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与高中数学教师谈怎样夯实高一学生数学基础 趣 准 精 督 瞿 高 海趣: 兴趣 趣味热爱激情数学前辈、同行的话每个人都有学习数学的基本潜能数学教师个人魅力与学生的对话兴趣：激发学生学习数学的兴趣用数学教师特有的魅力吸引学生（数学教师普遍具有“大爱之心”、“责任意识强”、“方法恰当”）用数学区别与其他学科的特有语言吸引学生（三种语言：自然语言、符号语言、图形语言）趣味：上出有趣味的课来目前课堂教学现状忽视数学知识产生和发展过程轻引入重应用教辅用书代替教材做题代替了教学设计（或者说备课）什么是数学？数学就是老师在课堂上做题我模仿。让学生沉浸在你特有的课堂中课堂上教师的个性特点，正是教师自身智慧的结晶，充满个性特点有意义的课堂不仅是教师的课堂，而且也是学生的课堂，是教师和学生的共同精彩！教师安心地走进自己的课堂，像居家过日子一样，关注教育的过程、评价、环境、管理等内在的教育的一切方面，慢慢地一点一点地进行教学“加工”，一点一点地进行感悟和反思。正是这样的一点一点，才是谁也复制不了的你的独特的课堂。让教师上出自己的课来，课堂因你的个性而深远。案例1：对数（第一课时）（人民大学附中陈军老师，数学通报2010年第6期）（这节课的概念性较强，内容杂，不易提炼教学主线，要使这节课学生感到有趣味有一定的难度）这节课的教学过程如下：1.概念引入1.1借助类比感受引入对数概念的必要性加法：, 减法：乘法：，除法：乘方：，开方：指数：，（通过与已知互逆运算的类比，感受引入对数概念的必要性）1.2通过特例感受引入对数概念的意义，所以；，所以；，所以；，所以由指数函数图象和性质可知，这样的唯一存在.2.概念讲解2.1定义概念定义：若，则2.2概念解读读法：以为底，的对数写法：格式四线三格概念：式子名称指数式底数指数幂值对数式底数对数真数符号：与“”是开方符号类似，“”是一个对数符号，是一个整体.由对数与指数的关系可知，对数的真数必须大于，底数必须互化：指数式与对数式是一个式子的两种变形写法，是等价的，可以互化.3.巩固概念3.1互化练习 感知对数概念若，则；若，则；若，则；若，则3.2近似计算 引入特殊对数通过解决引例问题和使用计算器，引出常用对数和自然对数，所以常用对数：自然对数：渗透数学史不可思议的4探究发现4.1 回扣指数 理解对数利用指数，求下列对数的值(1) ; (2) ; (3) ;(4) ;(5) ;(6) ; (7) ; (8) ；(9) ;(10) ;(11) ;(12) 4.2 归纳特殊 发现一般规律探究内容：对上面的练习，进行观察归纳，探究“发现”一般规律；探究要求：提炼出“同类”的题目总结出一般性的结论举例验证理论证明（本节课不完成）探究过程：在个人思考的基础上，与周围同学交流，教师在学生中巡视，随时让学生把自己发现的结论写在黑板上探究结果：（可能有下列结论）;底数时,若真数,则对数;若真数，则对数；等设计意图：培养学生探究意识和科学的探究方法，提高归纳总结的能力4.3交流总结 学习科学方法对式总结4.4类比深化 体验成功喜悦发现问题：类比联想：类比发现：（感受数学的对称美）类比证明：因为，所以5.课堂小结6.布置作业这节课的趣味，主要是陈老师注重利用数学知识的内在联系与相互转化设计教学过程，引导学生开展类比、归纳、概括等思维活动，使学生体验探究的过程和方法，提高他们运用“类比”和“归纳”发现数学规律的意识.准：准确准确课堂教学目标定位要准确案例2：函数的零点（摘自江苏省某个四星级高中教学公开课教案)教学目标：知识与技能：（1）理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程之间的关系，掌握零点存在的判定条件；（2）培养学生的观察能力；（3）培养学生的抽象能力。过程与方法：（1）通过观察二次函数的图象，并计算函数在区间端点上的函数值之积的特点，找到连续函数在某个区间上存在零点的判断方法；（2）让学生归纳整理本节所学知识。情感、态度与价值观：在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值。为了明确“了解”、“理解”的意义，普通高中数学课程标准（实验）中给出了相应的行为动词。“了解”是“体会、知道、识别、感知、认识、初步了解、初步体会、初步学会、初步理解，求”。“理解”是“描述、说明、表达、表述、表示、刻画、解释、推测、想像、理解、归纳、总结、抽象、提取、比较、对比、判定、判断、会求、能、运用、初步应用、初步讨论”。函数的零点的教学要求是怎样的？我们来看看普通高中数学课程标准（实验）的要求：“结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系”，江苏省普通高中数学课程标准教学要求的要求：“了解二次函数的零点与相应的一元二次方程的根的联系”。基与此，“知识与技能”中目标要求，都是高于两个要求内容。过程与方法基本体现了要求，但有一些抽象感觉。如“观察函数图象”时，观察什么？“函数值之积的特点”，这里的特点的含义是什么？“归纳整理本节所学的知识”怎样归纳、整理？哪些内容要进行归纳、整理？归纳、整理要达到什么程度？如果我们去掉这个课题来看看呢？是不是把它用于函数与方程整个章节内容的教学中都是适合的？ 请大家看一下教育和心理的测量与评价原理（美国：吉尔伯特萨克斯）一书中的几个简例： 1.不借助笔记，准确无误地背诵葛底斯堡演说。 2.在无时间限制的前提下，能够正确解答8到10个给定的一元二次方程的求解问题。 3.凭记忆用长笛演奏“牧场”，比上次演奏时的错误至少减少30%。 再看一下吉尔伯特萨克斯列出的几个教学目标，每个教学目标所使用的动词（“背诵”、“解答”、“ 演奏”）都是可观察到的反应，因此，其表现是一种行为，并且这些行为的条件限定得很具体（“不借助笔记”、“无时间限制、给定的一元二次方程”、“凭记忆”）,同时也有掌握的最低水平（“准确无误”、“8到10个”、“比上次演奏时的错误至少减少30%”）。 两项比较，已经可以感受到区别所在了。在此可以给出“函数的零点”的一个教学目标（个人意见，仅供参考）。“函数的零点”的教学目标：经历二次函数的零点的概念的形成过程：从特殊的二次函数的图象与轴的交点个数，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解二次函数的零点与一元二次方程根的联系。经历函数的零点的概念的形成过程：由二次函数零点的概念来了解函数零点的概念，并了解函数的零点与对应方程根之间的关系。经历由图形连续变化的趋势来判断零点是否存在的过程：由特殊的二次函数图象的变化趋势，了解二次函数在某个区间上是否存在零点的条件，进而了解函数在某个区间上存在零点的条件。准确课堂教学设计要准确案例3 求函数的值域（一位骨干教师的公开课）学生是刚升入高一年级的学生这节公开课主要教学过程如下：上课开始后老师直接请学生思考问题1：作出下列函数的图象，并求其值域（1）；（2）；（3）；（4）老师在学生思考一段时间后，和学生一起分析画图得出结论。接着，老师给出问题2：求下列函数的值域。（1）；（2）老师请学生回答自己的解题过程学生1：和问题1的解法一样，作出它们的图象。可是它们的图象我作不出来许多同学想法和学生1一样(此时，教室里很安静，许多同学都楞在那里了)老师说，只要把函数的图象向右平移1个单位就得到的图象了。（老师一边说一边画图）图象平移过程中函数的值域没有发生变化，所以它的值域也是讲完后，老师又让学生求2个函数的值域：（1）；（2）老师请了2位学生回答，都回答不会做。老师看见是这样情况，于是就一边讲一边说，在黑板上写到：（1），又所以值域是（2），所以值域是根据刚才讲的3道题，老师给出求函数的值域的一般方法：分离参数法，只要象上面3道题那样分解变换就可以求出值域了对于，只要通过换元，设，又，这样就可以把化为，用分离参数法把化成，所以值域是到此后，老师给出问题3：求下列函数的值域：（1）；（2）（3）老师提醒学生用换元方法求设；。学生做了2分钟后，老师进行讲评老师讲完前面2个小题时，下课时间到了下课后上课老师的体会：课后，上课老师谈了这节课的课时设计。他说，本节课我想通过几个问题的讨论，使学生掌握用图象法求函数值域具体过程中，在学生已经掌握一次函数、二次函数的基础上，重点讨论分式函数，把分式函数转化为反比例函数，用反比例函数的图象求分式函数的值域同时，也想让学生学会用换元法把一些问题转化为一次函数或者二次函数，通过一次函数或者二次函数的图象来解决问题在谈到上完这节课后的体会感想时，他说，整体感觉比较好，学生应该会求分式函数值域了，至于用换元法，学生也应该有一定的认识了下课后与个别学生的交流：一下课，我就随机找了10位学生（全班有42位学生）交流这节课的感受。这10位学生的感受概括起来有这四个方面的意思：（1）我有些听懂老师讲的，但我自己可能还是不会做题；（2）初中时反比例函数我学的还好，但需要把它图象进行变换，怎样进行变换，我没有搞清楚；（3）为什么要进行换元，什么时候需要换元，我没有搞清楚；（4）我只是清楚问题1怎么做，后来的几个问题，尽管老师讲了，我还是不会课堂教学设计应是普通高中数学课程标准（实验）要求的具体体现 普通高中数学课程标准（实验）明确给出“会求一些简单函数的定义域和值域”，这里的简单函数在江苏省普通高中数学课程标准教学要求也给出了界定：求简单函数的值域中，简单函数指下列类型的函数：。由此可知，求函数值域的时候，解决这些类型的简单函数的值域，就已经很好的体现了课程标准的要求从这点来看，这节公开课就没有按照课程标准要求去组织教学，上课老师对课程标准的要求还不清楚，他可能只是按照老的习惯、旧的观念组织教学，不明白“在教学中，应强调对函数概念本质的理解，避免在求函数定义域、值域及讨论函数性质时出现过于繁琐技巧训练，避免人为地编制一些求定义域和值域的偏题” 学情分析应是课堂教学设计的前提图像法是求函数值域的基本方法之一关键是学生对作函数图象究竟了解多少？初中学习时，学习过一次函数、二次函数、反比例函数这三个函数的概念，了解了怎样作出这三个函数的图象，特别的，学习一次函数、二次函数图象时，也知道了图象的简单平移（左右、上下）而学习反比例函数时，只是了解形如（是非零常数）的图象，并没有学习形如（是非零常数）的图象在本节课的教学过程中，问题1（3）和（4）学生还能够作出图象的话（可以仿照问题1（2），对问题2中的两个问题，尤其是第2个问题，学生根本就不会作出它的图象尽管学生自己知道只要作出它的图象就可以求出来它的值域了从这个角度看，本节课教师的课堂教学设计表明教师本身对初中相关的教学要求不了解，问题的设计脱离了学生学习的实际从教学有效性角度看，本节课的教学效果低下准确的目标定位是有效教学的前提教学目标是教师设计的学生的学习结果，因此凸现着教师教学对学生的要求，作为学生学习的结果，这种要求必须非常明确，便于学生达成从本节课的教学实际来看，全课的教学目标还是比较明确的，即用图象法求函数的值域但在具体教学过程中，这个目标教学的定位没有贴近学生的实际因为学生在作函数图象上有一定的困难，这个困难不解决，这节课的教学目标就不能实现课堂教学过程中，教师应在着力帮助学生了解和掌握数学基础知识与基本技能的同时，通过数学探究的思想，注重发展学生能力更应站在学生角度换位思考，精心设计教学过程，真正关注“知识与技能、过程与方法、情感态度和价值观”三维目标的有机统一学生活动的设计应该是教学设计的重要组成部分对学生的学习而言，重要的是在数学活动过程中，掌握数学基础知识与基本技能只有活动，才能为学习提供动力，才能进行数学知识的建构。而学生活动必须围绕问题展开，学生活动应该贯穿于学习的整个过程从课后与四位学生的谈话来看，这节课的学生活动的设计体现在哪里？如果就这四位学生而言，他们的活动只是在看教师不断的展示自己，而他们自身的活动什么都没有，更谈不上在数学学习过程中体会数学带给自己的乐趣。他们得到的感受只是，我不知道怎么办这样的缺少真正意义上的学生活动的教学设计，又有什么价值呢？基于学生活动的教学设计应该是这样的教学过程：学生通过数学活动，发现了什么问题？新的问题与自己已经有的知识结论之间有什么样的联系？是什么因素把它们联结起来的？是什么方法导致你的发现的？更进一步的学生活动境界，应是促使学生在数学活动中，自觉地学会反思。正如弗赖登塔尔所说“反思是数学活动的核心和动力”、“以反思为核心，才能所学生真正深入到数学化过程之中，也才能抓住数学思维的内在实质”改善学生的学习方法是学法指导的根本任务普通高中数学课程标准告诉我们：“数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程”、“丰富学生的学习方式，改进学生的学习方法是高中数学课程追求的基本理念”方法指导是“以学生为主体”这一现代教育观念的具体体现，学习方法的知识是学生知识体系的重要组成部分，也是能力结构的重要组成部分学习方式的改善意味着教师教学观念的改变，必须根除学生整天处于被动应付、机械训练、死记硬背、简单重复的现象和做法就本节课来看，整个教学过程，显示出学生对所学的知识生吞活剥、一知半解、似懂非懂，学生在学习方法上没有得到如何指导或者提高也体现出教师忽视了学生的学，没有把指导学生的学摆在应有的位置这是导致学生数学学习困难、成绩较差、效率低下的重要原因之一 改进后的教学设计 一、提出问题 问题1 先画出下列函数的图象，再求出每个函数的值域：（1）； （2）二、探究（说明研究的基本思路）问题2 求出下列函数的值域：（1）（其中是正实数）； （2）通过讨论，解决问题2-利用换元法可以转化为一次函数或者二次函数具体是（1）；（2）（设计思路：在学生自己解决问题1后，给出问题2，学生的思路一般仍然是想作出图象这两个函数的图象究竟这样作出来呢？这对于学生来说有一定的思考价值同时，在方法上引导学生去思考，这个新的问题与自己熟悉的知识怎样进行联系起来？）问题3 求函数的值域（设计思路：通过问题2的讨论，在方法上学生理解并掌握了通过用换元法，把新的问题转换成了自己已经熟悉的知识适时的给出问题3，一下子把学生的思维从一次或二次函数中跳出来了，增强了学生思维量从而使学生又投入到想解决这个问题的活动中去）启发讨论，解决问题3，拓展延伸-具体是（1）是一次或二次函数吗？（2）是反比例函数吗？（3）可以转化为反比例函数吗？（4）它的图象与函数图象有关系吗？如果有，是怎样的关系呢？（5）函数图象与函数图象有关系吗？如果有，是怎样的关系呢？（6）你能给出函数的值域吗？（7）你能给出函数的值域吗？（8）如果是函数（是常数，且）呢？三、数学理论图象法是求函数值域的基本方法之一四、反思怎么想到用换元法的？函数图象平移（左右、上下），用过吗？函数图象左右平移改变函数什么呢？如果是上下平移呢？以前的学习中用过类似换元法的数学方法吗？精：精心精心精心准备和学生每一次个别交谈开学不久，精心准备和每一位学生个别交流一次目的：一是了解学生学习数学的能力和习惯；二是结合学生个体情况，提一些思想上和方法上的建议精心精心布置和批改每一次作业课本习题与教辅材料批改作业就像和学生个别交流一样给学生留一些思考的空间精心精心组织每一次数学问题讨论活动某种程度来说，问题是数学课堂的核心问题解决案例4：（必修4）“大风车”问题思考1：是的函数吗？思考2：为什么宜先建立坐标系，再求函数关系式？思考3：是否只能用模型来描述“大风车”？思考4：你能改变问题情景，使“大风车”函数模型更贴近生活吗？思考5：你能使用数学知识，使函数模型能更生动地描述“大风车”的运动过程吗？学生不只是听讲和盲从，而是要有自己的思考和参与探索案例5：求角的大小已知，求的值这个案例的教学是教师“灌输”的典型例子，学生的思维完全有老师掌控，许多关键点、难点都是老师在自说自话，老师的许多问题都是自问自答.在研究的范围时，老师一再缩小范围，为的是答案唯一.我问边上的学生“”这个角为什么就不能有两解？”，学生回答说：“老师这么说的” .当老师一而再，再而三地提出“范围还要缩小”的时候，你老师有没有想过“学生会这样想吗？”在老师“灌输”下，学生自己分析问题、解决问题的能力没有机会得到发展，思维能力也得不到培养，学生的质疑能力也大大下降，更谈不上创新能力！问题的设计要体现不同层次的教学目标案例6：已知:，求证：1.基本知识纬度的目标设计方案1：（1）复习分析法证明不等式的基本思想；（2）采用分析法证明该问题；（3）能用分析法处理相关练习。此目标设计方案定位于基本知识分析法证明不等式。目标（1）、（2）、(3)呈递进式推进，逐步实现本例的教学目标.2.思维能力纬度的目标设计方案2：（1）复习证明不等式的有关方法；（2）能自主探索多种方法证明该问题。（如：分析法、三角换元法、几何法等）（3）能选择恰当的方法处理类型相关的问题.此目标设计方案定位于基本能力数学思维能力中的证明方法发散能力的培养。在实际教学过程中，以教师的引导为辅，学生的自主尝试学习为主，逐步推进教学进程，实现教学目标.3.探究能力纬度的目标设计方案3：（1）出示探究性问题。通过自主探究、教师引导，学生能归纳出例题中的命题，并能给出代数方法的证明.例：设，能否得到一个关于的不等式，并归纳出一个命题：,根据,得到.一般地，有：设，那么，且.（2）变更命题的条件，探究结论是否仍然成立？ 条件“”改为“取任意实数”呢？,根据,得到。设，那么，且. 将条件弱化，可以得到什么结论？,根据,得到。设，那么，且.将条件进一步弱化，设，又得到什么结论？结论是：（3）在教师引导下，自主探究推广命题 得，再根据，得到. 猜想： 如果，那么 如果，那么有此目标设计方案定位于学生的探究能力的培养.在探究过程中通过归纳、证明、猜想等手段培养学生的探究意识，从而实现教学目标.4.应用能力纬度的目标设计方案4：（1）学生在教师创设的问题情境下，通过数学建模活动，建立不等式模型，再利用特殊值找到例题中的命题；（2）在教师的引导下，学生能用不同的方法证明该问题.问题情境：两个村庄位于河的同侧，现要在河边修建一个抽水站。为了节约资金，要使输水管的长度最节省，问抽水站应当设在河边的什么位置？数学建模活动：设，则，根据，得.当取一些特殊值，可以得到： 当时，有（就是例题） 当时，有.督：督导 督查督导从细节处着手培养学生良好的学习习惯1.培养学生积极主动上课的习惯 学生在课堂上要做到“四到”：心到、眼到、口到、手到. 老师要“四指导一鼓励”：指导学生课前准备好学习用品，特别是笔和草稿纸；指导学生如何记课堂笔记。各学科的具体情况不同，不一定要求统一有课堂摘记本，可以记在书上或在书上划出重点；不要全抄，要有选择、有针对性地记重点，记关键点、记提纲；指导学生及时动笔演算或做摘记；指导学生养成仔细观察的习惯；鼓励学生大胆自信地大声回答问题，鼓励学生主动发表自己的见解.2.培养学生规范作业的习惯作业上，老师要注重指导学生养成先复习巩固再作业、先审题后解答、多独创少模仿的良好作业习惯.在作业形式、格式要求、上交办法、检查批改要求、记分办法、订正讲评等方面形