数学建模论文-城市表层土壤重金属污染分析.doc

城市表层土壤重金属污染分析【摘要】本文在假设所给数据全都真实的情况下建立数学模型,对某城市表层土壤重金属污染程度进行了分析。首先，我们分别利用了MATLAB、CATIA、CAD、等多种绘图软件，绘制了各种重金属的分布图及该区的地形图（包括二维图与三维图），在以8种重金属在该城区不同地区的分布以及该地区的地形图为前提的基础上采用“模糊综合评价法”从而给出了各区域污染程度的综合评价；其次，我们利用“统计学”与“方差分析”的数据处理方法分别对三组数据进行了系统而全面的处理。为寻找、假设污染的原因提供了有力的前提条件。然后，对于关键问题三，为了判断污染源的位置，我们首先确立了污染源的来源只有“迁移聚集”与“排放”两种方式。然而，只有在排除了某地超标的重金属来源于迁移，我们才可以排除该地区不是污染源的可能。为此，我们建立了具有本文特色的“雨水、泥沙运动模型”，即只考虑雨水冲刷对重金属的迁移作用。在此模型中，通过大量的偏微分方程计算，最终得到了合理解。在最后，我们又考虑了，温度等因素对重金属的影响。从而使模型的正确性的到了很大的提高，为以后的推广运用奠定了基础。 【关键词】重金属 模糊综合评价法 层次分析法 权重 雨水泥沙运动评价因素 评价因素值 平均评价值 加权平价值 1、问题的提出1.1问题重述随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突出。对城市土壤地质环境异常的查证，以及如何应用查证获得的海量数据资料开展城市环境质量评价，研究人类活动影响下城市地质环境的演变模式，日益成为人们关注的焦点。按照功能划分，城区一般可分为生活区、工业区、山区、主干道路区及公园绿地区等，分别记为1类区、2类区、5类区，不同的区域环境受人类活动影响的程度不同。现对某城市城区土壤地质环境进行调查。为此，将所考察的城区划分为间距1公里左右的网格子区域，按照每平方公里1个采样点对表层土（010 厘米深度）进行取样、编号，并用GPS记录采样点的位置。应用专门仪器测试分析，获得了每个样本所含的多种化学元素的浓度数据。另一方面，按照2公里的间距在那些远离人群及工业活动的自然区取样，将其作为该城区表层土壤中元素的背景值。附件1列出了采样点的位置、海拔高度及其所属功能区等信息，附件2列出了8种主要重金属元素在采样点处的浓度，附件3列出了8种主要重金属元素的背景值。现要求通过数学建模来完成以下任务：(1) 给出8种主要重金属元素在该城区的空间分布，并分析该城区内不同区域重金属的污染程度。(2) 通过数据分析，说明重金属污染的主要原因。(3) 分析重金属污染物的传播特征，由此建立模型，确定污染源的位置。(4) 分析你所建立模型的优缺点，为更好地研究城市地质环境的演变模式，还应收集什么信息？有了这些信息，如何建立模型解决问题？1.2问题分析针对于问题（1）我们运用MATLAB三维绘图方法以及CATIA、CAD等多种绘图软件进行绘图，从而得出8种重金属在该城区不同地区的分布以及该地区的地形图，进而可得到8种重金属的空间分布。在此基础上，以这个地区土壤元素的背景值作参考得到这8种重金属元素的污染程度等级含量。最后运用模糊综合评价、层次分析等方法分析该城区不同区域的重金属污染程度。针对于问题（2）我们借用问题（1）获得的三维地形图，重金属分布图并以结合数据用方差分析的方法，得出了重金属污染的主要原因。针对问题（3）根据问题(1)所得到的地形图以及问题（2）得出的重金属污染的主要原因，综合考虑每个区域所在的位置和周边环境以及雨水导致的泥沙运动、植被对重金属的吸附解吸作用针对重金属的来源的两种渠道建立雨水泥沙运动模型，得出重金属的迁移模型，从而找到重金属的污染源。针对问题（4）其实就是对该模型的评价和优化。在优化时，我们又多考虑了例如温度等影响因素对重金属的迁移运动的影响。使模型更接近事实；2、模型假设（1）假设该地区没有大规模、大范围土建工程。（2）假设污染都来自土壤表层，即10厘米以下没有污染源。（3）假设所给数据都是真实的，以使本文的模型具有真实意义。（4）假设该地区长期以来没有泥石流、塌方、特大暴雨和洪涝灾害，即雨水正常。3、名词解释和符号说明3.1名词解释（1）重金属化学上跟据金属的密度把金属分成重金属和轻金属，常把密度大于4.5g/cm3的金属称为重金属。 如：金、银、铜、铅、锌、镍、钴、铬、汞、镉等大约45种。（2）模糊综合评价模糊综合评价法是一种基于模糊数学的综合评标方法。该综合评价法根据模糊数学的隶属度理论把定性评价转化为定量评价，即用模糊数学对受到多种因素制约的事物或对象做出一个总体的评价。（3）评价因素系指对招标项目评议的具体内容（例如，价格、各种指标、参数、规范、性能、状况，等等）。（4）评价因素值系指评价因素的具体值（5）平均评价值系指评标委员会成员对某评价因素评价的平均值。（6）权重权重是一个相对的概念，是针对某一指标而言。即某一指标的权重是指该指标在整体评价中的相对重要程度。（7）加权平均评价值系指加权后的平均评价值。 即平均评价值权重。(8)综合评价值系指同一级评价因素的加权平均评价值（Epw）之和。综合评价值也是对应的上一级评价的评价值。(9)雨水泥沙运动雨水泥沙运动是指在强雨水冲刷作用下，造成土壤做机械运动，使土壤及其表层固体物随水流运动传播。当土壤及其表层固体物中含有污染物时，水流便成了其传播的媒介，雨水泥沙运动成为其传播形式。3.2符号说明符号含义符号含义水相（溶解相）深度高低悬浮颗粒相深度洼地水底推移相深度平原重金属迁移正常值雨水、泥沙运动模型溶解相重金属污染物垂线(水深)平均浓度方向水流和悬移质泥沙垂线平均流速方向水流和悬移质泥沙垂线平均流速x方向推移质泥沙和水流垂线平均流速y方向推移质泥沙和水流垂线平均流速垂线平均的悬移质泥沙浓度推移质泥沙浓度单位重量悬移质泥沙推移质泥沙单位面积床沙重金属污染物吸附量泥沙颗粒的比重径流河床的孔隙度时间径流水深污染因子集评语集评价样品对评价等级的隶属度模糊关系矩阵行数矩阵列数实测重金属浓度权重第 个污染因子的背景值权重积第个职能区列数各个职能区各个职能区综合评判的最大值各个职能区综合评判的最大值4、模型的建立与求解4.1问题（1）的解法4.1.1模糊数学模型的建立已知污染因子集其中 分别为As、Cd、Cr、Cu、Hg、Ni、Pb、Zn，评语集，反映污染超标的轻重对因子权重的影响模糊综合法用隶属度描述模糊的污染分级界线,各评价等级的隶属度再以各评价因子的权重修正,则得到评价样品对评价等级的隶属度。设A 为各评价因子对评价等级的隶属度, R为各评价因子的权重构成的向量,为评价样品对评价等级的隶属度,则得到如下数学模型: 为了进行模糊运算,需要确定隶属度函数,并以隶属度来描述土壤污染状况的模糊界线。设土壤环境质量分为4个级别,则:这里用降半梯形分布来刻画隶属度: (2)（2）式中为 污染因子的隶属度; 为某一样品各污染因子i在j级指标; 各污染因子的实测浓度。4.1.2模糊数学模型求解：由此可得表示评价因子即指标i对级别(状态) j的隶属度矩阵: . (3) （隶属度矩阵见附录一）其中，（3）中的表示第个职能区列数；表示各个职能区。 同样可求得其它样品对各污染等级的隶属度矩阵4.1.3各评价因子权重向量A的确定:对于不同重金属,现在常采用土壤环境中污染物因子的实测浓度与其相应分级标准的比值来计算权重,此方法在一定程度上可以反映污染超标的轻重对因子权重的影响。并作归一化处理,得到某污染组分的权重公式: (4)式中为某样品第个污染因子的实测浓度（单位：）; 为第个污染因子的背景值（平均值）；为某样品第个污染因子的权重值,将其归一化，即,（5）调用MATLAB可求得权重（附录二），从而获得阶的模糊矩阵A，同样,可以得到其它样品的各参评因子的权重向量。4.1.4分布空间与模糊综合评价模型果:以上两图分别为该地区的三维地形图和8种重金属的水平分布图.由上图可知：Ni元素的主要污染区分布在海拔较高的工业区，另外7种重金属元素的主要污染区分布在海拔较低的生活区外围区域。将权重向量A 和隶属度向量R代入所建立的数学模型式(1)： , 调用MATLAB程序即可求得到各评价对评价等级的隶属度B。那么我们根据最大隶属度原则就可以确定样点所属的污染等级：表：样点所属的污染等级职能区权重污染等级工业区公园绿地区交通区山区生活区权重4.5916e+0.034.0426e+0.031.7479e+0.044.5916e+0.031.8843e+0.04污染等级12413说明：污染等级越高受污染程度越低。4.2对问题（2）的解答：根据问题，运用方差分析其步骤如下：假设： 不全相等现在，方差分析表：方差来源平方和自由度均方差F值显著性因素误差总和海拔方差分析的列表方差来源平方和自由度均方差F值显著性因素7620.43532540.1459.7379显著误差79853306260.959总和87473.8996309通过方差分析，海拔对污染浓度影响非常显著分别表示各个区间重金属总浓度的价均值，海拔越低的地方污染越严重。说明这个区域不是污染源，而是因为污水的排放造成的。由此，可以得出以下几条结论：第一，该地区工业区选址不好，选在了高海拔区，刚好是水流上游；第二，当地植被不够丰富，不能够很好地保持水土，吸收有害元素，甚至造成水土流失；第三，当地法律不够健全，造成工厂污水违规乱排放。归结于一点，造成污染的主要原因，人们保护自己生活环境的意识淡薄。4.3问题(3)的解决方法：根据问题(1)所得到的地形图，我们可以发现，该城市的每一个区域所在的地理位置和周边环境是不同的，即各区的地势高低、植被覆盖率与生物的多样性都是不一样的。然而，雨水导致的泥沙运动，动、植物对重金属的吸附解吸作用是引起重金属的迁移与转化的主要原因。根据资料显示，重金属的来源只有只有两种渠道，分别是重金属的排放与迁移聚集。因此，为了确定污染物的来源，我们必须同时考虑地势这个因素。然而，对于不同的地势雨水冲刷的程度是不一样的。为此，我们首先将该城市的地区分为三种地形分别是：高地、洼地与平原。并分别记为。如果通过地形图显示，该地属于高地，那么该地所测得的重金属的污染量还应该加上由于雨水、泥沙运动所带去的重金属量。如果是洼地则还应该加上由于雨水、泥沙运动所带来得的金属。当然，在此之前，我们首先将平地上由于上述运动而造成的重金属的迁移量来那个作为正常值（即标准值）。为此，我们可以建立雨水泥沙运动模型。雨水、泥沙运动模型为：首先，我们将雨水冲刷而形成的径流模拟为如下图所示的结构：在这里，我们将雨水形成的径流设想为三层，从上到下分别为：水相（溶解相）、悬浮颗粒相及水底推移相。由此，我们可以推导出雨水、泥沙运动模型： (i) 进、出该控制体的重金属水相(溶解相): 注 8 悬浮颗粒相：推移相：于是在时间内的总进、出差为： 单位时间内控制体内的重金属的增量分别为：水相（溶解相）：悬浮颗粒相：推移颗粒相：总的重金属增量为：+根据平衡定理可以知道在时间内总进、出差与控制体内的重金属的增量应该相等，即可以得到： =+由此可以化简得：=上式的化简结果就是在正常情况下，即在平原地带的地表重金属含量由于雨水、泥沙运动所导致的流失计算公式。其中式的意义是：溶解相重金属污染物浓度的变化.如果为零, 它即是一般(示踪)污染物的对流扩散方程.式的意义是：河床变形对其迁移转化的影响;式的意义是：床沙质泥沙(或者说“底泥”)吸附解吸重金属污染物的影响;式的意义是：推移质泥沙运动的影响;式的意义是：悬移质泥沙吸附解吸重金属污染物的影响式的意义是：推移质泥沙吸附解吸重金属污染物的影响.然而，由下雨形成的地表径流因该说是很小的，所以，其中的可以记为零，。由此可以进一步化简得到：所以我们可以得到：（1）如果该地区为高地，则该地区的原始重金属含量为： （2）如果该地是低地，则该地区的原始重金属含量为：即（3）如果该地是平原，则该地的原始重金属量为：即 根据得到的值，并且与背景值进行比较（在这里，由于山区的重金属污染一般属于正常值，即山区不是污染源。故，其值可以作为其他地区的参考值。并且设为：）。如果比较结果显示，,那么，我们就可以得到，该地区是污染源；如果比较结果显示，,那么，我们就可以判定，该地区的重金属含量过高的原因主要是由于只能重金属的迁入所导致的。即该地区不是污染源。求偏导用MATLAB代入数据计算可得到最终结果，可以得到原始污染值高于正常值的点有(x,y)的坐标分别为：(5438,6782) ，（4948,7293） ，（6423,8831）即该地区的污染源在海拔较高的工业区。（具体计算结果和MATLAB程序见附录三）4.4对问题四的解答4.4.1模型的优点：（1）我们利用的模糊综合评价法具有结果清晰,系统性强的特点,能较好地解决模糊的、难以量化的问题,适合各种非确定性问题的解决；（2）本文利用土壤环境中污染物因子的实测浓度与其相应分级标准的比值来计算权重在一定程度上可以反映污染超标的轻重对污染因子权重的影响，可以更确好的确定最终评价结果；（3）对于问题三的解答，我们结合了河流对重金属的冲刷作用从而建立了符合实际的雨水、泥沙运动模型；（4）在解答第三个问题的时候，我们通过复杂的微分方程从而分别得到了重金属进、出量与总的重金属曾量。最后通列这两项的平衡方程，得到了，在平原状态下雨水、泥沙运动对重金属的迁移作用；（5）在第三个问题上，我们首先确立了污染物的来源只有两种方式，分别为迁移聚集与重金属的排放。而在重金属的迁移上，地势因素是其主要因素。为了最大限度的保证模型的准确度，我们将该城区的地势分为了高地、平原、洼地；（6）为了最大限度的确保最后结果的准确，在计算时我们根据实际将其中的记为零；模型的不足：（1）在计算权重时候，数据处理的要求非常高，容易导致错误的发生；（2）在影响重金属的迁移的问题上，还有很多因素影响着它的迁移运动，比如说温度、粒度对重金属吸附的影响及pH对重金属吸附的影响等等；（3）通过雨水、泥沙运动模型判断该地是否为污染源时计算量非常大；基于模型的不足之处，我们提出的改进方法：根据上面提到的缺点一样，影响重金属的迁移运动的因素还有很多。为了更加准确的检测出该地的原始重金属含量，即城市地质环境的演变模式。为此我们必须了解这些因素的作用模型，以此来增加结果的可信度。在第三个问题的基础上，我们在分别建立温度对重金属吸附的影响模型、pH对重金属吸附的影响模型；首先，根据科学数据可以知道温度升高会使颗粒物对重金属的吸附速率增大，吸附量也随之增加。而气温又与海拔有关系，即海拔每升高1000米温度就会减低。我们不妨令吸附量为关于时间的函数。其中即是其它两种地形相对于平原所多吸附或少吸附的量。那么可以得到 ：如果该地为高地，则（1）如果该地区为高地，则该地区的原始重金属含量为： 即：（2）如果该地是低地，则该地区的原始重金属含量为：即（3）如果该地是平原，则该地的原始重金属量还是为：即参考文献1 姜启源,谢金星,叶俊.数学模型M.北京:.2003年8月第三版；2 姜启源.数学模型M.北京: 高等教育出版社.1987年4月第一版；3郑国章.农业土壤重金属污染研究的理论与实践M.北京中国环境出版社.2007年5月第一版；4 胡守信,李柏年.基于MATLAB的数学实验M.北京:科学出版社.2004年6月第一版；5陈英旭.土壤重金属的植物污染化学.M北京科学出版社.2008年9月第一 版；6刘长礼，张云，尹密英.M北京.地质出版社.2006年6月第一版；7扬启帆,康旭升,等.数学建模M.北京: 高等教育出版社.2006年5月；8黄岁樑. 冲积河流重金属污染物迁移转化数值模拟控制方程及其物理意义 中国科学杂志社. 技术科学 2010 年 第 40 卷 第 5 期: 515 5249陈东彦，李冬梅，王树忠.M数学建模.北京.科学出版社2007年12月第一版；10于亮亮，李倩，李良书.长江水质的评价预测模型及其适用性研究.工程数学学报2005年第22卷 第7期。附录附录一: 隶属度矩阵编号As (g/g)Cd (ng/g)Cr (g/g)Cu (g/g)Hg (ng/g)Ni (g/g)Pb (g/g)Zn (g/g)10.0 0.6 0.3 0.0 0.0 0.0 0.6 0.9 20.0 0.7 0.2 0.0 0.0 0.0 0.6 0.1 30.3 0.0 1.1 0.0 0.0 0.1 0.0 0.0 40.0 0.0 0.5 0.0 0.0 0.1 0.9 0.0 50.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 60.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 70.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 80.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 90.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 100.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.5 0.0 110.0 0.0 0.2 0.0 0.0 0.1 0.6 0.0 120.0 0.0 0.3 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 130.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.3 140.5 0.0 0.0 0.0 0.0 0.1 0.0 0.0 150.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 160.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 170.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 180.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 190.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 200.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 210.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.1 0.0 0.0 220.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 230.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 241.2 0.0 0.0 0.0 0.0 0.1 0.0 0.0 250.7 1.7 0.8 1.2 1.0 0.1 1.2 1.8 260.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 270.1 0.0 0.4 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 281.0 0.0 0.8 0.0 0.1 0.1 0.0 0.0 290.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 300.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 310.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 321.1 0.0 0.0 0.0 0.0 0.1 0.0 0.0 330.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 340.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 350.5 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 361.1 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 370.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 380.6 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 390.6 0.0 0.0 0.0 0.0 0.1 0.0 0.0 400.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 410.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 420.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 430.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 440.4 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 450.3 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 460.1 0.0 0.2 0.0 0.0 0.1 0.0 0.0 470.6 0.0 0.0 0.0 0.3 0.0 0.0 0.0 480.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 490.4 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 500.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 510.1 0.6 0.1 0.0 0.0 0.0 0.5 0.2 520.3 0.0 0.4 0.0 0.0 0.1 0.0 0.0 530.3 0.0 0.0 0.0 0.0 0.1 0.0 0.0 540.8 0.0 0.8 0.0 0.0 0.1 0.0 0.0 551.0 0.0 0.2 0.0 0.0 0.1 0.0 0.0 561.3 0.0 0.0 0.0 0.1 0.0 0.0 570.8 0.0 0.2 0.0 1.0 0.1 0.0 0.0 580.8 0.0 0.8 0.0 0.0 0.1 0.0 0.0 591.4 0.0 0.2 0.0 1.2 0.1 0.0 0.0 601.2 0.0 0.6 0.0 0.9 0.2 0.0 0.0 610.3 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 620.7 1.1 1.2 0.0 1.3 0.1 0.0 0.4 631.4 0.0 0.7 0.0 1.6 0.1 0.0 0.0 641.5 0.0 0.3 0.0 0.0 0.1 0.0 0.0 651.3 0.0 0.0 0.0 1.4 0.1 0.0 0.0 661.2 0.0 0.1 0.0 1.6 0.1 0.0 0.0 671.2 0.0 0.0 0.0 0.8 0.1 0.0 0.0 680.0 0.0 0.4 0.0 0.1 0.0 0.7 0.5 691.0 0.0 0.6 0.1 1.5 0.1 0.0 0.0 700.5 0.9 0.7 0.0 1.8 0.1 0.7 0.6 711.3 0.0 1.3 0.0 1.6 0.1 0.0 721.0 1.3 0.0 0.0 0.0 0.0 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