xx高考理科数学直线与圆、圆与圆的位置关系复习教案

1 / 16 XX 高考理科数学直线与圆、圆与圆的位置关系复习教案 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 XX 年高考第一轮复习数学北师 (江西版 )理第八章 直线与圆、圆与圆的位置关系 考纲要求 1能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系 2能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系 3能用直线和圆的方程解决一些简单的问题 4初步了解用代数方法处理几何问题的思想 5了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置，会推导空间两点间的距离公式 知识梳理 1直 线与圆的位置关系 (1)直线与圆的位置关系有三种： _、 _、 _. 判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法： 代数法：把直线方程与圆的方程联立方程组，消去 x 或 y整 理 成 一 元 二 次 方 程 后 ， 计 算 判 别 式 b2 4ac0 ， 0 ， 0 . 几何法：利用圆心到直线的距离 d 和圆的半径 r 的大小关2 / 16 系： d r_， d r_， d r_. (2)圆的切线方程： 若圆的方 程为 x2 y2 r2，点 P(x0， y0)在圆上，则过 P 点且与圆 x2 y2 r2 相切的切线方程为 _ 注：点 P 必须在圆 x2 y2 r2 上 经过圆 (x a)2 (y b)2 r2 上点 P(x0， y0)的切线方程为_ 经过圆 x2 y2 Dx Ey F 0 上点 P(x0， y0)的切线方程为 _ (3)直线与圆相交： 直线与圆相交时，若 l 为弦长， d 为弦心距， r 为半径，则有 r2 _，即 l 2r2 d2，求弦长或已知弦长求其他量的值，一 般用此公式 2圆与圆的位置关系 (1)圆与圆的位置关系可分为五种： _、 _、 _、_、 _. (2)判断圆与圆的位置关系常用方法： 几何法：设两圆圆心分别为 o1， o2，半径为 r1，r2(r1r2) ，则 |o1o2| r1 r2_； |o1o2| r13 / 16 r2_ ； |r1 r2| |o1o2| r1 r2_； |o1o2| |r1 r2|_； |o1o2|r1 r2|_. 代数法： 方程组 x2 y2 D1x E1y F1 0， x2 y2 D2x E2y F2 0， 有两组不同的实数解 两圆 _； 有两组相同的实数解 两圆 _； 无实数解 两圆相离或内含 3在空间直角坐标系中， o 叫做坐标原点， x， y， z 轴统称为坐标轴，由坐标轴确定的平面叫做坐标平面这儿所说的空间直角坐标系是空间右手直角坐标系：即伸开右手，使拇指指向 _轴的正方向，食指指向 _轴的正方向，中指指向 _轴的正方向也可这样建 立坐标系：令 z 轴的正方向竖直向上，先确定 x 轴的正方向，再将其按逆时针方向旋转 90 就是 y 轴的正方向 4空间点的坐标 设点 P(x， y， z)为空间坐标系中的一点，则 (1)关于原点的对称点是 _； (2)关于 x 轴的对称点是 _； (3)关于y 轴的对称点是 _； (4)关于 z 轴的对称点是 _； (5)关于 xoy 坐标平面的对称点是 _； (6)关于 yoz 坐标平面的对称点是 _； (7)关于 xoz 坐标平面的对称点是4 / 16 _ 5空间两点间的距离 设 A(x1， y1， z1)， B(x2， y2， z2)，则 |AB| _. 基础自测 1在下列直线中，与圆 x2 y2 23x 2y 3 0 相切的直线是 ( ) A x 0B y 0 c x y 0D x y 0 2两圆 x2 y2 2y 0 与 x2 y2 4 0 的位置关系是( ) A相交 B内切 c外切 D内含 3直线 l： y k(x 2) 2 与圆 c： x2 y2 2x 2y 0 有两个不同的公共点，则 k 的取值范围是 ( ) A ( ， 1)B ( 1,1)c ( 1， )D ( ， 1)( 1， ) 4圆心在原点且与直线 x y 2 0 相切的圆的方程为_ 5直线 l： y k(x 3)与圆 o： x2 y2 4 交于 A， B 两点，|AB| 22，则实数 k _. 6已知 A(x,2,3)， B(5,4,7)，且 |AB| 6，则 x 的值为_ 5 / 16 思维拓展 1在判断直线与圆相交时，当直线方程和圆的方程都含有字母时，如何判断？ 提示：若给出的方程都含有字母，利用代数法和几何法有时比较麻烦，这时只要说明直线过圆内的定点即可 2在求过一定 点的圆的切线方程时，应注意什么？ 提示： 首先判断点与圆的位置关系，若点在圆上，该点即为切点，则切线只有一条；若点在圆外，切线应有两条；若点在圆内，无切线 若求出的切线条数与判断不一致，则可能漏掉了切线斜率不存在的情况了 一、直线与圆的位置关系 【例 1】点 m(a， b)是圆 x2 y2 r2 内异于圆心的一点，则直线 ax by r2 与圆的交点个数为 ( ) A 0B 1c 2D需要讨论确定 方法提炼直线与圆的位置关系有两种判定方法：代数法与几何法由于几何法一般比代数法计算量小，简便快捷，所 以更容易被人接受同时，由于它们的几何性质非常明显，所以利用数形结合，并充分考虑有关性质会使问题处理起来更加方便 请做 针对训练 4 二、直线与圆相交问题 6 / 16 【例 2 1】过原点且倾斜角为 60 的直线被圆 x2 y2 4y 0 所截得的弦长为 ( ) A 3B 2c 6D 23 【例 2 2】已知点 P(0,5)及圆 c： x2 y2 4x 12y 240.若直线 l 过点 P 且被圆 c 截得的弦长为 43，求 l 的方程 方法提炼直线与圆相交求弦长有两种方法： (1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程在判别式 0 的前提下，利用根与系数的关系求弦长弦长公式 l 1 k2|x1 x2| (1 k2)(x1 x2)2 4x1x2 1 k2|a|. 其中 a 为一元二次方程中的二次项系数 (2)几何方法：若弦心距为 d，圆的半径长为 r，则弦长 l2r2 d2. 代数法计算量较大，我们一般选用几何法 请做 针对训练 1 三、圆的切线问题 【例 3】从圆 (x 1)2 (y 1)2 1 外一点 P(2,3)向该圆引切线，求切线方程 方法提炼求圆的切线方程，一般 设为点斜式方程首先判断点是否在圆上，如果过圆上一点，则有且只有一条切线，如果过圆外一点，则有且只有两条切线若利用点斜式方程求得过圆外一点的切线只有一条，则需结合图形把斜率不存在7 / 16 的那条切线补上 请做 针对训练 5 四、圆与圆的位置关系 【例 4 1】已知圆 c1： x2 y2 2mx 4y m2 5 0，圆c2： x2 y2 2x 2my m2 3 0， m 为何值时， (1)圆 c1 与圆 c2 外切； (2)圆 c1 与圆 c2 内含 【例 4 2】已知圆 c 的圆心在直线 x y 4 0 上，并且通过两圆 c1： x2 y2 4x 3 0 和 c2： x2 y2 4y 3 0 的交点， (1)求圆 c 的方程； (2)求两圆 c1 和 c2 相交弦所在直线的方程 方法提炼 1判断两圆的位置关系，通常是用几何法，从圆心距 d 与两圆半径长的和、差的关系入手如果用代数法，从交点个数也就是方程组解的个数来判断，但有时不能得到准确结论 2若所求圆过两圆的交点，则可将圆的方程设为过两圆交点的圆系方程 c1 c2 0( 1) 3利用两圆方程相减即可得到相交弦所在直线的方程 请做 针对训练 2 五、空间直角坐标系 【例 5 1】在空 间直角坐标系中，已知点 A(1,0,2)， B(1，8 / 16 3,1)，点 m 在 y 轴上，且 m 到 A 与 B 的距离相等，则 m 的坐标是 _ 【例 5 2】求点 A(1,2， 1)关于 x 轴及坐标平面 xoy 的对称点 B， c 的坐标，以及 B， c 两点间的距离 方法提炼求某点关于某轴的对称点时， “ 关于谁对称谁不变 ” ，如点 (x， y， z)关于 x 轴的对称点是 (x， y， z)；求某点关于某平面的对称点时， “ 缺哪个变哪个 ” ，如点 (x，y， z)关于平面 xoy 的对称点是 (x， y， z)；点 (x， y， z)关于原点的对称点是 ( x， y， z) 请做 针对训练 3 考情分析 通过分析近几年的高考试题，可以看到对于本节内容，主要是考查直线与圆的位置关系，以选择题、填空题为主，题目难度适中，着重于基础知识、基本方法的考查整个命题过程主要侧重以下几点： (1)直线与圆、圆与圆的位置关系是考查的重点，特别是直线与圆的位置关系； (2)圆中几个重要的度量关系在直线与圆的位置关系中，弦心距、半弦长、半径构成的直角三角形是解决问题的核心；在切线问题中，切线长、半径、圆外的点与圆心的连线构成的直角三角形是解决切线问题的载体 针对训练 9 / 16 1过原点的直线与圆 x2 y2 2x 4y 4 0 相交所得弦的长为 2，则该直线的方程为 _ 2若圆 x2 y2 4 与圆 x2 y2 2ay 6 0(a 0)的公共弦长为 23，则 a _. 3已知在空间中有 ABc ，其中 A(1， 2， 3)， B( 1， 1， 1)， c(0,0， 5)，则 ABc 的面积等于 _ 4已知圆 x2 y2 2 和直线 y x b，当 b 为何值时，圆与直线 (1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点 5自点 A( 3,3)发出的光线 l 射到 x 轴上，被 x 轴反射，其反射光线所在直线与圆 x2 y2 4x 4y 7 0 相切，如图所示，求光线 l 所在直线的方程 参考答案 基础梳理自测 知识梳理 1 (1)相切 相交 相离 相交 相切 相离 相交 相切 相离 (2)x0x y0y r2 (x0 a)(x a) (y0 b)(y b) r2 10 / 16 x0x y0y Dx0 x2 Ey y02 F 0 (3)d2 l22 2 (1)相离 外切 相交 内切 内含 相离 外切 相 交 内切 内含 相交 相切 3 x y z 4 ( x， y， z) (x， y， z) ( x， y， z) (x， y， z) (x， y， z) ( x， y， z) (x， y， z) 5 (x1 x2)2 (y1 y2)2 (z1 z2)2 基础自测 1 B 解析：将圆的方程化为标准方程为 (x 3)2 (y 1)2 1，分别结合图形及通过求解圆心到直线距离与半径的关系易得 B 选项正确 (A， B 选项均通过作图可直观判断 ) 2 B 解析：两圆方程可化为 x2 (y 1)2 1， x2 y24.两圆圆心 分别为 o1(0,1)， o2(0,0)，半径分别为 r1 1，r2 2. |o1o2| 1 r2 r1， 两圆内切 3 D 解析：由题意知，圆心 c(1,1)到直线 l 的距离 d |k 1 2k 2|k2 1 2，解得 k 1，故 k 的取值范围是 ( ， 1)( 1， ) 4 x2 y2 2 解析：圆心 (0,0)到直线 x y 2 0 的距离d | 2|12 12 2. 圆的方程为 x2 y2 2. 11 / 16 5 147 解析：由已知可求出圆心 o 到直线 l 的距离 d2，即 |3k|1 k2 2，解得 k 147. 6 1 或 9 解析：由空间两点间的距离公式，得 (x 5)2(2 4)2 (3 7)2 6， 即 (x 5)2 16，解得 x 1 或 x 9. 考点探究突破 【例 1】 A 解析：由题意知 a2 b2 r2， 所以圆心 (0,0)到直线 ax by r2 0 的距离 d r2a2 b2 r， 即直线与圆相离，无交点 【例 2 1】 D 解析：直线方程为 y 3x，圆的方程可化为x2 (y 2)2 4. 圆心 (0,2)，半径长 r 2. 圆心到直线 y 3x 的距离 d 1. 则弦长为 2r2 d2 23. 【例 2 2】解 ：圆的方程可化为 (x 2)2 (y 6)2 16，圆心 ( 2,6)，半径长 r 4. 又直线 l 被圆截得的弦长为 43， 所以圆心 c 到直线 l 的距离 d 42 (23)2 2. 当直线 l 的斜率不存在时，直线方程为 x 0，此时符合题意；当直线 l 的斜率存在时，设直线方程为 y 5 kx，即kx y 5 0. 12 / 16 由 | 2k 6 5|k2 1 2，得 k 34， 此时 l 的方程为 34x y 5 0，即 3x 4y 20 0.故所求直线方程为 x 0 或 3x 4y 20 0. 【例 3】解：当切线斜率存在时，设切线方程为 y 3 k(x 2)，即 kx y 3 2k 0. 圆心为 (1,1)，半径长 r 1， |k 1 3 2k|k2 ( 1)2 1， k 34. 所求切线方程为 y 3 34(x 2)， 即 3x 4y 6 0. 当切线斜率不存在时，因为切线过点 P(2,3)，且与 x 轴垂直，此时切线的方程为 x 2. 【例 4 1】解：对于圆 c1 与圆 c2 的方程，经配方后得 c1： (x m)2 (y 2)2 9； c2： (x 1)2 (y m)2 4. (1)如果 c1 与 c2 外切，则有 (m 1)2 (m 2)2 3 2. (m 1)2 (m 2)2 25.即 m2 3m 10 0，解得 m 5，或 m 2. (2)如果 c1 与 c2 内含，则有 (m 1)2 (m 2)2 3 2. (m 1)2 (m 2)2 1， m2 3m 2 0， 解得 2 m 1. 当 m 5，或 m 2 时，圆 c1 与圆 c2 外切；当 2 m 1 时，圆 c1 与圆 c2 内含 13 / 16 【例 4 2】解： (1)因为所求的圆过两已知圆的交点， 故设此圆的方程为 x2 y2 4x 3 (x2 y2 4y 3)0， ( 1， R) ，即 (1 )(x2 y2) 4x 4y 3 3 0，即 x2 y2 4x1 4y1 3 0，圆心为21 ， 21 . 由于圆心在直线 x y 4 0 上， 21 21 4 0，解得 13， 所求圆的方程为 x2 y2 6x 2y 3 0. (2)将圆 c1 和圆 c2 的方程相减，得 x y 0，此即相交弦所在直线的方程 【例 5 1】 (0， 1,0) 解析：设 m(0， y,0)，由 (1 0)2 (0 y)2 (2 0)2 (1 0)2 ( 3 y)2 (1 0)2， 解得 y 1，故 m(0， 1,0) 【例 5 2】解 ：易知 B(1， 2,1)， c(1,2,1) 所以 |Bc| (1 1)2 ( 2 2)2 (1 1)2 4. 演练巩固提升 针对训练 1 2x y 0 解析：圆的方程可化为 (x 1)2 (y 2)2 1，可知圆心为 (1,2)，半径为 1. 设直线方程为 y kx，则圆心到直线的距离为 d |k 2|1 k2，故有 |k 2|1 k2 0，解得 k 2.故直线方程为 y14 / 16 2x，即 2x y 0. 2 1 解析：依题，画出两圆位置如下图，公共弦为 AB，交 y 轴于点 c，连接 oA，则 |oA| 2.两圆方程相减，得 2ay 2，解得 y 1a， |oc| 1a. 又公共弦长为 23， |Ac| 3. 于是，由 RtAoc 可得 oc2 Ao2 Ac2，即 1a2 22 (3)2， 整理得 a2 1，又 a 0， a 1. 3 92 解析：根据空间中两点间的距离公式可得： |AB| (1 1)2 ( 2 1)2 ( 3 1)2 3， |Bc| ( 1 0)2 ( 1 0)2 ( 1 5)2 32 |Ac| (1 0)2 ( 2 0)2 ( 3 5)2 3. 因为 |AB| |Ac|，且 |AB|2 |Ac|2 |Bc|2， 所以 ABc 是以 A 为直角的等腰直角三角形，故其面积 S12|AB|Ac| 1233 92. 4解：方