§3.5 条件分布与条件期望.ppt

对二维随机变量(X, Y), 在给定Y取某个值的条件下, X的分布; 在给定X取某个值的条件下, Y的分布.,3.5 条件分布与条件期望,在第一章中，我们介绍了条件概率的概念 .,在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率,推广到随机变量,设有两个r.v X,Y ， 在给定Y取某个或某些值的条件下，求X的概率分布.,这个分布就是条件分布.,3.5.1 条件分布,例如，考虑某大学的全体学生，从其中随机抽取一个学生，分别以X 和Y 表示其体重和身高则X和Y都是随机变量，它们都有一定的概率分布,体重X,身高Y,体重X 的分布,身高Y 的分布,现在若限制1.7Y1.8(米)，在这个条件下去求X的条件分布，这就意味着要从该校的学生中把身高在1.7米和1.8米之间的那些人都挑出来，然后在挑出的学生中求其体重的分布,容易想象，这个分布与不加这个条件时的分布会很不一样,例如，在条件分布中体重取大值的概率会显著增加,一、离散型r.v的条件分布,实际上是第一章讲过的条件概率概念在另一种形式下的重复.,定义1 设 (X,Y) 是二维离散型随机变量，对于固定的 j，若P(Y=yj)0，则称,为在Y=yj条件下随机变量X的条件概率函数.,P(X=xi|Y=yj)=,类似定义在 X=xi 条件下，随机变量Y 的条件概率函数.,作为条件的那个r.v，认为取值是给定的，在此条件下求另一r.v的概率分布.,例如：,例3.5.1 设二维离散联合概率分布列如下：,“给定X时，Y的条件分布”:,P(Y=1|X=1)=,P(Y=2|X=1)=,P(Y=3|X=1)=,0.1/0.6=1/6,0.3/0.6=1/2,0.2/0.6=1/3,P(Y=1|X=2)=,P(Y=2|X=2)=,P(Y=3|X=2)=,0.2/0.4=1/2,0.05/0.4=1/8,0.15/0.4=3/8,“给定Y时，X的条件分布”:,P(X=1|Y=1)=,P(X=2|Y=1)=,1/3,2/3,P(X=1|Y=2)=,P(X=2|Y=2)=,6/7,1/7,P(X=1|Y=3)=,P(X=2|Y=3)=,4/7,3/7,例3.5.1 设二维离散联合概率分布列如下：,例3.5.2 设 XP(1)，YP(2)，且X与Y相互独立. 在已知X+Y=n的条件下，求X的分布，即 P(X=k|X+Y=n)=?，k=0,1,2,n(n是给定的，所以X值不能超过n),解: 由例3.2.2 有,X+YP(1+ 2).,注意: X与Y相互独立，但X与X+Y不相互独立,k=0,1,2,nX 的条件分布是二项分布: b(n, 1/(1+ 2),二、连续型r.v的条件分布,设(X,Y)是二维连续型r.v，由于对任意 x, y, P(X=x)=0, P(Y=y)=0，所以不能直接用条件概率公式得到条件分布，下面我们直接给出条件概率密度的定义.,定义2 设X和Y的联合概率密度为 p (x,y)，,边际概率密度为 ，则对一切使,的x , 定义已知 X=x下，Y 的条件,密度函数为,同样，对一切使 的 y, 定义,为已知 Y=y下，X的条件密度函数 .,我们来解释一下定义的含义：,将上式左边乘以 dx , 右边乘以 dxdy/dy 即得,以,为例，,换句话说，对很小的dx和 dy，,表示已知 Y 取值于y和y+dy之间的条件下，X 取值于x和x+dx之间的条件概率.,运用条件概率密度，我们可以在已知某一随机变量值的条件下，定义与另一随机变量有关的事件的条件概率.,定义在已知 Y=y下，X的条件分布函数为,特别，取,即: 若(X,Y)是连续型r.v, 则对任一集合A，,例3.5.3 设(X,Y)N(1,2,12,22,)，试求两个条件密度函数,解:由例3.1.7知X与Y 的边际分布分别为N(1,12)与N(2,22)于是在Y=y下，X 的条件密度为,这正是正态分布,类似地在X=x下，Y 的条件分布为,在Y=y下，X 的条件分布为,因此,二维正态分布的条件分布仍为正态分布.,前面，我们已经知道，二维正态分布的两个边际密度仍是正态分布.,例3.5.4 设(X,Y)服从单位圆上的均匀分布，概率密度为,解：X的边际密度为,当|x|1时，有,即 当|x|1时，有,X作为已知变量,这里是Y的取值范围,X已知下Y的 条件密度,我们已经知道，,设 (X,Y)是连续型r.v，若对任意的x,y，有,则称X,Y相互独立.,由条件密度的定义：,可知，当X与Y相互独立时，,也可用此条件判别二维连续型r.v(X,Y)的两个分量X与Y是否相互独立.,对离散型r.v有类似的结论,三、连续场合的全概率公式和贝叶斯公式,以二维连续型为例，确定联合分布有三种途径:,(1)根据实际背景和实际数据归纳而得p(x,y).,如，1.在瞄准目标射击中弹着点的坐标(X,Y)是二维 随机变量，其联合密度可用二维正态分布. 2.当(X,Y)只能在平面上某个有限区域S上取值，但 又看不出在哪个部分上取值的可能性更大一些时, 可用区域S上的均匀分布来表示其联合分布.,(2)由独立性得p(x,y)= pX(x)pY(y).,(3)由条件密度函数定义有,p(x,y)= pX(x) p(y|x)， p(x,y)= pY(x) p(x|y),或,全概率公式的密度函数形式:,贝叶斯公式的密度函数形式:,例3.5.5 设XU(0,1)，x是一个观察值又设在X=x下Y的条件分布是U(X,1)这两个均匀分布的密度函数分别为,求(X,Y)的联合密度p(x,y)和Y的边际密度pY(y) 及P(Y0.5).,解：,3.5.2 条件期望,定义3.4.1 条件分布的数学期望称为条件期望:,其中P(X = xi | Y = y)为在给定Y = y下X的条件分布列， p(x | y)为在Y=y下X的条件密度函数,注意：条件期望E(X | y)与(无条件)期望E(X)的不同含义,例:若X表示中国人的年收入，则,若用Y表示中国人受教育的年限，则,E(X)只有一个，而E(X|y)根据Y的取值范围可有很多个， 一般E(X|y)是y的函数，随y值变化.,E(X|y)表示:,受过y年教育的中国人群中的平均年收入.,E(X)表示:,中国人的平均年收入.,又如：若X表示中国成年人的身高，则E(X)表示中国成年人的平均身高若用Y表示中国成年人的足长，则,E(X|y)表示:,足长为y的中国成年人群的平均身高.,我国公安部门研究获得:,E(X|y) =6.876y,一案犯在保险柜前留下足印，测得25.3厘米，代入上式得案犯身 高大约在174厘米左右.,注意:条件期望E(X|y)与 (无条件)期望E(X)的不同含义.,例3.5.6 设(X,Y)N(1,2,12,22,)，在例3.5.3中已求得给定Y=y下X的条件分布为正态分布:,条件期望具有数学期望的一切性质，如:,(1),(2) 对任一函数g(X)，有,定理3.5.1 (重期望公式)条件期望的期望就是(无条件)期望，即 EE(X|Y) = E(X) .,证: 在连续场合,在离散场合,重期望公式具体如下：,解: 设X为该矿工到达安全地点所需时间(单位:小时) ,Y为他所选的门，可能取值1,2,3需要求E(X),由定理3.5.1利用E(X)=EE(X|Y)计算.,例3.5.7 一矿工被困在有三个门的矿井里第一个门 通一坑道，沿此坑道走3小时可使他到达安全地点； 第二个门可使他走5小时后又回到原处；第三个门可 使他走7小时后也回到原地如设此矿工在任何时刻 都等可能地选定其中一门，试问他到达安全地点平均 要用多长时间?,E(X)=EE(X|Y) =E(X|Y=1)P(Y=1) + E(X|Y=2)P(Y=2) + E(X|Y=3)P(Y=3),其中 E(X|Y=1)=3, E(X|Y=2)=5+E(X), E(X|Y=3)=7+E(X),P(Y= y1) = P(Y= y2) = P(Y= y3)