毕业论文-圆周率π的计算史.pdf

东 莞 理 工 学 院 本 科 毕 业 设 计 （2013 届）届） 题目：圆周率的计算史 学生姓名：陈小真 学号： 题目：圆周率的计算史 学生姓名：陈小真 学号： 200941410104 院（系） ： 计算机学院 专业班级：信息与计算科学 院（系） ： 计算机学院 专业班级：信息与计算科学(1)班 指导教师：熊辉 副教授 起止时间： 班 指导教师：熊辉 副教授 起止时间：2013 年年 3 月月2013 年年 6 月月 圆周率的计算史圆周率的计算史 摘要：摘要：永无止境又不循环，它一直都是个谜，令人感到神 秘奥妙、玄机莫测，诱惑人们去探索。古今中外有许多数学家为 了探索献出了自己的智慧和劳动。本文首先研究圆周率计算的 发展历程，然后给出了利用计算机求解圆周率的两种算法的基本 原理。 借助 Matlab 软件编程给出了每一种算法的计算结果和误差 分析；并通过对所得数据进行分析和比较，对两种算法的优缺点 进行了讨论。最后总结从计算圆周率的过程中得到的启示。 关键词：关键词： 圆周率；计算；数学实验；近似值 Computing history of Abstract：is an infinite cyclic number，it has been intensively studied recently. In this paper, we first discuss the development process of the calculating of,and then we give the basic principles of two algorithms to calculateby computer. Using Matlab, we give the results of the two algorithms and discuss the advantages and disadvantages. Finally, we get some inspiration from the above research. Keywords:；calculation；mathematical experiment；approximation 目录目录 1 绪论1 绪论1 1 1.1 研究背景1.1 研究背景 1 1.2 研究意义 1 1.2 研究意义 1 1.3 国内外研究现状 1 1.3 国内外研究现状 2 2 2 圆周率计算的四个时期2 圆周率计算的四个时期3 3 2.1 实验时期2.1 实验时期3 2.2 几何法时期割圆术 3 2.2 几何法时期割圆术. 4 2.3 分析法时期 4 2.3 分析法时期7 2.4 计算机运算时期 7 2.4 计算机运算时期. 7 7 3 借助计算机求解圆周率的方法3 借助计算机求解圆周率的方法1010 3.1 数值积分法3.1 数值积分法 10 3.1.1 算法原理 10 3.1.1 算法原理 10 3.1.2 计算结果及误差分析 10 3.1.2 计算结果及误差分析12 3.2 泰勒级数法 12 3.2 泰勒级数法 13 3.2.1 算法原理 13 3.2.1 算法原理 14 3.2.2 计算结果及误差分析 14 3.2.2 计算结果及误差分析1515 4 从圆周率计算中得到的启示4 从圆周率计算中得到的启示19 参考文献 19 参考文献.20 致谢 20 致谢21 附 录 21 附 录2222 1 1 1 绪论 1.1 研究背景1.1 研究背景 圆周率，一般以来表示，是一个在数学及物理学普遍存在的数学常数。 它 定义为圆形之周长与直径之比，它也等于圆形之面积与半径平方之比。这个数不 仅是无理数, 而且是超越数。 1 早在 4000 年前的巴比伦王国它就被发现, 当时 认为圆周率的值是 3 或 8 1 3。 对的深入研究,扩充、发展了数系理论；对计算的方法和思路可以引发 新的概念和思想，促成了其他众多数学成就的产生。例如：在计算的过程中， 对各种无穷表达式的研究促进了相应理论的发展，如无穷乘积式、连分数理论、 最佳逼近理论；在蒲丰用几何法求的过程中，概率论、概率统计等也得到了丰 富和发展；受蒲丰思想的启示，人们还创立了“蒙特卡罗方法” 。 能否计算出位数越来越多的值,已成了许多专家用来检验计算机可靠性、 精确性、运算速度及计算容量的有力方法、手段和衡量计算进展的指标；的研 究成果,在一定程度上反映出一个国家的数学水平。 仅从这里就可以看出,在自 然科学中有着多么重要的地位和作用。 1.2 研究意义1.2 研究意义 在日常生活中，人们经常与打交道，的计算伴随着人类的进步而发展。 德国数学史家莫里茨本尼迪克特康托尔在数学史讲义一书中就指出： “历 史上一个国家所算得的圆周率的准确程度， 可以作为衡量这个国家当时数学发展 水平的指标” ， 1这一观点我们可以从历史中得到证明。算 巨人阿基米德时代， 正是古希腊数学和科学的鼎盛时期。刘徽和祖冲之生活的 3 至 5 世纪，也证是中 国数学在世界领先的时代。从 1579 年法国数学家韦达首先给出的解析式以后 的几个世纪，是欧美数学和科技处于世界领先水平的时期。1949 年电子计算机 算标志着美国科技的领先地位和数学的较高水平。因此，圆周率的发展历史从 一个侧面反映了数学的发展历史尤其是算法的发展史。 2 正因为如此，研究成为古今中外许多科学家长盛不衰的课题，也是许多科 学家的兴趣所在，一代代的数学家为此献出了自己的智慧和劳动。在中国就有刘 徽、祖冲之等，在国外有阿基米德、卡西等。近代科学家如华罗庚、严士健等在 其数论论文中也对圆周率问题进行了探讨。为求得圆周率的值，人类走过了漫长 而曲折的道路，它的历史是饶有趣味的。研究的计算史其实也就是从侧面研究 数学的发展史，这使我们充分认识到数学的奥秘，促使我们从多角度思考解决问 题，不断的创新以满足数学科学的发展。 1.3 国内外研究现状1.3 国内外研究现状 由于圆周率在数学史上的重要性， 因此至今对研究一直受到中外众多学者 的关注。一场为了打破计算的位数的记录的持久战也在进行中，而计算机的发 展在计算的位数上扮演着一个重要的角色。1946 年电子计算机“埃尼阿克” 在美国进行了首次成功表演并交付使用，由于用计算机代替人工计算具有可靠、 快速等优点，所以不久就被用作威力强大的算武器。进入新世纪以来，国内外 许多学者开始借助计算机来探讨圆周率的计算，他们设计了许多的算法，取得了 很好的结果。而最新的计算值的记录是由日本的计算机软件工程师近藤茂于 2011 年刷新，他的记录是可以将圆周率算到小数点后的 10 万亿位。 3 2 圆周率计算的四个时期2 圆周率计算的四个时期 人类最早使用的粗糙圆周率是 3，这个值被后人称为“古率” 。而这个“3” 最早起于何时，已“穷远不可追问” 。只知从有文字记载圆周率开始，这个数就 引起了古今中外学者们的兴趣。为求得它的值，一代又一代的数学家为此献出了 自己的智慧和劳动，回顾圆周率计算的发展历程，大致可分为四个时期。 2.1 实验时期2.1 实验时期 值的计算的第一个阶段是实验时期， 该阶段的特点是通过实验对值进行 估算。这种对值的估算基本上都是以观察或实验为根据的，并没有理论上的依 据。一般说来,精确度是不高的。实际上在古代世界被许多国家采用的3这个 数值均属于实验时期的获得。 不少中国古书中谈到“3”这一古率。比如， 周髀算经中就有记载“圆径 一而周三”又如九章算术题： “有圆田，周三十步，径十步，问田为几何？” 。 1在中国， 直至东汉时期， 朝廷还明文规定以圆周率 3 作为计算面积的标准数值。 基督教的圣经中的列王记里记载，所罗门王建造宫殿， “又铸了一 个铜海” （盛水的圆柱形大容器） ， “高无肘，径十肘，围三十肘” 。 1显然， 圣 经在这里认为3。这段文字描述的事发生在公元前 950 年前后。这一史实 也记载于希伯来人的两个编年史中。而希伯来人至少在公元前 500 年时还在 用3这个数值。 在古埃及所留下的两批草纸之一的莱登草纸上有一个例子： “有一块 9 凯特 (即直径为 9)的圆形土地,其面积多大?今取其直径的九分之一,即 1,则余 8,作 8 乘以 8,得 64,这个大小就是面积。 ” 2由此可见,他们认为圆的面积等于一个边长 为此圆直径的九分之八的正方形面积,通过计算得出的值大约是 3.1605。 大约公元前 2000 年左右的巴比仑,他们取圆周平方的 12 1 作为圆的面积。由 即认为圆周是直径的 3 倍即的值为 3。 但在给出正六边形及外接圆周长之比时, 实际上又用了 8 25 即 3.125 作为的值。 以上多是早期的人们取得值所使用的粗糙方法，基本上都是以观察或实验 4 获得，而计算值的实验时期这个阶段一直延续到人类最早算的科学方法“割 圆术”的出现。 2.2 几何法时期割圆术2.2 几何法时期割圆术 这个时期可以说是开始于“割圆术”的出现。所谓的割圆术，就是先作出圆 的边数较少的的内接正多边形或外切正多边形（有时两者都作） ，通过计算其边 长进而求出周长或面积（有时两者都求） ，再将正多边形的边数增加一倍，重复 上述计算；再增加，再计算这样，当边数无限增加时，算出的这些正多边形 的周长（或面积）就接近圆周长（或面积）了；由此可以根据圆周长（或面积） 公式求得值。 1 割圆术是人类最早算值的科学方法，而阿基米德则是割圆术的开山鼻祖， 可以说是他开创了圆周率计算的第二个阶段。他用 96 边的圆内接正多边形和圆 外切正多边形来推算求得 7 22 71 223 。下面简单地介绍阿基米德的推算。 半径为 1 的圆,分别内截和外切正 1 3 2n边形,设它们周长的一半分别为 n a 和 n b 。 当n递 增 时 可 以 得 到 递 增 的 数 列 12 , n a aa , 和 递 减 的 数 列 12 , n b bb,此二数列有相同的极限,显然有, K Kan tan， K Kbn sin和 K Kan 2 tan2 1 ， K Kbn 2 sin2 1 其中 1 3 2nK ，由上式可以推导出下式: 1 211 nnn aba （2-1） 2 11nnn abb （2-2） 33 3 tan3 1 a， 2 33 3 sin3 1 b 由（2-1）和（2-2）可以得到 6 a和 6 b，而 66 ab。 需要说明的是,阿基米德在推导此式时是用纯几何的方法推导的,而不是用 上面的代数和三角符号，并且也没有使用小数表示(小数的正式使用是在十六、 十七世纪的事),所以他从 1 a, 1 b推导到 6 a， 6 b的过程是极为烦琐的,计算量更是惊 5 人的。 而在阿基米德之后， 腊天文学家托勒密约于公元前 150 年得出1416. 3。 在中国，首先得出较精确圆周率的是三国时代的魏晋数学家刘徽。他于公元 263 年前后提出了一种不同于阿基米德割圆的割圆术徽术，刘徽用14. 3 50 157 表示圆周率。下面简单地介绍刘徽的推算： 作圆内接正n和2n边形,设 n L为内接n边形的周长， n S为内接n边形的面 积,S表示圆的面积,L表示圆的周长,圆的半径为r。如下的式子成立: 2 2, nnn LrSS LL n 从而有2SLr ，算到192边形时得到314.1024100314.2704。 刘徽所建立的一般公式 22 2 nnnn SSSSS可以把圆周率计算到任意的 精度，它比阿基米德的方法更为简洁。而且在计算值上相比于阿基米德的会更 准确些。在刘徽之后两百年，南北朝时南朝的科学家、数学家祖冲之应用刘徽的 割 圆 术 ， 在 刘 徽 的 基 础 上 继 续 推 算 ， 得 到的 “ 准 8 位 ” 近 似 值 ： 3.14159263.1415927。这一结果不但在当时是最精确的，而且保持了近千 年的世界纪录。 而在祖冲之之后， 国外的许多数学家在这一方面都取得了一定的成果。 1150 年，印度数学家婆什迦罗第二计算出1416. 3 1250 3927 。大约在 1424 年，阿拉 伯数学家、天文学家阿尔-卡西算出了 18 位值89793251415926535. 3，但只有 前 17 位正确， 这一结果也打破了祖冲之保持了近千年的世界纪录。 而 17 世纪初， 德国数学家鲁道夫几乎用了一生的时间，将算到了小数点后 35 位。 然而几何法时期到了鲁道夫这里可以说已经走到了尽头， 割圆术已经引导数 学家们走得很远，要想在向前推进，必须在方法上有突破。而随着数学分析的出 现，的计算史也进入了一个新的阶段。 2.3 分析法时期2.3 分析法时期 欧洲的文艺复兴将数学带向了一个崭新世界,而数学公式的出现使圆周率 的计算进入了一个新的阶段,。1650 年，英国数学家沃利斯利用类比、归纳和极 限的方法，从计算圆的面积入手得出了公式： 6 21 3 3 5 5 7 2 2 4 4 6 6 。 虽然这个式子并没有实际用于大规模算，然而它的出现标志着分析法算 的开始。 1668 年，詹姆斯格雷戈里发现了式子： 11 9753 arctan 9753 x xxxx xx， 并于 1671 年公开了这个公式。同样的，这个式子也没有实际用于计算值。然 而之后的很多计算值的公式却是由此衍生出来的。 若假设格雷戈里公式中的1x，便可得到式子 111 1 4357 。1673 年，莱布尼茨发现了这个式子，后人把它称为“莱布尼茨公式” 。它标志着用分 析法中的反正切式算的开始。但是用莱布尼茨公式算，算出 3 位准确值， 需要用 200 项，收敛太慢，工作量太大。所以并没有人实际用这种方法去大规模 算。 而真正使分析法在算上初显神威的就是夏普公式。1699 年，英国数学家亚 伯拉罕夏普假设格雷戈里公式中的3/1x，就得到了夏普公式： 1111 1 63 35 3 37 3 3 33 。 这个式子的第6项0013. 06 113 1 3 1 5 ,已不影响小数点后第二位的结 果。即用夏普公式算出 3 位准确值，只需要用 5 项，这比莱布尼茨的 200 项要 快得多。所以夏普发现的这个公式为来者快速算开辟了阳关大道。而夏普用这 个公式把算到了小数点后 71 位。 1706年， 英国伦敦葛蕾斯汉姆大学天文学教授约翰 马青发现了一个很重要 的公式： 239 1 arctan 5 1 arctan4 4 。 他将公式右边的两项用格雷戈里公式展开，由此算到了把算到了小数点后的 100 位。这是分析法出现后值首次突破百位大关。值得一提的是，1949 年人类 第一次使用电子计算机计算时，用的就是马青这个公式。 7 1873 年， 英国数学家威廉 山克斯利用马青公式将算到了小数点后 707 位， 后被证实仅有前 527 位正确。而这个结果则用了他三十多年的时间和精力。随着 的位数不断的增加，其计算量也在不断地增大。数学家们要计算更高位数的 需要耗费的时间和精力也越来越多。所以人们在寻求一种新的计算工具，以使在 计算值速度上有所突破。表 2-1 给出了分析法时期几个有名的成果 1 表 2-1 解析法计算圆周率的成果 年代计算人国籍小数点后的位数 1665牛顿英国16 1699亚伯拉罕夏普英国71 1706约翰马青英国100 1719托马斯范特德拉尼法国112 1794尤吉伊巴托罗梅威加奥地利136 1844约翰马丁扎卡奈赖亚斯达什德国200 1847托马斯克劳森丹麦248 1873威廉山克斯英国527 1946弗格森英国620 1948约翰威廉雷恩奇美国808 1949列维史密斯美国1120 2.4 计算机运算时期2.4 计算机运算时期 1946 年 2 月 15 日，电子计算机“埃尼阿克” （ENIAC）在美国进行了成功表 演并交付使用。它的出现使得科学家们在计算值速度上有了前所未有的突破， 也使圆周率的计算历史进入到了一个新的阶段。 由于运用电子计算机计算值具有可靠、快速的优点，所以不久就被用作威 力强大的算武器。1949 年，在美国马里兰州阿伯丁的陆军弹道实验研究所里， 包括乔治 内特维斯伦、 约翰 冯 诺依曼、 迈特罗伯里斯在内的 “几个小伙子” ， 用 ENIAC 算出了的小数点后 2035 位。这是人类第一次用电子计算机计算， 而从准备到得出这个结果不过用了 70 个小时。 1959 年美国国际商业机器公司（IBM）制成第二代电子计算机世界上第一 8 台晶体管电子计算 IBM-7090 。1961 年美国数学家丹尼尔山克斯和华盛顿的雷 恩奇用 IBM-7090 型机分别使用挪威斯托默公式 3： 239 1 arctan4 57 1 arctan8 8 1 arctan24， 和高斯公式 5： 239 1 arctan4 57 1 arctan8 8 1 arctan24 将计算到小数点后 100265 位，终于登上 10 万位高峰。 到了 20 世纪 70 年代后期，用电子计算机算发生了新变化：数学家们已经 不再满足于用了 200 多年的微积分方法，他么开始寻找各种新的方法。 1985 年，加拿大数学家乔纳森迈克尔波尔文和彼得波尔文兄弟发表 了波尔文算法 3： 初值：246 0 a，12 0 y， 重复计算： 4 1 4 4 1 4 1 )1 (1 )1 (1 n n n y y y ， 324 11 2)1 ( n nnn yaa， )1 ( 2 111 nnn yyy， 最后得到 n a 1 ，它四次收敛于圆周率。 1914 年印度的传奇数学家拉马努金提出了“拉马努金公式” （ “LM” ） ： n n n n n 4 0 4 396 263901103 ) !( )!4( 9801 221 ， 这个公式每计算一项可以得到 8 位的十进制精度 3。 日本的数学家金田康正就是利用以上两个公式以及高斯-勒让德公式屡次打 破计算值的世界纪录， 最近的时间是 2002 年， 他用了 400 多个小时计算出了 的小数点后 12411 亿位。 计算机的产生和使用，使的计算达到了惊人的程度，下表是 2012 年之前 科学家们借助计算机计算圆周率的部分结果 1 9 表 2-2 借助计算机计算圆周率部分结果 年代所用计算机计算者国籍计算位数 1949ENIAC美国2035 1955NORC美国3089 1957PEGASUS英国7480 1958IBM-704法国10000 1959IBM-704法国16167 1959IBM-7090英国20000 1961IBM-7090美国100265 1966IBM-7030法国250000 1967CDC-6600法国500000 1986CLAY-2美国29360000 1987SX-2日本133326000 1988HITAC S-820/80日本201326000 1989CLAY-2 和 IBM 3090/VF苏联1011196692 1999HITAC SR8000/MPP日本206158430001 2002HITAC SR8000/MPP日本12411 亿 2009T2K 筑波系统日本25770 亿 2009个人电脑法国2.69999999 万亿 2010个人电脑日本5 万亿 事实上, 实际生活中 8 位以上的值是没有多大用途的。 然而为什么还有那 么多的科学家仍然对的精确推算乐此不疲呢?其实，的重要性不只在于实际 精度的需要，而是在研究的过程中衍生出来的其它知识。例如：在计算的过 程中，对各种无穷表达式的研究促进了相应理论的发展，如无穷乘积式、连分数 理论、最佳逼近理论；在蒲丰用几何法求的过程中，概率论、概率统计等也得 到了丰富和发展；通过计算圆周率,可以进一步提高编译器、数值计算和节点间 通信的程序库、磁记录设备的输入输出性能调节以及长时间高速稳定运行技术。 10 3 借助计算机求解圆周率的方法3 借助计算机求解圆周率的方法 3.1 数值积分法 3.1.1 算法原理 3.1 数值积分法 3.1.1 算法原理 由 2 RS可知， 若圆的半径1R（称为 单位圆） ，则该单位圆的面积等于。所以 只要算出单位圆的面积，就相当于算出了 。 如图 3-1， 以单位圆的圆心为原点建立直 角 坐 标 系 ， 扇 形 G 是 由 由 曲 线 2 10,1yxx及两条坐标轴围成，它 的的面积 4 G S。则 G SS4。 作 n 条平行于 y 轴的直线且这 n 条直线 将 x 轴上的区间0,1分成 n 等份，相应地 将扇形 G 分成 n 个同样宽度 n 1 的部分 k G（nk1）。每部分 k G是一个曲边梯 形 ： 它 的 左 方 、 右 方 的 边 界 类 似 于 梯 形 的 两 条 底 边 ， 长 度 分 别 为 2 1 1 1 n k yk和 2 1 n k yk； 上方边界为一段曲线， 因此称为曲边梯形。 如果 n 很大，则可以将每个曲边梯形 k G的上边界近似的看成直线段，从而将 k G 近似的看成一个梯形来计算它的面积 k S：梯形的高 n h 1 ，则这个梯形面积 n yyT kkk 1 2 1 1 可以作为曲边梯形面积 k S的近似值。所有这些梯形面积的和 T就可以作为扇形面积 G S的近似值： 11 0 121 4 1 2 knkn n n SSSSTTT yy yyy n n 越大，则T就越接近 G S，即T4越接近的准确值。图 3-1 中的扇形面积 G S实 11 际上就是定积分 4 1 1 0 2 dxx。与有关的定积分很多，比如 2 1 1 x 的定积分 41 1 1 0 2 dx x 就比 2 1x的定积分更容易计算，更适合于用来计算。 平行于y轴的一组直线bxxxxxanixx nni 1210 , 11 将由曲线 xfy与直线bxaxy, 0所围成的曲边梯形分成n个小曲边梯 形。当 n 很大时就可以将这些小曲边梯形上方的边界 ii xxxxf 1 近似的看 作直线段，就得到梯形公式。而如若将上边界近似的看作抛物线段，就得到辛普 森公式，具体公式如下： 梯形公式梯形公式： 设分点 11,n xx将积分区间ba,分成n等份， 即 n abi axi ， ni0。所有的曲边梯形的宽度都是 n ab h 。记 ii xfy则第i个曲边梯形 的面积 i S近似的等于梯形面积hyy ii 1 2 1 ， 将所有这些梯形面积加起来就得到： 0 121 () 2 n n yyba Syyy n 这就是梯形公式。 2 辛普森公式辛普森公式：仍用分点 n abi axi ，11ni将区间ba,分成n等份， 直线11nixx i 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形， 在作每个小区间 ii xx, 1 的中点 n ab iax i 2 1 2 1 将第i个小曲边梯形的上边界 ii xxxxfy 1 近似的看作经过三点 i i i xxxxxfx, 2 1, 1 的抛物线段，则可求得 i i ii yyy n ab S 2 11 4 6 ， 其中 2 1 2 1 ii xfy，于是得到 2 1 2 3 2 11210 42 6 n nn yyyyyyyy n ab S 这就是辛普森公式。 4 3.1.2 计算结果及误差分析3.1.2 计算结果及误差分析 12 用梯形公式计算 1 2 0 4 1 dx x 。 利用 Matlab 软件可以完成相应程序编写 （详 细代码见附录 1） ，计算结果如下表： 表 3-1 利用数值积分法计算圆周率结果及误差 迭代次数1234 计算结果3.1000000000313898849453.1409416120 误差-0.0415926536-0.0104161830-0.0026041591-0.0006510416 5678 计算结果3141551963531415901105 误差-0.0001627604-0.0000406901-0.0000101725-0.0000025431 为方便观察，利用 Matlab 软件根据表 3-1 中的数据进行绘图（程序见附录 1） ，可得图像 3-2 和图 3-3。 图 3-2 利用梯形公式计算圆周率随迭代次数增加模拟值的变化图 图 3-3 利用梯形公式计算圆周率随迭代次数增加误差的变化趋势图 13 3.2 泰勒级数法 3.2.1 算法原理 3.2 泰勒级数法 3.2.1 算法原理 将1x代入下面的反正切函数的泰勒级数 12 1 53 arctan 12 1 53 k xxx xx k k （3-1） 可得下列式子： 12 1 1 5 1 3 1 11arctan 4 1 n n （3-2） 而由式（3-2）可得 1 111 4(1( 1) 3521 n n 。 当n越大时得到的值就越精确。由于取1x时得到的1arctan的展开式(3-2)收 敛得太慢。所以用这个式子计算所花费的时间很长，所得到的结果的准确度也 很差。当使x的绝对值小于1，最好是远比1小时，泰勒级数（3-1）就会收敛得 比较快。原因是随着指数的增加，x的幂就会快速接近于0，即泰勒级数就会快 速收敛。 取 2 1 x，代入泰勒级数（3-1） ，就可得到一个收敛较快的式子： 14 12 1 3 2 1 12 1 1 2 1 3 1 2 1 2 1 tan n n n ara。 该式子中取6312n得到的 2 1 arctan的近似值的误差就小于 65 2 1 ， 其准确度可以 说是非常的高了。 令 2 1 arctan， 4 ，则 3 1 2 1 11 2 1 1 tan 4 tan1 tan 4 tan 4 tantan 。 得到, 3 1 arctan 即得到 3 1 arctan 2 1 arctan 4 ， 从而得到下面的式子： 3 1 arctan 2 1 arctan 4 。(3-3) 3 1 arctan比 2 1 arctan收敛得快。利用泰勒级数计算出 2 1 arctan与 3 1 arctan的近 似值，将得到的近似值相加，然后再乘以 4，就得到的近似值。 还可以考虑用 5 1 arctan来计算。由 5 1 tan易算出 119 120 4tan, 12 5 2tan, 239 1 119 120 1 1 119 120 4 tan4tan1 4 tan4tan 4 4tan ， 239 1 arctan 4 4 。 从而得到 239 1 arctan4 5 1 arctan16（3-4） 利用xarctan的泰勒展开式求出 239 1 arctan, 5 1 arctan的近似值，再代入公式 （3-4）就可以求出的近似值。 15 3.2.2 计算结果及误差分析3.2.2 计算结果及误差分析 利用 Matlab 软件可以完成相应的程序编写（详细代码见附录 2） ，计算结果 如下面的表 3-2 和表 3-3： 表 3-2 利用泰勒级数法计算圆周率结果及误差(4(arctan(1/2)+arctan(1/3) 展开项数1234 计算结果3.33333333333.117283950631408505618 误差0.1917406797-0.02430870300.0039834781-0.0007420918 5678 计算结果3141561587931415911844 误差0.0001485438-0.00003106570.0000066874-0.0000014692 表 3-3 利用泰勒级数法计算圆周率结果及误差(16arctan(1/5)-4arctan(1/239) 展开项数1234 计算结果3140597029331415917722 误差0.0416709447-0.00099562430.0000283757-0.0000008814 5678 计算结果3141592652631415926536 误差0.0000000288-0.00000000100.00000000000.0000000000 利用 Matlab 软件根据表 3-2 和 3-3 中的数据进行绘图（程序见附录 2 和附 录 3） ，可得图 3-4、3-5、3-6 和 3-7。 16 图 3-4 利用泰勒级数法计算圆周率随展开项数增加模拟值的变化图 (4(arctan(1/2)+arctan(1/3) 图 3-5 利用 taylor 公式计算圆周率随展开项数增加误差的变化趋势图 (4(arctan(1/2)+arctan(1/3) 观察图 3-4、 3-5 发现利用公式 3 1 arctan 2 1 arctan 4 ， 计算圆周率的收敛速 度很快，并且当开展项数为 8 项时，计算精度可达 5 位数，精度较高。 17 图 3-6 利用泰勒级数法计算圆周率随展开项数增加模拟值的变化图 (16arctan(1/5)-4arctan(1/239) 图 3-7 利用 taylor 公式计算圆周率随展开项数增加误差的变化趋势图 (16arctan(1/5)-4arctan(1/239) 观察图 3-6、3-7 发现利用公式 239 1 arctan4 5 1 arctan14，计算圆周率的 收敛速度也很快，并且当开展项数为 8 项时，计算精度可达 10 位数，精度较高。 将两种展开方式所得实验结果进行比较（见图 3-8）（程序见附录 4），可 以 看 到 公 式 239 1 arctan4 5 1 arctan14的 收 敛 速 度 要 远 远 高 于 公 式 3 1 arctan 2 1 arctan 4 。 18 图 3-8 利用泰勒级数法计算圆周率两种展开方式收敛速度比较图 19 4 4 从圆周率计算中得到的启示 本文通过介绍计算圆周率的每个时期的代表人物及主要算法， 使得人们对圆 周率的历史有了更透彻的理解。而在此基础上，文章更加深入讲述了运用计算工 具，结合数学思想的方法计算。 值的计算方法千变万化，各种计算方法锻炼着人们的思维，激发想象力和 创造力。通过漫谈圆周率的计算，让我们探索了一回的奥秘。 回顾了圆周率从古至今的计算史后， 不但认识到古今中外人类为计算它所 付出的辛劳与智慧，还学习到了前人为追求科学而孜孜不倦的精神。在探索计算 的方法的同时应用所学知识，借助计算机，用数学实验方法试着多角度计算了 圆周率的值，感受到了知识就是力量，探索是无止境的。 在完成这篇论文的过程中，从查找资料、统计资料、亲自动手用计算机计算 圆周率到完成论文。我认识到了要学好数学很重要一点就是要自己动手去体验， 因为这样可以激发我们探索的兴趣。 通过这次对圆周率计算史的探索，我对学习数学的兴趣加深了，动手能力也 加强了。 20 参考文献 1 陈仁政.的密码.科学出版社,2011 年 5 月. 2 张晓贵.圆周率计算的四个时期J.辽宁教育学院院报,2000,(05):66-69. 3 强春晨,刘兴祥,岳育英.圆周率计算方法发展史.延安大学学报(自然科学 版)，2012，31(02): 42-46. 4 孙宏安.圆周率计算简史J.中学数学教学参考，1988,（11） ：48-49. 5 李尚志.数学实验M.北京：高等教育出版社,2004:28-29. 6 王 铂 强 , 陈 军 .Monte Carlo 方 法 计 算 圆 周 率 J. 南 通 职 业 大 学 学 报,2005,(04):61-96. 7 焦青霞,王俊芳.关于圆周率值的计算J.统计与咨询,2008,(06):46-47. 21 致谢 论文得以完成，首先要感谢我的指导老师熊辉老师。本文从选题到初稿到 最后的定稿成文，这一过程都离不开熊老师的悉心指导。在此我要向熊辉老师表 示衷心的感谢！ 同时还要要感谢四年来教导过我的各科老师。还有在我写论文过程中，帮我 一起搜集资料的朋友们。 同时， 也多谢几位论文检阅老师， 对我的论文进行查阅。 正是因为有你们，才使得这篇论文能完整的呈现在这里。在此表示深深地谢意。 22 附 录附 录 附录 1附录 1 clear; f=inline(4./(1+x.*x); a=0; b=1; n=1; h=(b-a)/n; t1=h/2*(f(a)+f(b); er=1;k=1; while er1.0e-9; s=0; for i=1:n s=s+f(a+(i-1/2)*h); end t2=(t1+h*s)/2; er=abs(t2-t1); fprintf(n=%.0f,p=%.10fn,k,t2); n=2*n;h=h/2;t1=t2; k=k+1; end * d = 0:8; h1 = line(0 8,3.1415926535897933.141592653589793) get(h1) set(h1, LineWidth, 2.5) hold on tx = 03.1000000000313898849453.1409416120 3141551963531415901105; 23 plot(d,tx,-d,d,tx) xlabel(迭代次数) ylabel(模拟值) legend(圆周率值,实验模拟值) axis(0 8 3.1 3.141592654) * d = 0:8; h1=line(0 8,0 0) get(h1) set(h1, LineWidth, 0.5) set(h1, color, b) hold on simp = 0-0.0415926536-0.0104161830-0.0026041591-0.0006510416 -0.0001627604-0.0000406901-0.0000101725-0.0000025431; stem(d,simp,-d) xlabel(迭代次数) ylabel(误差) legend(参考线,实验误差值) * * 附录 2附录 2 clear; n=0; r=1; p=0; k=-1; a=1; b=1; while r=1.0e-9 n=n+1; 24 k =k*(-1); a=4*a; b=9*b; pl=p+k/(2*n-1)*(2/a+3/b); r=abs(4*(pl-p); fprintf(n=%.0f,p=%.10fn,n,4*pl); p=pl; end * d = 0:8; h1 = line(0 8,3.1415926535897933.141592653589793) get(h1) set(h1, LineWidth, 0.5) hold on tx = 03.33333333