要的作用。 本文采用有限元法，求解刘承师老师提出的非线性薛定谔1，得出激子基态能及对应的波函数。并可以改变势能分布及吸引和排斥参数对得到不同的结果。并对结果进行讨论分析，指出势能分布和方程系数对粒子分布率的影响。第2章 激子及激子发展状况 第2章 激子及激子研究现状2.1激子简介 固体是由许多分子，原子，离子和电子组成的。这些粒子相互间有相互作用。严格说，固体中任何一个粒子都没有个体的运动，他们的运动都是互相联系着的。因此我们必须研究他们的集体效应，即集体运动。各种集体运动有一个共同特点，就是能量都是量子化的。我们把这些能量的量子叫做准粒子。当用各种方法把能量输入固体(例如光照，电子束轰击，电场激发等)时，就能激发固体的各种集体运动，也就是说使准粒子产生，淹没和激发等。引进准粒子概念后，我们可以很方便的地用描述一个假象的单个粒子的运动来代替对固体内许多粒子的复杂运动形式描述。即可以用准粒子态来描述固体内粒子的各种极为复杂的能量状态。实践证明，这样做可以给处理问题带来极大的方便。 在研究固体中的各种现象时，这些准粒子越来越重要了，对固体发光现象的研究也不例外。已知道的准粒子有很多，如声子、激子、极化子、等离子、磁子、极化声子等。比较来书，声子和激子与发光现象的关系更为密切一些，尤其是激子，更是发光过程中的一个重要的角色。激子概念是研究绝缘晶体和半导体的光吸收过程时提出的看，人们发现，当入射光子能量略低于禁带宽度Eg 时，这类晶体的吸收(或反射)光谱中会出现某种结构。这一事实说明存在着EEg的激发态，即在禁带中出现了新的激发能级。但是，由能带论可知在禁带中不存在电子和空穴的许可状态。因此能带论不能说明上述实验事实。这是由于能带论是建立在单电子近似基础上的。在能带图像中忽略了准粒子间的相互作用及相互作用所引起的系统状态的改变，因此在带边产生独立电子-空穴对的激发能量，低于Eg。假如超出单电子近似的限制，进一步考虑导带中电子和价带中空穴之间的相互作用，由于电子和空穴带有相反电荷，它们之间的静电库伦相互吸引作用将导致电子和空穴形成束缚对，并降低系统能量。这时晶体的元激发不再是形成独立的电子和空穴，而是形成电子和空穴的束缚态，其所需元激发能量低于尽带宽度Eg。因此，电子-空穴束缚态的能级位于禁带之中如图2-1所示，因此图像可以解释上述光吸收实验。由于激子在固体发光中的重要地位，所以对激子的研究发展很快，无论是实验还是理论研究都很多。导带激子结合能能隙价带EgEg-Eex0图2-1激子能级图 激子是晶体中的一种激发的电子能量状态。晶体被激发时，如果电子从价带到了导带，在价带上留下一个空穴，此时电子和空穴都可以在晶体内自由运动。但如果晶体激发后，电子和空穴由于库伦相互作用而稳定的束缚在一起，我们就可以用激子这个电中性的准粒子来描述晶体的这种激发状态。显然，这种激发态的能量小于禁带宽度。简单来说，激子就是束缚在一起的电子空穴对，激子在晶体某一部分产生后，并不停留在该处，可以在晶体中传播，传输激发能量，但是不传输电荷，对于电导没有贡献。这种能在晶体内运动的激子称为自由激子。激子在运动过程中，可以受到束缚，例如受施主，受注，施主受主对和等电对缺陷等杂志中心和晶体缺陷的束缚，受束缚的激子不能再晶体中自由运动。这种受束缚的激子称为束缚激子。激子是一种具有弱排斥相互作用的玻色准粒子，有一定寿命，复合可发出光子，三十多年前，keldysh和kozlov通过理论分析预言，在合适的条件下，低密度的激子可以形成玻色-爱因斯坦凝聚体。对于密度n，粒子质量为m的各向同性波色子体系，根据简单的量纲分析，体系的特征能量为h2n2/3/m，反映粒子由于具有波动性所固有的最小能量，要实现玻色-爱因斯坦凝聚这个固有能量必须低于热涨落为KBT，KB为玻尔兹曼常数，所以可估计波色-爱因斯坦凝聚转变温度TC与m和n的关系2 (2-1)式(2-1)表明，仅考虑粒子质量m和密度n这两个因素，选择质量小的粒子并提高其密度对实现波色-爱因斯坦凝聚是有利的，半导体中激子的有效质量比较小，很多情况下甚至比自由电子的质量还小，所以在相同密度条件下，激子凝聚可以在比原子的玻色-爱因斯坦凝聚转变温度高得多的温度发生，相变温度可达到1k的量级，使用液氦制冷就能够达到，不需要复杂的激光冷却过程，比实现原子的玻色-爱因斯坦凝聚容易得多激子波色-爱因斯坦凝聚的研究有重要的理论意义，稀薄激子气体的凝聚状态和原子的玻色-爱因斯坦凝聚相似，而高密度的激子凝聚状态和BCS超导状态相类似，所以激子的玻色-爱因斯坦凝聚研究也为我们提供了研究玻色-爱因斯坦凝聚体向BCS超导转变的一种新手段。另外，激子玻色-爱因斯坦凝聚体的载体是半导体量子阱，而半导体具有人工物性裁剪的特点，所以激子波色-爱因斯坦凝聚最有希望在大功率、低功耗发光器件中得到应用；而且半导体量子阱中激子凝聚体发光已经展现出新奇光学效应，可能在在超快逻辑器件和量子计算中得到应用，所以同原子的玻色-爱因斯坦凝聚研究相比，激子的玻色-爱因斯坦凝聚有其特殊性和更为广阔的应用前景。2.2量子阱中激子凝聚的研究进展尽管理论预言激子的凝聚转变温度较高，技术上也能利用液氦把半导体冷到1K以下，但要实现激子的玻色-爱因斯坦凝聚仍面临很大挑战，原因是获得低温长寿命激子很困难。实际上液氦对激子冷却是间接过程，起直接冷却作用的是半导体材料的晶格。激子刚产生时是热激子或高能激子，其温度要远高于晶格温度，激子降温是通过和晶格发生非弹性碰撞间接完成的，这个过程称为激子驰豫，用驰豫时间来标度，驰豫时间越短冷却越快。在半导体体材料中，激子寿命很短，一般只有3ns左右。为使激子的温度达到晶格的温度，激子的寿命必须足够长，至少不低于激子的驰豫时间。所以实现激子的玻色-爱因斯坦凝聚有两个关键因素，一是激子有足够长的寿命，二是要有很短的冷却时间。 在过去的二十几年里，实验和理论物理学家在实现Gu2O材料中的激子凝聚方面做了大量努力45。 理论曾预计这种材料中激子具有很低的复合率，寿命较长，当激子密度n=1017个/cm-3 时，激子凝聚转变温度可达到2.3K，实现激子BEC的条件很容易达到但最近实验发现5,这种材料中激子的俄歇复合率要比预想值高出两个数量级，而且随激子密度增长速度要高于凝聚转变温度随密度的增长速度，与理论预计有很大的出入，在目前的实验条件下，激子密度还达不到玻色-爱因斯坦凝聚所需的要求。图2-2 激光激发半导体耦合量子阱可产生电子空穴对目前激子玻色-爱因斯坦凝聚实验普遍采用如图2-2所示的半导体耦合双阱结构6。 这种双阱结构是利用分子束外延技术，在衬底上交替生长AlGaAs和GaAs薄层形成的，其中GaAs是势阱层，而AlGaAs是势垒层。电子和空穴在量子阱平面内的运动是自由的，而在垂直方向上的运动是受限的，但可以在阱之间隧穿。如果将一束激光垂直照射到这个耦合量子阱，可激发出电子空穴对，在每个量子阱中产生大量激子这些激子的电子和空穴处在同一量子阱的导带和价带能级上，称为直接激。如果进一步在垂直平面方向加一个电压，电子和空穴向将向相反方向运动，隧穿使它们分别处在不同量子阱的导带和价带能级上。这种电子处在一个量子阱中，空穴处在另一个量子阱中的激子称为间接激子如图2-2(b)。由于间接激子中的电子和空穴在空间上是分离的，它们之间的波函数的交叠变小，复合率也减小，从而寿命得到延长，最长可达到100ns，有足够长的时间冷却。此外，量子阱中激子的冷却时间较短，比半导体体材料中激子冷却速度至少要快103倍，所以可望在耦合量子阱中实现激子的玻色-爱因斯坦凝聚。虽然采用耦合量子阱结构，能够使其中的激子温度降低，但要真正实现激子的玻色-爱因斯坦凝聚，根据公式(2-1)，激子要有与转变温度相对应足够高的密度 如果采用和能量尺度相等价的空间尺度来描述凝聚转变，只有当激子的德布罗意波长T可以同激子间的距离n1/3相比拟时，激子的玻色-爱因斯坦凝聚才能发生。激子的德布罗意波长2 (2-2)表明降低温度和选择质量小的粒子能够增大德布罗意波长，对实现玻色-爱因斯坦凝聚是有利的。提高激子密度，可采用同原子玻色-爱因斯坦凝聚实验相似的方法，把足够多的间接激子限制在一个势阱中，由于激子有往势能低处移动的倾向，从而在随机势谷底处积累高密度激子。激子的受限势越强，激子的密度越高，导致激子的玻色-爱因斯坦凝聚临界转变温度也越高。 受限势阱可通过改变“Z”方向局部电压大小，施加局部应力或局部加磁场等方式产生，也可以利用半导体材料中本身存在或添加的杂质、缺陷或位错等方法来产生。势阱中的激子可以看出是一种准二维分布，理论计算表明，如果受限势采用二维谐振子势来近似，那么激子的玻色-爱因斯坦凝聚临界转变温度是 (2-3)其中h是谐振子的特征能量，N是受限势阱中的激子数，g是简并度。如果受限势采用二维方形势阱来近似，临界转变温度则是 (2-4)S是方形势阱的面积，M是激子的有效质量。 图2-3 间接激子发光谱，峰的高度表示发光强度，水平二方向分别是能量和平面坐标x。 Butov6等首先观察到了耦合量子阱中激子的准凝聚现象(图2-3) 他们采用了两种激光射的方式来激发激子。一是“均匀激发”，把激光进行扩束，均匀照射到面积为500500m的样品上，但发现在一个很小区域内出现了很强的发光谱图2-3(a)和(b)，局部发光强度比其他区域要高出30倍。他们认为这种现象是由于大量间接激子聚集到杂质势阱中引起的。经过分析，估计远离势阱区域间接激子的密度约为3109cm-2，而在势阱中心处约为1011cm-2。二是“远程激发”，利用较细的激光束(光斑面积100200m2)激发样品，但使激发的位置离杂质势阱有一段距离。结果发现即使在这样条件下，聚集在杂质势阱中的间接激子发光强度也要比光照中心区域要高出6倍图2-3(c)和(d)，说明所产生的间接激子具有较长的寿命和较大的扩散系数，使它们能够漂移很长一段距离并凝聚。他们估计在杂质势阱区域激子密度约为21011cm-2，与均匀照射的值相近。这些实验重复性很好对于相同样品，每次实验发光谱的位置和形状都保持不变。GaAs材料间接激子的有效质量M=0.21mO(mO是自由电子的有效质量)，g=4。如果我们假定间接激子已经达到热平衡状态并可用理想玻色子来描述，受限势为方形，那么利用公式(2-3)可估算出激子的玻色-爱因斯坦凝聚温度，在均匀和远程激发下分别为0.5K和0.7K。这样估计出的TC值接近但低于实验温度1.6K，说明激子还没有达到玻色-爱因斯坦转变温度。不过可以肯定的是，在杂质势阱中的间接激子已经达到高度的量子简并状态。 提高照射到耦合量子阱激光强度，间接激子数量也会增加。当强度达到一定程度时，实验上不仅观测到了杂质势阱中的激子凝聚，而且观察到由于激子相互作用所导致的一种奇特宏观量子现象，如图2-3所示，Butov7等发现围绕激发点出现了两个同心发光环：内环发光较强，位于激光斑的边缘；外环较弱，环面上周期分布着一系列斑点。外环的半径随着激发强度的增加而增加，但环上斑点的数目与环的半径之比基本不随光强而变，说明外环上相邻斑点之间的距离基本保持不变。他们还发现，外环发光谱的频率单一，半宽度很窄，为1.3meV，来自单一的间接激子发光。内外环之间为暗区域，但存在一些由无序受限势所导致的发光斑点。在同一样品中，这种斑点的位置不随外界因素而改变。提高实验温度，发光环的对比度下降，但只要激发强度足够大，温度达到100K激子环依然能够出现。Snoke等8也独立发现了的这些现象。激子发光环的实验结果揭示了半导体量子阱中电子和空穴输运及其相干的内禀特征和复杂性，为研究高密度激子(电子和空穴)之间的相互作用提供了重要数据有两个问题是目前大家最感兴趣的：一是为什么会出现激子发光的双环结构，二是外环上为什么会出现有规则的发光斑点。第一个问题目前已有一些初步的理论解释，建立了形成激子发光环的基本物理图像但发光外环上为什么会形成有规则的斑点图案目前还很不清楚，需要进一步的理论和实验的研究。2.3 本章小结 本章主要对激子是什么，具有什么性质做了说明，并且说明其重要性。简单来说，激子就是束缚在一起的电子空穴对，它的一些性质不能用能带理论来解释。并且其复合发光对改进半导体发光有着很重要的作用，所以受到广泛的关注。67第3章 激子基态计算方法 第3章 激子基态计算方法随着半导体微结构在光电子器件中的应用，人们越来越重视对其体系电子态的研究在这些结构中，激子的束缚能对于它们的光学性质有重要的影响，特别是在二维半导体材料中，激子的束缚能比三维的半导体材料激子束缚能大得多，所以束缚激子基态能的计算研究有重要的意义。用于体系基态能计算的方法有变分法和其他数值计算方法。最常用的方法是变分法，即根据具体问题的特点，选择一含有变分参数A，A：，A。的试探波函数，求出该波函数下的能量平均值E(A，A：，A。)，通过求解由能量平均值E(A。，A：，A。)对各个变分参数偏导数等于零而构成的方程组，可求出当E等于基态能E时所对应的参数值，从而确定出体系基态能但在实际中这一方程组往往是高阶次非线性的，高精度求解这样的非线性方程组较困难，这也限制了变分法的应用，于是有限元法有了它自身的优势。3.1 激子基态计算方法-有限元法一般来说，用差分方法解偏微分方程，解得的结果就是方程的准确解函数在节点上的近似值。而用变分近似方法求解，是将近似解表示成有限维子空间中基函数的线性组合。在古典变分方法中，这样的基函数一般采用幂函数和三角函数等初等函数，又要求在区域的边界上满足边界条件，如果是二维或三维的不规则区域，这样的基函数往往很难构造出来。所以，古典的变分方法虽然是得到近似的解析解(与差分方法不同)，但是对一般的区域，却往往难以实现。以下我们讨论的有限元方法，也是基于变分原理，由于选择了特殊的基函数，使它能适用于较一般的区域。这种基函数是与区域的剖分有关的，近似解u表示为基函数的线性组合，而线性组合中的系数，又是剖分节点上u或其导数的近似值。所以有限元方法既是基于变分原理，又具有差分方法的一些特点，并且适合于较复杂的区域和不同粗细的网格。正是因为具有这些特点，20世纪60年代以来，有限元方法的理论和应用得到迅速的发展，适用范围也愈来愈广泛。3.1.1 一维问题的有限元方法、线性元(3-1)(3.2)本节主要通过一个例子说明一维问题的有限元方法。我们要讨论的微分方程边值问题是其中p,q,f是a,b上的函数 是一个常数。对应的Galerkin变分问题是其中 ,.当然我们也可以写出对应的Ritz变分问题，但是我们以下的讨论都从出发。 3.1.1.1 单元剖分及试探函数空间的构造 我们对a,b进行剖分，设节点满足，这样得到的子区间称为“单元”。单元的长度。设。 在上述剖分的基础上，我们来构造的有限维子空间。仍然考虑比较简单的基函数，例如多项式。在数值分析课程中我们知道，构造次数很高的多项式通常并没有优点，所以我们先考虑在每个单元上为线性的函数，即考虑a,b上的分段线性函数，它满足：在a,b上连续，而且在每个上是线性函数(i=1,2,N)，所有满足这些条件的函数构成集合。定义1 。当然，则是的一个线性子空间。中的函数图形如图3-1所示。v图3-1 一维剖分不难验证，的维数是N+1，其上的一组基函数可以选为以下的一组N+1个线性无关的函数： (3-2)(i=1,2,N-1) (3-3) (3-4)这组基函数的图形如图3-2所示。图3-2 基函数构造我们看到，基函数只在节点附近函数值非零。而在各节点上基函数的函数值为0或1，即 (3-5)中的任意函数可以表示为基函数的线性组合，即 (3-6)其中，即(2.9)式中线性组合的系数分别是函数在节点上的值，而在单元上，有 (3-7)是的一个N+1维的子空间，如果我们要找到变分问题中函数空间的一个有限子空间，可以在中的函数加上的条件。定义2 在所作的剖分下，是所有满足左端齐次边界条件的连续分段线性函数组成的集合，它是的一个N维子空间，它的基函数可以选择为，中的任一函数可以表示为， (3-8)其中3.1.1.2 有限元方程的形成我们已经构造了的一个N维子空间，和一般的Galerkin近似方法一样，可以考虑变分问题的一个逼近问题： (3-9)设中的函数为的解，为中任意的函数，以代入(3-9)式，便得到满足的代数方程组 (3-10)只要我们分别算出和，就可以(3-10)式解出得到，但是用于实际计算的有限元程序，往往采用如下逐元计算的过程。首先，把(3-9)式的逼近问题写成：求，使得 (3-11)在计算过程中，我们不是把方程组(3-10)系数矩阵的每个元素按i和j顺序依次计算，而是按照(3-11)式逐个单元计算其积分值，再累加起来得到方程组(3-10)的系数矩阵和非齐次项向量。下面分几步具体描述。(1)计算“单元刚度矩阵”和“单元荷载向量”。我们先考虑的情形，即和暂时不必为零，推导出的计算公式最后才加上的约束条件。对于，在上有，用矩阵运算的记号，记为其中N是一个的矩阵，是一个的矩阵，或看成一个二维的列向量：容易得到其中同理有其中引入上述记号后，中(3-11)式左边的积分式可表示为 (3-12)其中 (3-13)注意到(3-11)式中左端除积分项还有的一项，所以在最后一个单元的积分加上一项这只要在(3-13)式的中，将元素改为这样就把(3-11)式左端的一项“吸收”到最后一个单元的积分式中去了。类似的计算可将(3-11)式右端的积分式表示为 (3-14)其中 (3-15)同上的分析，最后一个单元上的积分应该加上一项这只要把元素改为在有限元方法中，一般借用力学的名词，称为“单元刚度矩阵”，称为“单元荷载向量”。从的表达式，可以看到它是一个2阶的对称矩阵。而且对任意的二维向量，若，有所以对，是非负定(或称半正定)的矩阵。如果，则它是正定的。对于也有同样的结论，而且，当时，亦正定。(2)计算“总刚度矩阵”和“总荷载向量”这一步可以称为总体合成。经过上面的分析，我们可以把逼近问题写成：这里在中取遍所有的，也就是在中取遍不同的系数组，仍然像上面那样先考虑。因为上面两边的和式中各项的和没有公因式，不便相加，我们引入两个列向量再引入矩阵容易看到这样，(3-12)式进一步写成 (3-16)其中是一个(N+1)阶的矩阵，容易计算得其中除了标明的4个元素外，其他元素均为0。实际上，只是的一种“扩大”，即把的4个元素对应放在一个(N+1)阶矩阵的第i-1和i行(列)的2阶对角块之中，而的其他元素均为0。上面引入的只是为了书写的方便，实际的程序只要把的4 个元素放到相应位置即可。同理，可将(3-14)式右端进一步写成 (3-17)其中，未标明的元素均为0。是(N+1)维的向量，它也只是的“扩大”，即把的两个元素放到N+1维向量对应的位置上。将(3-16)式和(3-17)式代入的等式，就得到 (3-18)其中K和F分别称为总刚度矩阵和总荷载向量。其实，K的计算，只要将各自的4个元素分别在适当的位置上“对号入座”地累加。F亦类似。(3)约束条件的处理前面两步只考虑为了满足变分逼近问题中的要求，令(2.20)式写成或写成 (3-19)其中是划去第一行和第一列所得到的N阶矩阵，而，和则分别是v,u和F划去第一个元素得到的N维列向量。由于中(3-11)式要求对一切成立，所以(3-19)式要求对任意的向量均成立，我们得到满足的方程组 (3-20)方程组(3-20)的系数矩阵是对称的三对角阵，而且也是正定的。这是因为对任意的，令，有这里用到条件若上式等于0，则有即因此有又，所以有，即只能是中的零向量，这说明了的正定性。从而，三对角方程组(3-20)有惟一的解上面的约束处理方法，是将(N+1)阶矩阵K划去第一行和第一列，得到N阶的矩阵。在实际的程序中，将要重新排列矩阵元素的存储次序，会引起一些麻烦。另一种做法可以保持一个(N+1)阶的方程组，即在K中将改变为1，第一行和第一列其他元素变为0，也改变为0，这样得到的方程组是 (3-21)其系数矩阵仍然是对称正定的。解出，而则和(2.22)式的解完全相同。这样要解的方程组虽然高了一阶，但程序比较简单。在各种有限元程序中，还有其他约束处理的具体方法。 以上我们是在单元剖分的基础上，利用分段线性插值函数构造出有限维子空间。然后按单元计算单元刚度矩阵和荷载向量，即每个单元对总刚度矩阵和总荷载向量的贡献，再将它们对应累加起来，得到总刚度矩阵和总荷载向量。最后进行约束处理，形成了有限元方法的代数方程组，从方程组解出的就是u(x)在节点上的近似值，而近似解可以表示成。如果认为这个近似解不够精确，我们可以使剖分更细，即节点取得更多。3.1.2 二维问题，三角形线性元用有限元方法解二维问题，首先要对区域进行剖分，这比剖分一维的区间更为复杂。也可以有更多的剖分方法。这里我忙呢首先介绍比较简单且更为实用的三角形剖分，在每个三角形元上用线性插值。本节我们以poisson方程第三边值问题为例说明基本问题的运算方法。我们讨论的定解问题是 (3-22)其中n是上的外法线方向。和g是上的连续函数，。引入记号 (3-23)对应于边界问题(3.24)式的变分问题是 (3-24)其中 (3-25) (3-26)3.1.2.1 单元剖分及试探函数空间的构造 (1)三角形剖分我们将剖分为一组三角形的组合，这些三角形除了它们的边外，内部是互不重叠的。在这样的剖分下，用折线代替，也就是把近似看成一个多角形区域。每一个三角形成为一个单元，它们的顶点成为节点，每一个单元的顶点，只能是相邻单元的顶点，而不是要相邻单元的非顶点。同时要注意剖分时尽量不要出现大钝角的三角形，这样的三角形有一条边与其他边相比很大，将会影响计算的精度。如果事先能估计到在中未知函数u变化剧烈的部分，可以在该处网格分的密些。在u变化平缓的部分，网格可以分的稀些，这样的剖分比一般的差分方法更灵活。对于方程有间断系数的情形，应该用折线逼近间断的内边界，并使折线的每段都成为三角形单元的边。如果边界条件中也出现间断，间断点也应该为节点。划分好单元之后，对单元进行编号，一般的单元记为ek，k=1，2，Ne。这里Ne是单元的总数。对节点也进行编号，一般的节点共有Pi，其坐标为(xi，yi)，i=1，2，3，Np，这里节点数共有Np个。在编好号以后，xi和yi是规定好了的值。应该注意节点的编号顺序对下面将要讨论的总刚度矩阵的宽度有关，所以要适当的编号。 (2)试探函数空间的构造按以上的剖分方法，我们认为是一个多角形区域，它的边界是一个封闭的折线。记。我们希望边值问题的近似解函数在上是一个连续函数，而在每个三角形单元上，它是一个x，y的线性函数。这样，我们便可以构造试探函数空间Uh，其中h记上述剖分中所有三角形的最大边长。如果h0，那就表示了剖分无限进行的过程，对于一种三角形剖分，做下面的定义。jpjpipmemizOxyek。显然，若ek上的几何图形就是一个平面上对应于ek的三角形部分，如图(3-3)，可以验证这样的分片线性函数空间Uh是S1的一个有限维的子空间。图3-3 二维剖分原理 (3)单元上的线性插值多项式我们先讨论Uh中的函数在一个单元e上的表达式。设e是任意一个三角形单元，其中顶点为Pi，Pj，Pm。我们规定i，j，m。在e上的线性函数uh(x,y),的表示式为 (3-27)其中a,b,c为待定的常数。设uh(x,y)在PiPj和Pm上的函数值分别为 (3-28)根据ui,uj,um可以定出a,b,c.为此，将上式带入(3-27)式，得到 (3-29)(3-28)式是以a,b,为未知数的线性方程组，当i,j,m按逆时针顺序时，e的面积 (3-30)所以(3-30)式的解可以表示为 (3-31)其中 (3-32)代回(3-29)式，得到 (3-33)其中 (3-34)同理可得和的一次函数表示式，最后写成 (3-35)我们注意到，在这些公式中，如果我们写出了第一个式子，则其他的式子可以通过i,j,m的脚标轮换得到。即将第一式的脚标i转换为j，j换位m，m换为i就可得到第二式。再换一次的三式。引入13的矩阵N和列向量ue： (3-36) (3-37)则在e上有 (3-38)并且uh=(x,y)的梯度向量可以表示为 (3-39)其中 (3-40)(3-34)和(3-38)式就是e上根据三角形的三个顶点上的函数值uiujum作出的线性插值函数。而e上任意一个一次函数都可以写成(3-34)式那样的Ni ,Nj , Nm三个函数的线性组合，其系数正好是函数在对应顶点上的值。我们称Ni(x,y)，Nj(x,y)，Nm(x,y)为e上的线性插值基函数。不难验证 (3-41)如果(3-34)式中的uh(x,y)在e上分别去为函数1，x和y，就得到恒等式 (3-42)也就是说零次和一次函数1，x和y的线性插值函数就是它们自己。 (4)试探函数空间的基函数上面已经定义了Uh是三角形剖分下连接分片线性函数的集合，它构成了实数域上的线性空间，在每个单元en上uh(x,y)的表示式已经写清楚了，不难看到，上的每一个分片连续函数，即Uk中的每一个函数，都可以表示成Uh中的基函数的线性组合。我们注意到，每一个基函数对应一个节点，所以Uh是一个Np维的空间。Uh中的每一个函数均可以表示为 (3-43)其中ui是在Pi点的函数值，每一个基函数，在Pi点的函数值为1，而且在上只有在Pi点附近函数值不为零。3.2 激子基态描述首先基于激子的密度的不均匀分布，如果间接激子的相互作用完全是排斥力，这将迫使激子分布均匀化，并且激子云将随激子数量增大而扩展。相反，如果之间的相互作用完全是吸引力，当激子密度超过关键值时，将没有足够的动能来稳定激子云，从而系统将塌陷。另外，完全吸引和完全排斥的情况是不能理解实验现象：当激光能量增加时，首先激子云紧缩，然后再扩张。吸引相互作用的存在意味着激子态是相对金属电子空穴对的结构不稳定的。排斥相互作用超过吸引相互作用的原因是结构的组成样式并保持系统稳定性。许多因素与激子的相互作用相关。其中最重要的一个是双极子间的相互作用。激子的表现行为像个极子，如此一个强的排斥将控制激子的相互作用，当两个极子线性平行时。但是，如果两个极子的方向从线性平行改变到任意方向，一个极子的电子和空穴间的相互吸引将占主导作用。当激子密度低时，这种情况很容易发生。而在高密度情况下，由于强的库伦相互作用，极子将趋于线性平行，因此排斥相互作用将起主导作用，另一个重要的相互作用来自于交换效应。当两个间接激子相互接近时，两个电子间和两个空穴间的交换相互作用变得很重要。这可能是激子间吸引作用的另一来源。事实上，来自于多体效应竞争的复杂的激子相互作用可以由van der Waals形式很好的描述。它已经指出当激子间距在个激子半径范围内时，激子间有效地相互作用是吸引的。在目前的实验中，机子密度大约为1010/cm2。对于这个密度，间接激子间的平均激子间距大约为100nm。当激子的波尔半径aB大约在2-10 个激子半径时。如此合理的假设是两体作用是在吸引范围内的。事实上，激子间的吸引相互作用已经被当做是一个可能的方面来解释实验上观察到的图样结构。考虑了两体的吸引和三体的排斥相互作用，刘承师老师等已经提出削弱的激子行为可以用一个非线性的薛定谔方程来描述1。整理后的方程为： (3-44)这里j和Ej是第j个的本征态和本征值。Vex是外加势能， g1和g2 是(正数)与两体和三体有关的耦合常数。对于低密度激子，激子间的相互作用是吸引作用。随着粒子密度的增加(通过提高激光强度)，低温激子云将缩小而与局部的或非定域的态无关。这意味着吸引作用掌控者激子运动。在均匀势场里，这对应着自势能的增加。粒子密度越大，吸引作用越大，激子云将越小。在低温下，TTtr 不确定原理掌控激子运动。因此，这将导致更高的激子能量和更大的能级分立。当粒子密度进一步增大，三体排斥就变得更重要，而自势吸引就减弱了。事实上，随着低密度区域的激光能量的增加，光制发光光谱首先展宽随后尖锐的现象已经被观测到。另外在符合实验数据的前提下，这里我们提供了一个进一步的证据：激子间相互作用可能是一个两体吸引和一个三体排斥的综合效应。3.3 matlab pde工具箱简介Matlab是Mathworks公司推出的用于科学和工程计算的交互式软件系统9. 它以矩阵作为数据操作的基本单位 ,提供数值计算函数 ,具有强大的数值计算与分析功能. Matlab 与符号计算语言Maple 结合 ,从而具有符号计算功能.Matlab还具有绘图功能 ,也可以对图形进行修饰和控制 ,其数据处理能力和工具箱亦使得用它的编程比传统的编程问题容易简便.因此 ,Matlab既是一种编程环境 ,又是一种程序设计语言 ,与高级程序语言 C 和Fortran相比更数学化 ,使用起来更方便 ,但 Matlab是解释性语言 ,程序执行速度较慢 ,而且不能脱离Matlab环境而独立运行.目前的MA TLAB710 的PDE Too lbox 提供了研究和求解空间二维偏微分方程问题的一个强大而又灵活实用的平台。该工具箱能求解基本方程有椭圆型方程、抛物型方程、双曲型方程、特征值方程、椭圆型方程组以及非线性椭圆型方程。Matlab工具箱就是一些M 文件的集合, 用户可以修改工具箱中的函数, 更为重要的是用户可以通过编制M 文件来任意地添加工具箱中原来没有的工具函数。许多的专业领域在MA TLAB 中都有自己的工具箱。它能方便建立各种不同的求解区域，使用最优算法，生成二维三角格子。用于求解各种方程。11PDE Toolbox 的功能包括11：设置PDE(偏微分方程)定解问题，即设置二维定解区域、边界条件以及方程的形式和系数；用有限元法(FEM)求解PDE，即网格的生成。方程的离散以及求出数值解；解的可视化。3.4 本章小结 本章主要为计算半导体激子基态做辅助。首先介绍了计算基态所使用的方法，有限元方法。有限元方法既是基于变分原理，又具有差分方法的一些特点，并且适合于较复杂的区域计算。之后根据刘承师等老师提出的理论，说明了激子所满足的非线性方程。最后介绍了计算机计算所使用的计算机软件及工具。第4章 激子基态计算方法 第四章 半导体中激子基态计算4.1 虚时演化薛定谔波动方程12，它揭示了微观世界中物质运动的基本规律。不含时薛定谔方程 (4-1)含时薛定谔方程 (4-2)V(r)为粒子所在势场。普遍表示是： (4-3) (4-4)当E值可以被所对应的解在物理上可以接受，此时E值称为体系的能量本征值，相应的E(r)称为能量本征函数，不含时薛定谔方程实际上就是势场V(r)中粒子的能量本征方程。含时薛定谔方程的解为： (4-5)将-it替换t，原薛定谔方程变为 (4-6)其相应的解为： (4-7)由解可以看出，经过这种代换后，当时间增加的时候，粒子处于处于高激发态的密度会下降，即随时间演化后，此解趋向于基态。可用此方法求解其方程基态。4.2 分析非线性薛定谔方程 对薛定谔方程式(3-44)做以下简化：、做上面的替换后，方程保持同样的形式。在这种情况下，为几率密度，并满足归一化方程。然后在进行替换：、，这样方程(3-44)被简化为： (4-8)其中， 、(其中，是在光致发光实验中观测到的激子云的方均根半径)，经以上代换后我们发现、。接下来，我们使用虚时演化的方法：我们令 (4-9)将方程变为含时的形式为 (4-10)用-it代替