同角三角函数基本关系与诱导公式.doc

中国领先的个性化教育品牌中国领先的个性化教育品牌 1 400-010-0868 3.23.2 同角三角函数基本关系与诱导公式同角三角函数基本关系与诱导公式 讲义编号 考纲要求考纲要求 1. 理解同角三角函数的基本关系式：sin2xcos2x1，tanx. sinx cosx 2能利用单位圆中的三角函数线推导出，的正弦、余弦、正切的诱导公式， 2 并能灵活运用 知识梳理知识梳理 一、同角三角函数的基本关系式 1平方关系：sin2cos21(R) 2商数关系: tan(k，kZ) sin cos 2 二、六组诱导公式 组数一二三四五六 角 2k (kZ) 2 2 正弦 sinsinsinsincoscos 余弦 coscoscoscossin sin 正切 tantantantan不要求不要求 中国领先的个性化教育品牌中国领先的个性化教育品牌 2 400-010-0868 对于角“”(kZ)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限” ，意思是 k 2 说，kZ 的三角函数值等于“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为 k 2 偶数时，函数名不变，然后的三角函数值前面加上当为锐角时，原函数值的符号 ” 究疑点究疑点 有人说 sin(k)sin()sin(kZ)，你认为正确吗？ 提示：不正确当k2n(nZ)时，sin(k)sin(2n)sin() sin；当k2n1(nZ)时，sin(k)sin(2n1) sin(2nsin()sin. 典型例题典型例题 【考点一考点一】 同角三角函数关系式的应用同角三角函数关系式的应用 1 （2009 北京 9）若，则 . 4 sin,tan0 5 cos 【答案答案】 3 5 【解析解析】本题主要考查简单的三角函数的运算. 属于基础知识、基本运算的考查. 由已知，在第三象限，应填 2 2 43 cos1 sin1 55 . 3 5 2.（2011 北京 9）在 ABC 中。若 b=5，tanA=2，则 4 B sinA=_；a=_。 【答案】 102 5 52 3已知 sincos ，则 sincos_. 1 2 答案： 8 3 中国领先的个性化教育品牌中国领先的个性化教育品牌 3 400-010-0868 4已知是三角形的内角，且 sincos . 1 5 (1)求 tan的值； (2)把用 tan表示出来，并求其值 1 cos2sin2 解：(1)法一：联立方程Error! 由得 cos sin，将其代入， 1 5 整理得 25sin25sin120. 是三角形内角，Error!， tan 4 3 法二：sincos ， 1 5 (sincos)2( )2， 1 5 即 12sincos， 1 25 2sincos， 24 25 (sincos)212sincos1. 24 25 49 25 sincos0，且 00，cos0， sincos ，由Error!，得Error!， 7 5 tan 4 3 (2). 1 cos2sin2 sin2cos2 cos2sin2 sin2cos2 cos2 cos2sin2 cos2 tan21 1tan2 tan ， 4 3 . 1 cos2sin2 tan21 1tan2 4 321 14 3 2 25 7 【变式之作变式之作】 中国领先的个性化教育品牌中国领先的个性化教育品牌 4 400-010-0868 （2009 辽宁卷）已知，则tan2 22 sinsincos2cos （A） （B） （C） （D） 4 3 5 4 3 4 4 5 【解析】 22 22 22 sinsincos2cos sinsincos2cos sincos 2 2 tantan2 tan1 4224 4 15 【答案】D 归纳领悟 1利用 sin2cos21 可以实现角 的正弦、余弦的互化，利用tan 可 sin cos 以实现角 的弦切互化 2. 应用公式时注意方程思想的应用：对于 sincos，sincos，sincos 这三个式子，利用(sincos)212sincos，可以知一 求二 3应用 sin2cos21 求 sin 或 cos 时，特别注意角 的三角函数值的符号， 符号规律：“一全正，二正弦，三正切，四余弦” 4注意公式逆用及变形应用： 1sin2cos2，sin21cos2，cos21sin2. 【考点二考点二】诱导公式的应用诱导公式的应用 1 （20102010 全国卷全国卷 1 1） (1)cos300 (A) (B)- (C) (D) 3 2 1 2 1 2 3 2 1.C【命题意图】本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识 【解析】 1 cos300cos 36060cos60 2 2.（2009 全国卷）的值为 o 585sin (A) (B) (C) (D) 2 2 2 2 3 2 3 2 【解析】本小题考查诱导公式、特殊角的三角函数值，基础题。 解：，故选择 A。 2 2 45sin)45180sin()225360sin(585sin oooooo 3已知 tan2，则 ( ) sin 2 cos sin 2 sin 中国领先的个性化教育品牌中国领先的个性化教育品牌 5 400-010-0868 A2 B2 C0 D. 2 3 解析： sin 2 cos sin 2 sin coscos cossin 2cos cossin 2 1tan 2.答案：B 2 12 4求值：sin(1200)cos1290cos(1020)sin(1050)tan945. 解：原式sin1200cos1290cos1020(sin1050)tan945 sin120cos210cos300(sin330)tan225 (sin60)(cos30)cos60sin30tan45 12. 3 2 3 2 1 2 1 2 5化简 (1)； cos coscos 1 cos 2 sin 3 2 cos sin 3 2 (2)，kZ. sin k cos k1 sin k1 cos k 解：(1)原式 cos cos cos1 cos cos cos cos 1 1cos 1 1cos . 2 sin2 (2)当k为偶数时，记k2n(nZ)， 原式 sin 2n cos 2n1 sin 2n1 cos 2n 1； sin cos sin cos sin cos sincos 当k为奇数时，记k2n1(nZ)， 原式 sin 2n1 cos 2n11 sin 2n11 cos 2n1 1. sin cos sincos sincos sin cos 综上，原式1. 【变式之作变式之作】 已知 cos() ，且是第四象限角，计算： 1 2 中国领先的个性化教育品牌中国领先的个性化教育品牌 6 400-010-0868 (1)sin(2)； (2)(nZ) sin2n1sin2n1 sin2ncos2n 解：cos() ，cos ，cos . 1 2 1 2 1 2 又是第四象限角，sin. 1cos2 3 2 (1)sin(2)sin2()sin()sin； 3 2 (2) sin2n1sin2n1 sin2ncos2n sin2nsin2n sin2ncos2n sinsin sincos sinsin sincos 2sin sincos 4. 2 cos 归纳领悟 利用诱导公式化简求值时的原则为： 1 “负化正” ，运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数 2 “大化小” ，利用公式一将大于 360的角的三角函数化为 0到 360的三角函数，利 用公式二将大于 180的角的三角函数化为 0到 180的三角函数 3 “小化锐” ，利用公式六将大于 90的角化为 0到 90的角的三角函数 4 “锐求值” ，得到 0到 90的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计 算器求得 【考点三考点三】 诱导公式在三角形中的应用诱导公式在三角形中的应用 1ABC 中，cosA ，则 sin(BC)_. 1 3 解析：ABC 中，ABC，sin(BC)sin(A)sinA. 1cos2A 2 2 3 2已知在ABC 中，sinAcosA ， 1 5 (1)求 sinAcosA； (2)判断ABC 是锐角三角形还是钝角三角形 解：(1)sinAcosA ，两边平方得 12sinAcosA，sinAcosA. 1 5 1 25 12 25 (2)由(1)知 sinAcosA0，且 0A，可知 cosA0，A 为钝角，ABC 是钝角 12 25 三角形 3在ABC 中，若 sin(2A)sin(B)，cosAcos(B)，求 232 ABC 的三个内角 中国领先的个性化教育品牌中国领先的个性化教育品牌 7 400-010-0868 解：由已知得Error!22得 2cos2A1，即 cosA. 2 2 (1)当 cosA时，cosB，又 A、B 是三角形的内角，A ，B ，C(AB) 2 2 3 2 4 6 . (2)当 cosA时，cosB.又 A、B 是三角形的内角， 7 12 2 2 3 2 A ，B ，不合题意综上知，A ，B ，C. 3 4 5 6 4 6 7 12 4（2010 重庆文数） （15）如题（15）图，图中的实线是由三 段圆弧连接而成的一条封闭曲线，各段弧所在的圆经过同一点C （点不在上）且半径相等. 设第 段弧所对的圆心角为PPCi ，则(1,2,3) i i _ . 232311 coscossinsin 3333 解析： 232312311 coscossinsincos 33333 又，所以 123 2 123 1 cos 32 5（2010 广东理数）广东理数）11.已知 a,b,c 分别是ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边，若 a=1,b=, A+C=2B,则 sinC= .3 解：由 A+C=2B 及 A+ B+ C=180知，B =60由正弦定理知，即 13 sinsin60A 由知，则, 1 sin 2 A ab60AB 30A ，180180306090CAB sinsin901C 归纳领悟 1诱导公式在三角形中经常应用，常用的变形结论有：ABC； 2A2B2C2； .2求角时，一般先求出该角的某一三角函数值，再确定 A 2 B 2 C 2 2 该角的范围，最后求角 巩固训练巩固训练 一、把脉考情 从近两年的高考试题来看，同角三角函数基本关系及诱导公式是高考的热点，题 型既有选择题、填空题，又有解答题，难度为中低档题；主要是诱导公式在三角式求值、 化简的过程中与同角三角函数的关系式、和差角公式及倍角公式的综合应用，一般不单 独命题，在考查基本运算的同时，注重考查等价转化的思想方法预测 2012 年高考仍 中国领先的个性化教育品牌中国领先的个性化教育品牌 8 400-010-0868 将以含 ， 的诱导公式及同角三角函数的平方关系和商数关系为主要考点，重点 2 考查运算能力与恒等变形能力 二、考题诊断 1(2010全国卷)已知 sin ，则 cos(2)( ) 2 3 A B C. D. 5 3 1 9 1 9 5 3 解析：cos(2)cos2(12sin2)2( )21 .答案：B 2 3 1 9 2(2010全国卷)记 cos(80)k，那么 tan100( ) A. B C. D 1k2 k 1k2 k k 1k2 k 1k2 解析：cos(80)cos80k，sin80，tan80，tan100tan80 1k2 1k2 k ，故选 B. 1k2 k 3(2009全国卷)sin585的值为( ) A B. 2 2 2 2 C D. 3 2 3 2 解析 sin585sin(360225)sin(18045)sin45，故选择 A. 2 2 答案 A 4 是第四象限角，tan，则 sin( ) 5 12 A. B 1 5 1 5 C. D 5 13 5 13 解析 tan，又由 sin2cos21 得 sin，又 是第四象限角， sin cos 5 12 5 13 sin. 答案 D 5 13 5.（2009 北京理） “”是“”的 2() 6 kkZ 1 cos2 2 中国领先的个性化教育品牌中国领先的个性化教育品牌 9 400-010-0868 （ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【答案答案】A【解析解析】本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断. 属 于基础知识、基本运算的考查.当时，2() 6 kkZ 反之，当时，有 1 cos2cos 4cos 332 k 1 cos2 2 ， 或，22 36 kkkZ 22 36 kkkZ 6（2009 陕西卷文）若,则的值为 tan2260OAOBABAOB （A）0 (B) (C)1 (D) 3 4 5 4 答案：B.解析: 利用齐次分式的意义将分子分母同时除以得, cos(cos0) 故选 B. 2sincos 2sincos2tan13 cos = sin2cos sin2costan+24 cos 原式 7(2010全国卷)已知 是第二象限的角，tan ，则 cos_. 1 2 解析：由 是第二象限的角且 tan ，得 cos. 1 2 1 1tan2 2 5 5 8.（2009 北京文） （本小题共 12 分）已知函数.( )2sin()cosf xxx （）求的最小正周期；（）求在区间上的最大值和最小值.( )f x( )f x, 6 2 【解析解析】本题主要考查特殊角三角函数值、诱导公式、二倍角的正弦、三角函数在闭区间 上的最值等基础知识，主要考查基本运算能力 （），函数的最小正周期为 2sincos2sin cossin2f xxxxxx( )f x .（）由，2 623 xx 3 sin21 2 x 在区间上的最大值为 1，最小值为.( )f x, 6 2 3 2 9已知 x0，sinxcosx . 2 1 5 中国领先的个性化教育品牌中国领先的个性化教育品牌 10 400-010-0868 (1)求 sinxcosx 的值； (2)求的值 sin2x2sin2x 1tanx 解 (1)联立方程 Error! 由得 sinx cosx，将其代入，整理得 cosx 或 cosx .因为 x0，所以 1 5 3 5 4 5 2 Error! 故 sinxcosx . 7 5 (2) sin2x2sin2x 1tanx 2sinxcosx2sin2x 1sinx cosx 2 ( 3 5) 4 52 ( 3 5)2 1 3 5 4 5 . 24 175 10(2009广东文)已知向量 a(sin，2)与 b(1，cos)互相垂直，其中 (0， ) 2 (1)求 sin 和 cos 的值； (2)若 sin()，0 ，求 cos 的值 10 10 2 解 (1)a 与 b 互相垂直，则 absin2cos0，即 sin2cos，代入 sin2cos21 得 sin，cos，又 (0， )，sin，cos. 2 5 5 5 5 2 2 5 5 5 5 (2)0 ，0 ， ， 2 2 2 2 则 cos()， 1sin2 3 10 10 coscos()coscos()sinsin(). 2 2 中国领先的个性化教育品牌中国领先的个性化教育品牌 11 400-010-0868 课后作业课后作业 一、选择题 1.（2009 四川卷理）已知函数，下面结论错误的是 ( )sin()() 2 f xxxR A.函数的最小正周期为 B.函数在区间上是增函数( )f x2( )f x0, 2 C.函数的图像关于直线对称 D.函数是奇函数( )f x0x ( )f x 解析：由函数的可以得到函数是偶函数，所以选( )sin()cos () 2 f xxx xR ( )f x 择 D 2 2（20102010 全国卷全国卷 2 2 理数）理数） （13）已知a是第二象限的角， 4 tan(2 ) 3 a ，则 tana 【答案】 1 2 【命题意图】本试题主要考查三角函数的诱导公式、正切的二倍角公式和解方程，考查考 生的计算能力. 【解析】由 4 tan(2 ) 3 a 得 4 tan2 3 a ，又 2 2tan4 tan2 1tan3 a ，解得 1 tantan2 2 或，又a是第二象限的角，所以 1 tan 2 . 3已知 f()，则 f()的值为( ) sincos2 costan 31 3 A. B C D. 1 2 1 3 1 2 1 3 解析：f()cos，f()cos()cos(10 ) sincos costan 31 3 31 3 3 cos .答案：C 3 1 2 4.（2009 天津卷理）已知函数的最小正周期为，( )sin()(,0) 4 f xxxR 为了得到函数的图象，只要将的图象 ( )cosg xx( )yf x A 向左平移个单位长度 B 向右平移个单位长度 21 世纪教育网 8 8 中国领先的个性化教育品牌中国领先的个性化教育品牌 12 400-010-0868 C 向左平移个单位长度 D 向右平移个单位长度 4 4 解析：由题知，所以2 ，故选择 A。) 8 (2cos) 4 2cos() 4 2( 2 cos) 4 2sin()( xxxxxf 5.（2009 北京文） “”是“”的 6 1 cos2 2 A 充分而不必要条件B必要而不充分条件 C 充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【答案答案】当时反之当有 6 1 cos2cos 32 1 cos2 2 或，故应选22 36 kkkZ 22 36 kkkZ A. 21 世纪教育网 6已知 sinx2cosx，则 sin2x1( ) A. B. C. D. 6 5 9 5 4 3 5 3 解析：sinx2cosx，tanx2， sin2x12sin2xcos2x .答案： 2tan2x1 tan2x1 9 5 B 7.(2010 全国卷 2 文数） （13）已知 是第二象限的角,tan=1/2，则 cos=_ 【解析】 ， 2 5 5 1 tan 2 2 5 cos 5 8已知 f(x)asin(x)bcos(x)，其中 、a、b 均为非零实数，若 f(2010) 1，则 f(2011)等于( ) A1 B0 C1 D2 解析：由诱导公式知 f(2010)asinbcos1，f(2011)asin()bcos() (asinbcos)1.答案：C 二、填空题 9若2，则 sin(5)sin()_. sincos sincos 3 2 解析：由2，得 sincos2(sincos)，两边平方得： sincos sincos 12sincos4(12sincos)，故 sincos，sin(5)sin() 3 10 3 2 sincos.答案： 3 10 3 10 中国领先的个性化教育品牌中国领先的个性化教育品牌 13 400-010-0868 10.（2011衡水一模）_. 12sin40cos40 cos40 1sin250 解析：1.答案： 12sin40cos40 cos40 1sin250 sin40cos40 2 cos40sin40 cos40sin40 cos40sin40 1 11已知(，)，tan(7) ，则 sincos的值为_ 2 3 2 3 4 解析：tan(7)tan ，(，)， 3 4 2 sin ，cos ，sincos . 3 5 4 5 1 5 答案： 1 5 三、解答题 12已知 sin()