2018年高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.2 利用导数研究函数极值课件12 新人教B版选修2-2.ppt

1.3导数的应用1.3.2利用导数研究函数的极值(二),探要点究所然,情境导学极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质，但是我们往往更关心函数在某个区间上哪个值最大，哪个值最小？函数的极值与最值有怎样的关系？这就是本节我们要研究的问题.,探究点一求函数的最值思考1如图，观察区间a，b上函数yf(x)的图象，你能找出它的极大值、极小值吗？,答f(x1)，f(x3)，f(x5)是函数yf(x)的极小值；f(x2)，f(x4)，f(x6)是函数yf(x)的极大值.,填要点记疑点,1.函数f(x)在闭区间a，b上的最值函数f(x)在闭区间a，b上的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在a，b上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在处或处取得.,端点,极值点,2.求函数yf(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤：(1)求函数yf(x)在(a，b)内的；(2)将函数yf(x)的各极值与的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是，最小的一个是.,极值,端点处,最大值,最小值,思考2观察思考1的函数yf(x)，你能找出函数f(x)在区间a，b上的最大值、最小值吗？若将区间改为(a，b)，f(x)在(a，b)上还有最值吗？由此你得到什么结论？答函数yf(x)在区间a，b上的最大值是f(a)，最小值是f(x3).若区间改为(a，b)，则f(x)有最小值f(x3)，无最大值.,3.在开区间(a，b)内连续的函数不一定有最大值与最小值；若函数f(x)在开区间I上只有一个极值，且是极大(小)值，则这个极大(小)值就是函数f(x)在区间I上的最大(小)值.4.极值与最值的意义(1)最值是在区间a，b上的函数值相比较最大(小)的值；(2)极值是在区间a，b上的某一个数值x0附近相比较最大(小)的值.,思考3函数的极值和最值有什么区别和联系？答函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取得必定是极值，所以在开区间(a，b)上若存在最值，则必是极值.,例1求下列函数的最值：f(x)2x312x，x2,3；解f(x)2x312x，,当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：,当x3时，f(x)取得最大值18.,反思与感悟(1)求函数的最值，求极值是关键的一环.若仅是求最值，则简化为：求出导数为零的点.比较这些点与端点处函数值的大小，就可求出函数的最大值和最小值.(2)若函数在闭区间a，b上连续且单调，则最大值、最小值在端点处取得.,跟踪训练1求下列函数的最值：f(x)x34x4，x0,3；,f(x)x24.令f(x)0，得x12，x22.,探究点二含参数的函数的最值问题例2已知a是实数，函数f(x)x2(xa).(1)若f(1)3，求a的值及曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程.解f(x)3x22ax.因为f(1)32a3，所以a0.又当a0时，f(1)1，f(1)3，,所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为3xy20.,(2)求f(x)在区间0,2上的最大值.,从而f(x)maxf(2)84a.,从而f(x)maxf(0)0.,反思与感悟由于参数的取值不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化.所以解决这类问题常需要分类讨论，并结合不等式的知识进行求解.,跟踪训练2求函数f(x)x34x4在0，a(a0)上的最大值和最小值.解f(x)x24.令f(x)0，得x2或x2(舍去).因为0xa，所以当02时，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,从上表可知：当x2时，f(x)取最小值f(2)，f(x)的最大值为f(0)与f(a)中较大的一个.,所以当20恒成立，只要f(x)的最小值大于0即可.如f(x)f(1)，,x0,3时，f(x)的最大值为f(3)98c.对任意的x0,3，有f(x)9.c的取值范围为(，1)(9，).,(2)若对任意的x(0,3)，都有f(x)c2成立，求c的取值范围.解由(1)知f(x)f(3)98c，98cc2即c1或c9，c的取值范围为(，19，).,反思与感悟(1)“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型，对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值即可.(2)此类问题特别要小心“最值能否取得到”和“不等式中是否含等号”的情况，以此来确定参数的范围能否取得“”.,跟踪训练3设函数f(x)tx22t2xt1(xR，t0).(1)求f(x)的最小值h(t)；解f(x)t(xt)2t3t1(xR，t0)，当xt时，f(x)取最小值f(t)t3t1，即h(t)t3t1.,(2)若h(t)2tm对t(0,2)恒成立，求实数m的取值范围.解令g(t)h(t)(2tm)t33t1m，由g(t)3t230得t1，t1(不合题意，舍去).当t变化时g(t)、g(t)的变化情况如下表,对t(0,2)，当t1时，g(t)max1m，h(t)1.故实数m的取值范围是(1，),当堂测查疑缺,1.函数yf(x)在a，b上()A.极大值一定比极小值大B.极大值一定是最大值C.最大值一定是极大值D.最大值一定大于极小值解析由函数的最值与极值的概念可知，yf(x)在a，b上的最大值一定大于极小值.,1,2,3,4,D,2.函数f(x)x33x(|x|1)()A.有最大值，但无最小值B.有最大值，也有最小值C.无最大值，但有最小值D.既无最大值，也无最小值,1,2,3,4,解析f(x)3x233(x1)(x1)，当x(1,1)时，f(x)0，所以f(x)在(1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D.答案D,1,2,3,4,3.函数yxsinx，x的最大值是()A.1B.1C.D.1解析因为y1cosx，,1,2,3,4,1,2,3,4,所以y的最大值为ymaxsin，故选C.,答案C,4.函数f(x)x33x29xk在区间4,4上的最大值为10，则其最小值为_.解析f(x)3x26x93(x3)(x1).由f(x)0得x3或x1.又f(4)k76，f(3)k27，f(1)k5，f(4)k20.由f(x)max