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2.4 可逆矩阵授课题目 2.4 可逆矩阵 授课时数：4课时教学目标：掌握可逆矩阵及逆矩阵的概念，可逆矩阵的性质，求逆矩阵的公式 可逆矩阵的判定，用初等变换求逆矩阵，用初等变换求解矩阵方程教学重点：可逆矩阵的判定，用初等变换求逆矩阵，求逆矩阵的公式，用初等变换求解矩阵方程教学难点：用初等变换求逆矩阵，用初等变换求解矩阵方程教学过程：一、可逆矩阵的定义及性质1、可逆矩阵的定义解时需要满足CA=-I的C的存在性问题。定义1，对于n阶矩阵A，若存在n阶矩阵A，若存在n阶矩阵B使得 AB=BA=I则称A为可逆矩阵（或非奇异矩阵），或A可逆称B为A的逆矩阵从下面几点加深理解：要求A是方阵，非方阵不加以讨论（广义逆）；条件是两等式成立（双边乘A等于单位阵）；能否用BA=I（单边）定义，若A可逆，A的逆矩阵是否唯一？条件“AB=BA=I”中，A，B的相互性2、可逆矩阵的逆矩阵的唯一性证 事实上设都是A的逆矩阵，便有A可逆，用表示A的唯一的逆矩阵，A=A=I3、可逆矩阵的性质设A，B可逆注意用定义证一些简单结论1)可逆且=A； 证 由于互为逆矩阵，且2)（穿脱原理）证 因为A，B均可逆，知存在，且有所以AB可逆，且推广3) 两运算可交换顺序证 因为A可逆，有两边取转置得所以4、可逆性的初步判定1）初等矩阵的可逆性初等矩阵是可逆的，它们的逆是同类的初等矩阵。2）不可逆矩阵的实例 不可逆 （推广：有一行（列）为零时）二、可逆矩阵的判定：1、基本定理定理2.4.1 初等变换不改变矩阵的可逆性证 设A经过一次初等行变换得到B，那么存在一个初等矩阵E，使得EA=B。由于初等矩阵可逆，当A可逆时，EA也可逆，即B可逆。另一方面，当B可逆时，可逆，即A可逆。对列变换的情形可类似的证明。2、几个充要条件Th.2.4.2 A可逆ATh.2.4.3 A可逆证 设A 可逆，则A的等价标准形为，即存在初等矩阵，于是故A可表示成一些初等矩阵的乘积。Th.2.4.4 A可逆证 因为A可逆存在初等矩阵A经过s次初等变换化成I。Th2.4.5 设A，B是两个n阶矩阵，则|AB|=|A|B|推论1 设都是n阶矩阵，则Th2.4.6 A可逆证 必要性 设A可逆，则存在，由定理5得 充分性 由定理2，存在两边取行列式，由推论1得当 时，从而先给出方阵行列式的定义；介绍（同行列式乘法定理）给出A可逆（单边的定义）三、逆矩阵的求法1、初等变换法1) 原理设（）=（）2）初等变换方法例 设判定是否可逆，若可逆，求解1 因为所以A可逆，（）2伴随矩阵法1） 伴随矩阵设阵中的代数余子式，矩阵称为A的伴随矩阵2） 求逆矩阵的公式 （牢记）例2 设判定是否可逆，若可逆，求解 因为|A|=2，所以A可逆。又 所以所以A可逆， 四可逆分块矩阵的逆矩阵1、缺角阵的逆矩阵设A，B分别是m,n阶可逆矩阵，则有Laplace定理知m+n阶分块矩阵是可逆矩阵，得进行相同的分块，令由于根据分块矩阵的乘法计算出左端，并比较等式两边，得有（1）、（2）式得代入（4）式得代入（3）式得所以 利用分块矩阵的知识可推得下列公式设A，B可逆.，学生思考回答。2、准对角矩阵的逆矩阵反对角矩阵的逆矩阵其中，s五、一类矩阵方阵的简便解法解A=B（A可