§２抛物线的几何性质（２）

1 / 7 抛物线的几何性质（） 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 抛物线的几何性质（） 【学情分析】： 由于学生具备了曲线与方程的部分知识，掌握了研究解析几何的基本方法，因而利用已有椭圆与双曲线的知识，引导学生独立发现、归纳知识，指导学生在实践和创新意识上下工夫，训练基本技能。 【教学目标】： （ 1）知识与技能： 熟练掌握抛物线的范围，对称性，顶点，准线，离心率等几何性质；掌握直线与抛物线位置关系等相关概念及公式。 （ 2）过程与方法： 重视基础知识的教学、基本技 能的训练和能力的培养；启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考。 （ 3）情感、态度与价值观： 培养严谨务实，实事求是的个性品质和数学交流合作能力，以及勇于探索，勇于创新的求知意识，激发学生学习数学的兴趣与热情。 【教学重点】： 抛物线的几何性质及其运用。 【教学难点】： 2 / 7 抛物线几何性质的运用。 【课前准备】： Powerpoint 或投影片 【教学过程设计】： 教学环节教学活动设计意图 一、复习引入 回顾抛物线的几何性质： 将基本公式用填空的形式巩固。 二、知识准备设圆锥曲线 cf(x ， y)=0 与直线 ly=kx+b相交于 A(x1， y1)、 B(x2， y2)两点，则弦长 |AB|为： 或 二、例题讲解例 1正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，求这个正三角形的边长 分析：观察图，正三角形及抛物线都是轴对称图形，如果能证明 x 轴是它们公共的对称轴，则容易求出三角形边长 解：如图，设正三角形 oAB 的顶点 A、 B 在抛物线上，且坐标分别为、，则， 又 |oA| |oB|，所以 即 ， 由此可得，即线段 AB关于 x 轴对称 3 / 7 因为 x 轴垂直于 AB，且 Aox 30 ，所以 所以， 例 2过抛物线 y的焦点作倾斜角为 的直线 l 与抛物线交于 A、 B 两点，且 |AB|=8，求倾斜角 解：抛物线标准方程为 x2 4y，则焦点 F（ 0,-1） 当 90 时，则直线 l： x 0（不合题意，舍去） 当 90 时，设 k tan ，则直线 l： y+1 kx；即y=kx-1与 x2 4y联立，消去 y 得： x2 4kx-4=0 则 x1+x2= 4k； x1x2= 4； = 4（ 1+k2） 8 k 1 45 或 135 圆锥曲线的弦长求法 二、例题讲解例 3已知抛物线方程为，直线过抛物线的焦点 F 且被抛物线截得的弦长为 3，求 p 的值 解：设与抛物线交于 由弦长公式 |AB|=3 则有 由 4 / 7 从而由于 p0，解得 圆锥曲线的中点弦问题 三、巩固练习 1若正三角形一顶点在原点，另外两点在抛物线 y2=4x上，求此正三角形的边长。 （答案：边长为 8） 2正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，求正三角形外接圆的方程 分析：依题意可知圆心在轴上，且过原点， 故可设圆的方程为：， 又 圆过点， 所求圆的方程为 3已知抛物线 ,过点 (4,1)引一弦 ,使它恰在这点被平分 ,则此弦所在直线方程为 解析 :设直线与抛物线交点为则 , 4已知直线与抛物线相交于、两点，若，（为原点）且，求抛物线的方程 （答案：） 5顶点在坐标原点，焦点在轴上的抛物线被直线截得的弦长为，求抛物线的方程 （答案：或） 5 / 7 四、课后练习 1斜率为 1 的直线经过抛物线 y2=4x的焦点，与抛物线相交于两点 A、 B，求线段 AB的长 解：如图，由抛物线的标准方程可知， 抛物线焦点的坐标为 F(1， 0)， 所以直线 AB的方程为 y=x-1 与 y2=4x 联立，解得： 将 x1、 x2的值代入方程 中，得 即 A、 B 的坐标分别为 、 2已知抛物线与直线相交于、两点，以弦长为直径的圆恰好过原点，求此抛物线的方程 （答案：） 3.已知的三个顶点是圆与抛物线的交点，且的垂心恰好是抛物线的焦点，求抛物线的方程 （答案：） 4已知直角的直角顶点为原点，、在抛物线上，（ 1）分别求、两点的横坐标之积，纵坐标之积；（ 2）直线是否经过6 / 7 一个 定点，若经过，求出该定点坐标，若不经过，说明理由；（ 3）求点在线段上的射影的轨迹方程 答案：（ 1）； （ 2）直线过定点 （ 3）点的轨迹方程为 5已知直角的直角顶点为原点，、在抛物线上，原点在直线上的射影为，求抛物线的方程（答案：） 练习与测试： 1顶点在原点，焦点在 y 轴上，且过点 P（ 4， 2）的抛物线方程是（ ） (A)x2 8y(B)x2 4y(c)x2 2y(D) 2抛物线 y2 8x上一点 P 到顶点的距离等于它们到准线的距离，这点坐标是 (A)（ 2， 4） (B)（ 2， 4 ） (c)（ 1，） (D)（ 1， ） 3直线过抛物线的焦点 ,并且与轴垂直 ,若被抛物线截得的线段长为 4,则 () 4抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与 y轴垂直的弦长等于 8，则抛物线方程为 5抛物线 y2 6x，以此抛物线的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是 7 / 7 6以双曲线的右准线为准线，以坐标原点 o 为顶点的抛物线截双曲线的左准线得弦 AB