2019届高考数学总复习4.2.1等差、等比数列与数列的通项及求和课件理.pptx

4.2数列大题,-2-,-3-,-4-,-5-,1.求通项公式的常见类型(1)已知an与Sn的关系或Sn与n的关系,利用公式,(2)等差数列、等比数列求通项或转化为等差(比)数列求通项.(3)由递推关系式求数列的通项公式.形如an+1=an+f(n),利用累加法求通项.形如an+1=anf(n),利用累乘法求通项.,-6-,2.数列求和的常用方法(1)公式法:利用等差数列、等比数列的求和公式.(2)错位相减法:适合求数列anbn的前n项和Sn,其中an,bn一个是等差数列,另一个是等比数列.(3)裂项相消法:即将数列的通项分成两个式子的代数和,通过累加抵消中间若干项的方法.(4)拆项分组法:先把数列的每一项拆成两项(或多项),再重新组合成两个(或多个)简单的数列,最后分别求和.(5)并项求和法:把数列的两项(或多项)组合在一起,重新构成一个数列再求和,适用于正负相间排列的数列求和.3.数列单调性的常见题型及方法(1)求最大(小)项时,可利用:数列的单调性;函数的单调性;导数.(2)求参数范围时,可利用:作差法;同号递推法;先猜后证法.,-7-,4.数列不等式问题的解决方法(1)利用数列(或函数)的单调性.(2)放缩法:先求和后放缩;先放缩后求和,包括放缩后成等差(或等比)数列再求和,或者放缩后裂项相消再求和.,4.2.1等差、等比数列与数列的通项及求和,-9-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,等差、等比数列的通项及求和例1(2018全国,理17)记Sn为等差数列an的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.(1)求an的通项公式;(2)求Sn,并求Sn的最小值.,解:(1)设an的公差为d,由题意得3a1+3d=-15.由a1=-7得d=2.所以an的通项公式为an=2n-9.(2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16.所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.,解题心得对于等差、等比数列,求其通项及前n项和时,只需利用等差数列或等比数列的通项公式及求和公式求解即可.,-10-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,对点训练1已知等差数列an的公差不为零,a1=25,且a1,a11,a13成等比数列.(1)求an的通项公式;(2)求a1+a4+a7+a3n-2.,解:(1)设an的公差为d.,即(a1+10d)2=a1(a1+12d).于是d(2a1+25d)=0.又a1=25,所以d=0(舍去)或d=-2.故an=-2n+27.,(2)令Sn=a1+a4+a7+a3n-2.由(1)知a3n-2=-6n+31,故a3n-2是首项为25,公差为-6的等差数列.,-11-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,可转化为等差、等比数列的问题例2已知等比数列an的前n项和为Sn,a1=3,且3S1,2S2,S3成等差数列.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=log3an,求Tn=b1b2-b2b3+b3b4-b4b5+b2n-1b2n-b2nb2n+1.,解:(1)3S1,2S2,S3成等差数列,4S2=3S1+S3,4(a1+a2)=3a1+(a1+a2+a3),即a3=3a2,公比q=3,an=a1qn-1=3n.,-12-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,解题心得无论是求数列的通项还是求数列的前n项和,通过变形、整理后,能够把数列转化为等差数列或等比数列,进而利用等差数列或等比数列的通项公式或求和公式解决问题.,(2)由(1)知,bn=log3an=log33n=n,b2n-1b2n-b2nb2n+1=(2n-1)2n-2n(2n+1)=-4n,Tn=(b1b2-b2b3)+(b3b4-b4b5)+(b2n-1b2n-b2nb2n+1),-13-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,对点训练2设an是公比大于1的等比数列,Sn为数列an的前n项和,已知S3=7,且a1+3,3a2,a3+4构成等差数列.(1)求数列an的通项公式;,-14-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,解:(1)由已知得,-15-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,(2)由(1)得a3n+1=23n,bn=ln23n=3nln2.bn+1-bn=3ln2,数列bn为等差数列.,-16-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,求数列的通项及错位相减求和例3已知an为等差数列,前n项和为Sn(nN*),bn是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.(1)求an和bn的通项公式;(2)求数列a2nb2n-1的前n项和(nN*).,-17-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,解:(1)设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q.由已知b2+b3=12,得b1(q+q2)=12,而b1=2,所以q2+q-6=0.又因为q0,解得q=2.所以,bn=2n.由b3=a4-2a1,可得3d-a1=8.由S11=11b4,可得a1+5d=16,联立,解得a1=1,d=3,由此可得an=3n-2.所以,数列an的通项公式为an=3n-2,数列bn的通项公式为bn=2n.,-18-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,(2)设数列a2nb2n-1的前n项和为Tn,由a2n=6n-2,b2n-1=24n-1,有a2nb2n-1=(3n-1)4n,故Tn=24+542+843+(3n-1)4n,4Tn=242+543+844+(3n-4)4n+(3n-1)4n+1,上述两式相减,得-3Tn=24+342+343+34n-(3n-1)4n+1,-19-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,解题心得求数列通项的基本方法是利用等差、等比数列通项公式,或通过变形转换成等差、等比数列求通项;如果数列an与数列bn分别是等差数列和等比数列,那么数列anbn的前n项和采用错位相减法来求.,-20-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,对点训练3(2018浙江,20)已知等比数列an的公比q1,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中项.数列bn满足b1=1,数列(bn+1-bn)an的前n项和为2n2+n.(1)求q的值;(2)求数列bn的通项公式.,解:(1)由a4+2是a3,a5的等差中项,得a3+a5=2a4+4,所以a3+a4+a5=3a4+4=28,解得a4=8.,-21-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,(2)设cn=(bn+1-bn)an,数列cn前n项和为Sn,-22-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,-23-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,求数列的通项及裂项求和例4已知数列an的前n项和为Sn,且对任意正整数n,都有3an=2Sn+3成立.(1)求数列an的通项公式;,解:(1)在3an=2Sn+3中,取n=1,得a1=3,且3an+1=2Sn+1+3,两式相减,得3an+1-3an=2an+1,an+1=3an.a10,数列an是以3为公比的等比数列,an=33n-1=3n.,-24-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,(2)由(1)得bn=log3an=n,解题心得对于已知等式中含有an,Sn的求数列通项的题目,一般有两种解题思路,一是消去Sn得到f(an)=0,求出an;二是消去an得到g(Sn)=0,求出Sn,再求an.把数列的通项拆成两项之差,求和时中间的项能够抵消,从而求得其和.注意抵消后所剩余的项一般前后对称.,-25-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,对点训练4Sn为数列an的前n项和.已知an0,+2an=4Sn+3.(1)求an的通项公式;,所以an是首项为3,公差为2的等差数列,通项公式为an=2n+1.,-26-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,(2)由an=2n+1可知,设数列bn的前n项和为Tn,则Tn=b1+b2+bn,-27-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,涉及奇偶数讨论的数列求和例5已知等差数列an的前n项和为Sn,且a1=2,S5=30.数列bn的前n项和为Tn,且Tn=2n-1.(1)求数列an,bn的通项公式;(2)设cn=(-1)n(anbn+lnSn),求数列cn的前n项和.,对数列bn:当n=1时,b1=T1=21-1=1,当n2时,bn=Tn-Tn-1=2n-2n-1=2n-1,当n=1时也满足上式.bn=2n-1.,-28-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,(2)cn=(-1)n(anbn+lnSn)=(-1)nanbn+(-1)nlnSn.,lnSn=lnn(n+1)=lnn+ln(n+1).而(-1)nanbn=(-1)n2n2n-1=n(-2)n,设数列(-1)nanbn的前n项和为An,数列(-1)nlnSn的前n项和为Bn,则An=1(-2)1+2(-2)2+3(-2)3+n(-2)n,则-2An=1(-2)2+2(-2)3+3(-2)4+n(-2)n+1,-得3An=1(-2)1+(-2)2+(-2)3+(-2)n-n(-2)n+1,-29-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,当n为偶数时,Bn=-(ln1+ln2)+(ln2+ln3)-(ln3+ln4)+lnn+ln(n+1)=ln(n+1)-ln1=ln(n+1);当n为奇数时,Bn=-(ln1+ln2)+(ln2+ln3)-(ln3+ln4)+-lnn+ln(n+1)=-ln(n+1)-ln1=-ln