毕业设计（论文）-道路立交平面线形拟合优化程序设计.docx

题 目 道路立交平面线形拟合优化程序设计 交通学院 院（系） 道路桥梁与渡河工程 专业学号21711207姓名指导教师起止日期2015.2 2015.6设计地点东南大学四牌楼校区交通学院东南大学毕业设计（论文）报告道路立交平面线形拟合优化程序设计摘 要随着近年来我国公路建设的不断发展，截至2014年底，我国公路总里程已经达到446.39万千米，高速公路里程达到11.19万千米，居于世界第一位。然而，从另一角度来看，这也预示着大量的道路和道路立交由于自然因素、设计因素、施工因素等影响而导致路线受损，需要尽快进行老路改建或扩建。在这种情况下进行改扩建工程，由于道路的损坏导致路线的参数的变化，则不能完全使用原有的设计资料。因此，获取当前道路立交的平面线形资料，对于实施改扩建工程具有至关重要的意义。道路立交平面线形拟合的关键在于选取合适的线元识别方法以及拟合算法。公路立交和城市立交主要由直线、圆曲线和缓和曲线三种线形构成。在线形识别层面，国内外的主要判别方法有曲率弧长判别法、斜率判别法。在曲线拟合算法的选择上，国内外一般有如下几种方法：拉格朗日插值法、分段多项式插值法、样条曲线法和最小二乘法。本文在综合考虑以上各方法的优缺点的基础上，选出最合理高效的算法完成相关程序代码的编写。研究的相关内容如下：（1）通过读取txt文件，程序导入道路中桩采样点的相关数据，如桩号、X坐标、Y坐标等，利用五点圆曲率公式得出各点的曲率半径，完成线元类型的初步判断。（2）通过最小二乘法完成对直线段和圆曲线段中桩点的坐标处理，得到直线段和圆曲线段的相关参数资料。当直线与圆曲线的相对位置及参数确定时，其间的缓和曲线段则可唯一确定。（3）为了减少线元类型判断造成的道路中心点的归属误差，利用缓和曲线的相关性质，通过模式法的迭代算法得出总体偏差最小的缓和曲线端点位置，完成线元类型的最终判断，从而有效的提高了中桩点线元分类的精确度。（4）完成了基于AutoCAD的道路立交平面线形拟合程序，该程序是在VC2005环境下采用AutoCAD的二次开发技术ObjectARX完成的相关算法和图形绘制，该程序能够自动读取道路中心线相关参数得到拟合最优解并完成CAD下的平面成图，相关实际工程的应用可以得出其算法的精确性和高效性。关键词：立交；线元识别；线形拟合；最小二乘法；模式法.50.东南大学毕业设计（论文）报告interchange plane linear design fitting programming optimization AbstractWith the continuous development of Chinas highway construction, as of the end of 2014, Chinas total highway mileage has reached 446.39 million meters, expressway mileage of 11.19 km. However, from another perspective, this also indicates that a large number of roads and interchanges need for renovation or expansion due to natural factors, design factors or construction factors, etc. In this case, we can not fully use the existing design information because of the changes in the parameters of the route. Therefore, to obtain information on the current road interchange horizontal alignment plays a vital role in the implementation of the expansion project.The key to fit the plane alignment of Road interchange is to select the appropriate line element identification method and fitting algorithm. Highway and interchange are mainly composed of three kinds of linear: linear, circular curve and moderate curve. In the form of line recognition, the main method of domestic and foreign is curvature arc length discrimination and slope discrimination method. In the choice of curve fitting algorithm, there are several methods: Lagrange interpolation method, piecewise polynomial interpolation method, spline curve method and least square method. In this paper, the most reasonable and efficient algorithm is to compile the appropriate program code. The relevant contents of the study are as follows: (1) Program imports road datas through the txt file, such as the pile number, coordinates x, y coordinates. By using five point circle curvature formula, the paper completes the preliminary judgment of line element type.(2) The relative parameters of the the straight line segment and the circular curve segment is obtained by the least square method. When the position of the straight line and the circle curve is determined, the spiral curve section can be determined, (3) To reduce the line element types attribution errors, the program, through properties of spiral curve and the pattern algorithm, complete the final judgment of line element types, so as to effectively improve the line element classification accuracy.(4) Road Interchange plane linear fitting program is completed. The program is in vc2005 environment using AutoCAD secondary development technology of ObjectARX to complete the related algorithms and graphics rendering. This program can automatically read the road center line parameters, obtains the best fitting solution and complete the CAD planar graph.KEYWORDS: Interchange, Line element identification, Line element fitting, least square method, Pattern mehod.东南大学毕业设计（论文）报告目录道路立交平面线形拟合优化程序设计I摘 要IABSTRACTII第1章 绪论11.1 研究背景和意义11.2 国内外研究现状21.2.1 线形拟合技术的国内外情况21.2.2 道路CAD技术的国内外情况31.3 主要研究思路与内容4第2章 平面线形构成及曲线拟合方法62.1 平面线形类型及构成62.1.1 平面线形基本概念62.1.2 平面线形组合82.2 曲线拟合方法102.2.1 插值和逼近102.2.2 曲线拟合方法简介102.2.3 曲线拟合方法分析122.3 AutoCAD二次开发技术132.3.1 ObjectARX的原理132.3.2 ObjectARX目录结构132.3.3 AutoCAD数据库142.3.4 Visual Studio 2005142.4 本章小结15第3章 基于最小二乘法及模式法的线元拟合163.1 基于最小二乘法的线元拟合163.1.1 最小二乘直线拟合模型163.1.2 最小二乘圆曲线拟合模型163.1.3 线元的初步识别173.2 基于模式法的缓和曲线参数确定203.2.1 直圆模式213.2.2 双圆模式223.3 基于目标评价函数的线形优化243.3.1 目标评价函数243.3.2 拟合优化253.4 本章小结26第4章 程序分析274.1 程序概况274.1.1 程序运行环境274.1.2 程序主要思路流程274.1.3 主要函数的功能介绍294.1.4 AutoCAD下成图功能的实现304.2 实例分析314.2.1 道路中桩点测量方式314.2.2 程序界面及命令314.2.3 数据预处理324.2.4 拟合实例324.2.5 拟合误差分析374.3 本章小结40第5章 研究结论与展望415.1 研究结论415.2 展望41参考文献43致谢45附录A 程序主函数46东南大学毕业设计（论文）报告第1章 绪论1.1 研究背景和意义公路运输是我国交通运输中重要部分，在当今的运输系统中起着至关重要的作用。公路与国家的经济发展和社会发展有着重要的联系，一条公路可以带动沿线城市的发展促进城市与城市之间的联系，而整个公路网则更是影响着国家的社会经济发展的发展。相比于其他运输方式，公路运输虽然不如铁路、水运的客货运量大，不如空运的快捷，但是从综合角度考虑，公路运输有着相对较快的运输速度，受天气地形的限制影响较小，且更灵活机动，因此，公路运输仍然是性价比最高的一种运输方式。从改革开放以来，我国一直致力于公路的建设，目前公路网络已形成规模，公路网的建立对区域之间的经济、文化的交流，资源的流通都带来了极大的便利。到2014年底，全国的公路总里程已达到446.39万公里，其中高速公路里程11.19万公里1，位列世界公路里程第一位，是建国初期公路里程的56倍，且公路质量也得到了质的飞跃。交通运输“十二五”发展规划中表明，全国高速公路里程将在2015年达到10.8万。目前，我国实际高速公路里程已超过该数字，按照每年高速公路新通车里程0.8万公里计算，预测到2015年年底，全国范围内高速公路通车的总里程将超过12万公里。由于早期的公路建设受到当时的技术水平、经济水平以及施工水平的限制，高速公路路幅较窄，多以双向四车道为主，其他公路多以较低等级或者等外公路为主。然而随着人类生活水平的不断提升，以及国民经济的不断发展，我国的人均汽车保有量以及国民的出行频率及范围不断提高，这些公路已经无法适应如今的交通量需求，由此引发出各种各样的交通问题：如通行能力不足带来的交通拥堵、行驶速度过慢，道路质量不高带来的道路损害，路基沉降。这样的道路已经不能满足快捷、高速的公路要求，并且极大可能给行车安全带来隐患。近几年，我国大力发展公路建设，国家的初步交通骨架已经形成，公路建设的增长日趋缓和。尤其是在交通发达的地区，土地资源稀缺，不可能全部新建公路来满足交通需求。并且，继续大规模新建公路耗费大量的人力物力，且施工周期较长，无法在短时间内适应日益增长的交通需求。因此，改扩建公路成为一种成本较低、可行性高、时间短的方式。相比于新建公路来说，旧路的改扩建将节省大量的土地资源，而且原有道路的路面结构可以作为新建公路的路基结构层使用，大大节省了施工的成本。相比于新建公路来说，老路的改扩建对周边的自然环境以及居民的生活影响较小，更加环保。老路的改扩建可以改善目前道路通行能力无法适应交通需求的现状，然而在实际的工程中存在这样的问题，即由于旧路的设计年代过于久远，而当时的技术标准以及施工水准可能无法适应如今的公路工程的水平，因此相关的设计数据无法继续使用，并且由于年代久远，许多公路的设计资料已经缺失遗漏，给改扩建工程带来一定的难度。随着GPS以及全站仪等技术手段的普及，在进行旧路改造时，可以使用测量技术获得道路的平纵横数据。用一条连续光滑的曲线逐个的通过或最大范围内的逼近已知的离散数据点，并获得其坐标间的函数关系的数学方法称作曲线拟合。曲线拟合的方法最早出现于制造业领域，对于道路线形的拟合，还未出现特别理想的解决方法。就研究领域来看，其解决方法主要从数学角度出发，但工程实际中常常无法直接应用。目前市面上已出现相关拟合软件，但并未很好解决其拟合精度不高的问题。尤其是在立交的拟合层面，由于道路立交的线形复杂性，有大量圆曲线和缓和曲线，给线形的拟合带来了很大的麻烦。综上所述，本文研究意义总结如下：一、 对于旧路的改扩建工程中，本文的结论可以有效指导平面线形拟合的优化分析并进行恢复；二、 针对立交道路中较为复杂的曲线类型，可以有效恢复道路立交中圆曲线和缓和曲线的组合。1.2 国内外研究现状随着公路工程领域计算机辅助设计技术的不断发展，道路计算机辅助技术已经成为公路工程设计中不可或缺的重要部分2，其计算及成图的快速性、稳定性、高效性，大大节省了设计过程中的人力劳动，简化了工程设计中的复杂的计算和繁琐的分析。从上世纪六十年代出现道路设计软件的开始，随着计算机的不断改进，各种各样的公路设计软件出现并广泛应用于设计领域。然而，在很多重要的设计部分，计算机软件还无法完全代替人工，这也给道路计算机辅助设计软件留下了极大地上升和发展空间。在道路立交线形拟合的研究层面，相关的研究情况大致可以分为两类：其一是从数学理论的方面来研究，线形的组合可以看作是直线、圆曲线、缓和曲线的随机组合，可以利用其相应的数学几何关系来进行分析研究。而关于曲线的拟合，可以引用相关的数学概念进行分析研究，如最小二乘法、插值函数、样条曲线的概念，将几何线形转化为数学语言，简化了分析的难度。其主要强调算法的精确性和实际应用能力。其二是从工程实际角度出发，线元的分类和拟合考虑工程实际的应用，其研究的重心主要在于算法的精度和工程中应用的高效性。1.2.1 线形拟合技术的国内外情况国外在线形识别领域起步较早，其中主要的几种方法包括Cesar A.Quiroga提出的曲率弧长识别法3、Thapa K提出的斜率识别法4和Bossler J提出的综合识别法。（1）曲率弧长识别法该方法的思路是，判断距离起点长度为l处的曲率为P(l)，公式为P(l)=kl+b，通过确定曲率的数值来进行采样点所属线元的分类判别。判别方法如下：当P(l)=0时，该曲线为直线；当k与b都不为0，且P(l)为定值时，则表明该曲线段为圆曲线；当k与b都不为0，且P(l)不为一固定值时，则表明该曲线段为缓和曲线。（2）斜率识别法斜率识别法是基于中线采样点坐标来进行判断以获取采样点所属线元类型的判别方法，它主要通过相邻点的斜率变化来判断采样点属于何种线元类型，该方法原理上较为简单，但是精度不高易造成误差。（3）综合识别法综合识别法56是基于中线点的坐标，利用数学模型如样条曲线法7、最小二乘法8、插值函数等进行拟合，得到一条满足约束的曲线，然后沿前进方向求间隔点的曲率得到长度和曲率的关系图，根据曲率形状利用平面线形要素对拟合曲线进行处理得到平面线位图。以下为不同函数模型的优缺点：表1-1 拟合方法优缺点比较拟合方法优点缺点拉格朗日插值法 原理简单 线形光滑 误差较大 适用范围不大分段插值法 精度较好 逼近效果好 光滑性较差 点间距要求较高最小二乘法 适应性好 精度较高 精度非最高 关键点拟合效果不佳三次样条曲线法 精度较好 线形光滑性好 需分段考虑，较复杂 精度由点间距确定国内学者对于道路立交平面线形拟合模型的研究，主要是基于之前的理论原理，并结合数学模型方法加以合理的改进，以下列出具有代表性的几种方法：（1）方位角法：以曲率法为基础，通过将曲率随线路进行积分得到方位角，通过方位角的变化来判断线元特征。（2）三点圆曲率趋势判别法：在综合识别法的基础上，通过相邻三点确定半径曲率宏观上判断线元分类，然后通过拟合技术恢复线位。（3）CAD样条曲线法：输入坐标绘制样条曲线，观察排除误差较大的点，通过曲线的变化趋势判断线元类型，凭借经验绘制出拟合曲线。除以上所述外，还有“Hough变换识别法”、“三弯矩法”、“联合平差模型”等方法。1.2.2 道路CAD技术的国内外情况线路设计辅助系统的发展在国外己有五十年以上的历史，而以AutoCAD作为关键技术平台进入线路设计辅助领域则始于上世纪60年代，作为线路设计辅助领域里程碑式的技术，其必须归功于美国的 Sketchpad”系统13。随后世界多国如前苏联、德国、美国、澳大利亚及英国等均开始研发相关线路辅助设计系统用以方便交通建设，其基本采用CAD技术作为系统平台2023。国外相关技术的发展主要可分为3个时间段：70年代，数字地面模型出现，系统绘图技术可提供设计相应图纸，代表软件主要是英国，NONA、美国“GCARS”及德国“PON-1”程序系统。80年代，智能CAD综合一体化系统应用开始发展，代表软件主要是芬兰ROADCAD”及美国路易斯百杰的“CANDID”程序系统。90年代至今，线路CAD技术已接近成熟，发展成适应性强的系统化智能工程设计系统，其中代表软件主要是德国IBT公司“道路一体系统CARD/ I 、美国Intergraph的“InRoads交通自动化系统”、澳大利亚旷达公司的“Quantm综合交通智能系统”。国内线路CAD技术发展始于70年代后期，由同济大学率先开始进行相关技术的研发，主要发展于80年代中期，发展模式为相关高等院校与相关部门进行联合引进研究，加强计算机技术与实践性的结合。在学习其它软件先进技术前提下进行改进，满足软件高实用性的要求，并取得了优异的成绩。 80年代，主要代表软件有西安公路学院针对公路综合设计所研制的MRCAD系统”和同济大学针对道路初步设计所开发的“微机道路初步设计程序”，交通部设计院则采用基于购进国外系统二次开发方式进行针对性系统研发，该阶段软件主要以数值分析和辅助计算为主。90年代，随着计算机硬件的发展及微机功能日益强大，计算机图形学开始进入CAD，线路计算机辅助设计从数值计算进化为图形交互设计模式，其中代表院校主要有同济大学、中南大学、西安公路学院及西南交通大学等，其中中南大学在针对新建铁路方面基于CAD平台开发了“VizRail系统”用于新建铁路单双线路设计，以及交通部“二公院”主要针对道路立交等设计所开发的“微机互通式立交IN-CAD系统”，该阶段为随后我国土木工程设计软件的快速发展起到了坚实的基础促进作用。截止到2013年底，我国道路CAD系统代表软件主要有:铁四院研发的“Rai1GIS系统”、长沙中南大学所研发的“DGRoad机助系统”、中交第一公路勘察设计院主的“HintCAD纬地系统”、鸿业科技公司开发的“HY SZGX市政道路软件及排水系统”以及中国科学院的“HEAD系统”等。1.3 主要研究思路与内容本文研究内容与思路主要可以分为以下几个层面：(1) 线元初步拟合根据道路和立交的线元性质、线元组合类型，按照一定的数学方法对所测得的道路中桩点进行线元的初步分类。利用坐标法的原理，用数学方法和圆曲率趋势算法相结合，从而通过曲率半径变化的趋势判断线元的类型和组合。在三点圆曲率判别法和五点圆曲率判别法的对比中，实例验证选取五点圆曲率法更具有稳定性和精确性。在线元类型的变化位置，即道路特征点附近，由于中桩点步距的长短以及测量精度的问题会产生一定的误差，还需进行线形的迭代得到拟合的最优解。(2) 线形迭代优化处理每一种平面线形当中都包含两种基本的线形控制单元：直线和圆弧。如果将这两种基本的线形单元任意组合，中间用一条或两条缓和曲线加以连接，由此便可组成如下三种最基本的双控制单元模式：直圆模式、双线模式以及双圆模式。因此，对于缓和曲线段的拟合，只需要确定缓和曲线前后线形单元的类型，再根据其前后单元的相关参数计算出缓和曲线的回旋线参数，便可以拟合出缓和曲线。根据上述原理，微调缓和曲线的起点位置，以原中桩坐标点与缓和曲线的投影偏距之和作为目标函数，求得总偏距最小点的位置，从而得到精度最高的拟合曲线。(3) 基于ObjectARX的道路立交平面线形拟合优化程序设计程序依靠AutoCAD作为设计平台，采用ObjectARX2007与Visual Studio 2005为软件开发环境，通过txt文件读取道路中心点的相关资料进行线形拟合，可直接完成拟合成果在CAD下的成图，并最终输出拟合后的道路线元相关参数以及道路偏量的相关数据作为拟合成果的评价，为老路改扩建等实际工程领域提供设计参考。第2章 平面线形构成及曲线拟合方法道路立交平面线形设计是公路工程设计中的重要部分，为了找到合理高效的道路立交平面线形拟合方法，就需要对平面线形的构成以及各种曲线拟合方法进行对比分析研究，探讨其各自的适用程度及不足，确定出最合理的拟合技术。2.1 平面线形类型及构成2.1.1 平面线形基本概念道路是指三维空间中的一条带状实体，其路线在水平面的投影为路线平面，沿中线竖直方向剖开则为纵断面，沿法向剖开则为该点的横断面。而路线的平面位置，是考虑社会经济、自然条件和技术标准等反复修正确定的。平面设计是整个公路设计的开端，合理的平面设计是整个项目的基础。从平面线形的角度来看，城市道路和公路都是由平面线形三要素组成，即直线、圆曲线和缓和曲线12。（1）直线直线因为其形式简单、方向明确、驾驶操作建议以，在道路设计中使用广泛。在定线时，如果路线所处地势情况平坦且没有较大的地面障碍，设计人员会考虑优先使用直线通过。笔直的道路会带来简洁直达的美感12。但是，直线在地形起伏较大的地段难以与地势相适应，且会带来建设难度的提升、成本较高、破坏自然景观等缺点，因此直线的长度在平面线形的设计中应该慎重考虑。在程序设计的过程中，一条直线所包括的参数一般有如下几个：直线的起点坐标Xs,Ys，直线的终点坐标Xe,Ye，直线的长度L以及直线的方位角0。直线的方位角0公式：0=arctanYe-YsXe-Xs (2-1)直线长度L公式：L=(Ye-Ys)2+(Xe-Xs)2 (2-2)（2）圆曲线各等级道路不论转角大小都应该设置圆曲线，圆曲线上任意一点曲率半径为常数，在道路平面设计时，应根据沿线地形、地物等条件，尽可能选用较大半径，从而得以保证行车的舒适。在选定半径时既要考虑技术水平，又要满足经济适用的原则，既不能盲从采用较高标准而过度增加工程量，也不能仅考虑眼前的通行要求而降低标准。在程序设计的过程中，需要考虑的圆曲线参数主要有如下几个：起点坐标Xs,Ys，终点坐标Xe,Ye，圆心点Xc,Yc，切向方位角0，偏转方向参数k。(X-Xc)2+(Y-Yc)2=R2 (2-3) （3）缓和曲线缓和曲线是一种斜率随长度渐变的曲线类型，它是设置在直线与圆曲线间，或者半径相差较大、转向相同的两圆曲线间的一种过渡曲线。在公路和立交的设计中，有时缓和曲线所占的比例甚至超过了直线和圆曲线。一般而言，缓和曲线可以采用如下几种形式，回旋线、三次抛物线和双纽线。此外，也有采用n次抛物线、正弦曲线等作为缓和曲线。我国主要推荐使用回旋线作为缓和曲线的形式12。如图所示，该缓和曲线中，已知回旋参数为A，终点的曲率半径为R，回旋线的长度为L，则根据回旋线方程有：A2=RL按照几何关系有：dL=R*d图 21 缓和曲线dx=dL*cosdy=dL*sin由sin和cos的级数展开式：sin=-33!+55!-+-1n-12n-12n-1!+R2n-1 (2-4)cos=1-22!+44!-+-1n2n2n!+R2n (2-5)代入式dx=dL*cos dy=dL*sin，可得：dx=dL*1-22!+44!-+-1n2n2n!+R2n (2-6)dy=dL*-33!+55!-+-1n-12n-12n-1!+R2n-1 (2-7)回旋线的计算通式如下2：通式：X=k=1n-1k+1L(4k-3)j=12k-2jY=k=1n-1k+1L(4k-1)j=12k-1j (2-8)余式：Rnx=-1n+1L(4k-3)j=12n-2jRny=-1n+1L(4k-3)j=12n-2j (2-9)内移值：R=y+R*cos-R (2-10)外移距:xm=x-R*sin (2-11)其中n，k，j，i均为正整数，L为回旋线的长度，为回旋线转角，根据经验可以得出，当n=12便可以满足工程需求精度的要求。 2.1.2 平面线形组合为了得出合理的拟合方法，在探讨道路立交平面线形拟合的算法之前，我们需要对平面线形的组合方式进行了解。由前述可知，无论是什么类型的曲线，其平面线形都是由直线、圆曲线以及缓和曲线三种基本线形的一种或几种在符合一定的约束的条件下，首尾相连接而组合成。一般而言，常见的平面设计的线形组合有以下几种：2.1.2.1 基本型图 22 基本型曲线若一段平曲线按直线段回旋线（A1）圆曲线段回旋线（A2）直线段的顺序组合，则该曲线形式称为基本型曲线。当两回旋线参数值相等时，即称为对称基本型；若不相等则称为非对称基本型。当两回旋线参数都为0时（即不设置缓和曲线），又称为简单型曲线，一般限于较低等级公路使用。2.1.2.2 拱形曲线图 23 拱形曲线拱形曲线是在两个同向回旋线之间，不插入圆曲线，而令两回旋线在半径相同位置径向相接而成的平曲线。拱形曲线只有在路线受到严格的地形、地物限制时才考虑使用。拱形曲线可以看成是中间圆曲线长度为零的基本型平曲线的特例。2.1.2.3 S形曲线图 2.1-4 S形曲线S 形曲线是高等级公路线形设计以及立交的公路线形设计中中较多采用的一种组合线形，是两个反向圆曲线间用缓和曲线顺接而成的曲线形式。设计时，可以将S形曲线看作两个独立的基本型平曲线来设计。2.1.2.4 C形图 25 C形曲线C形曲线是两个同向圆曲线连以两段回旋线的结果，C形曲线与S形曲线的设计过程完全类似，其不同之处是两相邻平曲线的转向不同，C形曲线和S形曲线一样，也可分解为两个基本型平曲线来进行计算。其相当于在基本型曲线中间的直线长度为零的特例，对驾驶员行车有一定的不利影响，因此仅特殊的地形条件下使用。2.1.2.5 复合型复合型曲线的定义是将两个或以上的同向回旋线在曲率相同德位置相互连接而成的组合形式。复合型曲线由于其回旋线半径和参数并不断变化，对驾驶操作不利，因此除了立交匝道外很少采用。2.1.2.6 复曲线将转向一致、半径大小不一致的两个或两个以上的圆曲线径向连接，或在其间插入缓和曲线，组合而成的曲线称为复曲线。2.1.2.7 回头曲线图 26 回头曲线回头曲线一般多用于山区地段，是连接山坡上下两条路的一种特殊平曲线，其特点是半径小、其转向偏角大于180，交点多为虚交，因此，回头曲线实质上属于交点虚交的曲线14。回头曲线因为其转角大，线形较差，故一般很少在高等级公路中采用。2.2 曲线拟合方法2.2.1 插值和逼近在离散数据的基础上补插连续函数，使得这条连续曲线通过全部给定的离散数据点，称为插值19(interpolation)。插值是离散函数逼近的一种重要方法，利用插值的方法，可通过函数在有限个点处的取值情况，估算出其他点处的近似值。如果不能按照上述方法构造曲线依次通过各点，但可以构造某条曲线在最大程度上尽可能接近所给离散点，则称这种方法为逼近(approximation)，将对数据点进行逼近得到的曲线称为逼近曲线。曲线的拟合包含插值和逼近9，常见的几种方法如拉格朗日插值法、分段插值法、样条曲线法、最小二乘法。2.2.2 曲线拟合方法简介2.2.2.1 拉格朗日插值法假设有n次多项式9：pnx=a0+a1x+a2x2+anxn (2-12)使其满足：pnxi=yi i=0,1,2,n (2-13)它的系数行列式满足范德蒙德行列式，如下：V=1x0x02x0n1x1x12x1n1xnxn2xnn (2-14)当节点互不相等时时，即V0，则该插值问题存在唯一的解。拉格朗日插值法能够较好地用于逼近光滑的曲线，一般情况下，只用于拟合函数式较为简单的曲线，而道路平面线形的构成不规则，因此拉格朗日法的适应性较差，不能很好的拟合。2.2.2.2 分段插值法在拉格朗日法的基础上，将范围细化，在每一段上构造插值函数再将分段函数组合，作为整个范围内的插值函数，这种方法叫做分段插值法10。就其插值方法而言主要有两种方法，三次埃尔米特插值以及线性插值法，其中三次埃尔米特插值法效果更好，其过程如下：将函数区间a,b划分为(a=x0x1x2xn=b)的分段三次函数S3x，且满足如下条件：S3xi=yi，i=0,1,2,n (2-15)则得到： S3xi=0x-xihiyi+1x-xihiyi+1+0hix-xihiyi+1hix-xihiyi+1 xixxi+1 2-16式中：hi=xi+1-xi 0x=x-12(2x+1)，1x=x2(-2x+3) 0x=x(x-1)2，0x=(x-1)x2分段插值法的精度随着离散点间间距的缩小而提高，但是，分段插值法虽然提高了精度，曲线的光滑性并不高，仅有连续的一阶导，因此并不适合用于道路曲线拟合。2.2.2.3 样条拟合法将函数区间a,b划分为( a=x0x1x2xn=b)的分段k次多项式Sk(x)，则该曲线为k次样条，在每个节点上具有k-1次导，且为连续导数。样条拟合法可分为三种主要形式，圆弧样条拟合、三次样条拟合、三次B样条拟合11。(1) 圆弧样条拟合当样条拟合法的分段函数为圆弧时，则称为圆弧样条拟合，由于该拟合函数不具有二阶连续导数，所以拟合曲线不够光滑。(2) 三次样条拟合当样条拟合法的分段函数Sk(x)为三次多项式时，且Sk(x)在函数范围内具有连续的二阶导，则称为三次样条拟合， (3) 三次B样条拟合假设在区间a,b内，由有序数据点向量Pk(k=0,1,2,3,n)构成，其中每四点链结构成的多边形称为B特征多边形，由三次样条函数拟合B多边形而成的曲线称为三次B样条曲线。2.2.2.4 最小二乘法最小二乘法通过使数据误差的平方和最小化来寻找数据的最佳匹配函数，利用最小二乘法可以简单方便地求得未知的数据，并且使得这些数据与原有数据之间的差值的平方和最小19。最小二乘法还可应用于曲线拟合。最小二乘法在AutoCAD中常用于数据拟合。当拟合函数(x)在测量的数据点xi,yi，(i=1,2,3,，n)处的的偏差，即i=xi-yi不能严格为0时，为了使曲线尽可能反应所给测量点的变化趋势时，会要求偏差的平方和最小，即i=1n|i|=i=1nxi-yi2 2-17最小，此方法成为最小二乘法。当拟合函数为多项式时，即拟合函数：x=a0+a1x+a2x2+anxn 2-18则可求得相应的方程组(共有m组数据且mn)：mxixinxixi2xin+1xinxin+1xi2na0a1an=yixiyixinyi (2-19)由此求解可得相应的系数ai(i=0,1,2,n)，可求得拟合函数(x)。2.2.3 曲线拟合方法分析对于工程实际中的曲线拟合，其拟合的算法应该具备如下性质28：光滑性：对于拟合曲线需要至少存在二阶连续性；凹凸性：保持道路测量点具有凹凸性；精确度：拟合曲线需要尽可能的靠近给出的测量采样点。结合上述几种拟合方法的拟合原理分析可知，拉格朗日插值法的拟合误差较大，且存在龙格现象；对于，分段插值法只存在一阶连续导数，且光滑性较差；对于样条曲线法，圆弧样条曲线光滑性不好，三次样条曲线拟合的精度依赖于采样点的间距，三次B样条拟合其拟合结果主要由特征多边形决定，其拟合曲线一般不通过给定采样点；最小二乘法能够体现采样点的整体变化趋势，精度较高，并且纬地、CADR/1等软件已开发相关最小二乘拟合功能，其工程实用性较好，因此本程序采用最小二乘法作为拟合算法。2.3 AutoCAD二次开发技术AutoCAD（Auto Computer Aided Design）是Autodesk公司开发的计算机辅助设计软件，自20世纪80年代进入市场以后，便成为世界范围内最流行的CAD微机工作平台。其在建筑设计、土木工程、交通运输、地理信息、工业设计制造等领域具有广泛的用户基础。除了上述有点以外，AutoCad还具有不断改善的、开放的二次开发环境。目前，AutoCAD提供的开发工具包括Visual AutoLISP、ObjectARX以及VBA三种，其中ObjectARX运行速度更快更稳定，封装性好，操作简便，所以本软件选择ObjectARX作为开发工具。2.3.1 ObjectARX的原理Object ARX(Object AutoCAD Runtime Extension)程序本质上是Windows DLL程序，而AutoCAD软件本身则是一个典型的Windows程序，ARX程序与AutoCAD、Windows之间均采用Windows消息传递机制直接通信，ARX程序通过调用acrxEntryPoint()函数建立与AutoCAD消息传递的接口。Object ARX以C+为基本开发语言，其具体开发环境有以下特点1516：1) 以面向对象技术的C+语言为基础，具有Visual C+可视化开发环境，可以利用MFC类库。2) 采用DLL动态链接库机制与AutoCAD进行信息通讯。3) ObjectARX与AutoCAD共享地址空间，ObjectARX在使用时能够直接调用AutoCAD的函数。4) ObjectARX实体与AutoCAD内部实体没有区别。5) ObjectARX命令可以看作AutoCAD内部命令。6) 运行速度快，相比其他开发工具功能较为全面。2.3.2 ObjectARX目录结构表2-1 ObjectARX目录结构目录名称对应目录的解释说明ARXLABS包含了ObjectARX的教程，和对应的示例文件CLASSMAP包含一个DWG图形，其中显示了ObjectARX类层次的结构DOCS包含所有的联机帮助文件DOCSAMPS包含ObjectARX开发者向导INC包含ObjectARX的头文件LIB包含ObjectARX的库文件REDISTRIB包含一些动态链接库SAMPLES包含了许多ObjectARX应用程序的例子UTILS包含扩展ObjectARX的应用程序2.3.3 AutoCAD数据库 AutoCAD数据库是用来管理当前图形实体和其他非几何容器对象的，一个AutoCAD数据库包含一套固定的符号表和命名的对象词典，每一个符号表都包含一个特定符号表记录类的实例。运用ObjectArx进行AutoCAD的二次开发，也就是对AutoCAD的数据库进行操作的过程。AutoCAD数据结构图如图所示。图2-7 AutoCAD数据库2.3.4 Visual Studio 2005C+语言是以C语言为基础，开发的一种编程语言，其运用十分广泛，常用于系统开发、引擎开发等应用领域：相比较于其他语言，C+的优点主要表现在：1、C+实现了面向对象程序设计。在各种高级语言的比较中，其处理运行速度较快。2、C+语言灵活性好，能够完成各种各样的功能程序的编写。C+不仅包括C语言的指针的优点，而且具有较好的性能和类层次结构的设计。3、C+语言逻辑严谨、精确性好。4、C+语言的语法思路层次分明、前后呼应，语法结构是显式的、明确的。图2-8 Visual Studio 2005 界面2.4 本章小结本章首先介绍了平面线形的相关概念，阐述了平面线形的主要组成以及平面线形的组合类型，以了解线形的构造原理；然后介绍了曲线拟合的几种重要方法，分别阐述了几种方法的拟合原理并简单分析了其优缺点，从而比选出合适的拟合算法；最后，介绍了系统开发所需要的环境以及相关软件，分析了编程软件的优点，为后期的软件开发打好基础。第3章 基于最小二乘法及模式法的线元拟合3.1 基于最小二乘法的线元拟合3.1.1 最小二乘直线拟合模型假定直线段的初始方程为：yi=axi+bi=1,2,3,n (3-1)其中：xi,yi道路中心点坐标a 直线段的斜率b 直线段在y轴上的截距 式中，a,b均为待定系数。由外业测量得到的离散点坐标显然不会完全坐落于同一直线上，因此需要使用最小二乘法对数据点进行处理，得到离各点总体误差最小的直线段。依据最小二乘原理，当Q=i=0n=1yi-axi+b2取得最小值，即可得到直线段的最终方程式。假设道路中心点坐标xi,yii=1,2,3,n ，则该段直线的拟合具体步骤如下：x=i=1nxin y=i=1n