信号与线性系统题解第九章.doc

第九章习题答案收集自网络9.1如图P9.1所示，两个理想模拟滤波器级联和并联，其中是低通，截止频率为；是高通，截止频率为：(a)当时，试证明，图P9.1(a)相当于一个理想带通滤波器，并确定其通带宽度。（b）当时，试证明，图P9.1(b)相当于一个理想带阻滤波器，并确定阻带宽度。（c）如果按图P9.1联接的是两个数字滤波器（离散时间滤波器），情况会是如何？ (a) （b）解：（a）是低通，截止频率为；是高通，截止频率为 ， 当时， 故级联后的滤波器为理想带通滤波器，其通带宽度为：。 （b）当 时， ， 故级联后的滤波器为带阻滤波器，阻带宽度为： （c）数字滤波器结果与上类似。9.2图P9.2中的系统常用来从低通滤波器获得高通滤波器，反之亦然。(a) 证明当是截止频率为的理想低通滤波器时，整个系统相当于一个理想高通滤波器。确定其截止频率，并粗略绘出其单位冲激响应。（b）如果是一个截止频率为的理想高通滤波器，证明整个系统相当于一个理想低通滤波器。并确定其截止频率。（c）如果把一个离散时间理想低通（或高通）滤波器按图P9.2联接，所组成的系统是理想的离散时间高通（或低通）滤波器吗？ 图P9.2 解：（a）是低通滤波器，截止频率为 整个系统的频率响应为： 故整个系统为高通滤波器。其单位冲激响应为：其波形如图所示。 （b）是高通滤波器，截止频率为 整个系统的频率响应为： 故整个系统相当于一个理想低通滤波器，其截止频率为。 （c）是。图9.39.3某模拟低通滤波器的幅频特性如图P9.3所示。试对下列每种相位特性，求出该滤波器的单位冲激响应并概略绘出其波形。（a）=0（b）=T，其中T为常数（c）= 解：（a）若=0，则有： 波形如图所示： （b）若=T,则有： （c)如 =，则 可视为如下的卷积： 9.4若某离散时间理想低通滤波器的单位脉冲响应为，频率响应如图P9.4所示。另一个新的滤波器的单位脉冲响应为，且 试确定并粗略画出新滤波器的频率特性。指出它属于哪一种滤波器（低通，高通，带通，带阻）。 1 2 1 解：,其频谱如下所示,它是一个带阻滤波器。 9.5 在许多滤波问题中，人们总希望相位特性是零或者是线性的。对因果滤波器，实现零相位是不可能的。然而，在非实时要求的情况下，零相位过滤是可能的。如果要处理的序列是有限长的，是一个具有任意相位特性的因果滤波器的单位脉冲响应，且是一个具有任意相位特性的因果滤波器的单位脉冲响应，且为实序列，则可以通过以下两种方法实现对的零相位过滤。（a）按以下三步进行，如图P9.5(a)所示。（b）按以下三步进行，如图P9.5(b)所示。分别对以上两种方法求出从输入到输出的整个系统的系统函数，单位脉冲响应，并证明该系统具有零相位特性。 (1) (1) (2) (2) (3) (3) (a) (b) 图P9.5解：（a）由图P9.5(a）可知： 又的傅立叶变换为 的傅立叶变换为 又为实序列，则： 故系统函数为： 单位冲激响应为：，它具有零相位特性。(b）由图P9.5(b）可知： 又为实序列，则 ： 这表明复合滤波器具有零相位特性。 故系统函数为： 单位冲激响应为：。9.6 频率选择性滤波器往往被用来分离两个加性信号。如果两个加性信号的频谱不重叠，则用滤波器就可达到目的。然而，当频谱有重叠时，把滤波器设计成从通带到阻带逐渐过渡的形状往往更为可取。本题旨在研究确定滤波器频率响应的一种方法，这种滤波器可以用来近似地分离频谱重叠的信号。设是一个复合信号，。我们希望设计一个LTI滤波器，从中分离出，如图P9.6（a）所示。也就是说，滤波器的频率响应应使是对较好的近似。假定用作为与之间误差的度量，定义为 其中和分别是和的傅立叶变换。（a） 用，和表示。其中。（b） 限定为实函数，因此。通过使对的导数为零，确定使误差为最小的。（c） 证明：如果和不重叠，则（b）中的结果就变为一个理想滤波器。（d） 如果与如图P9.6(b）所示，根据（b）的结果，确定并概略画出。1-220-1110 (a) (b) 图P9.6(a) 由图p9.6(a)可得： 故有： （b） = 令：得： 如果在某一个频率处有，则此时，从而有。对此频率来说，可以取任意值。（c） 如果和不重叠，则。 设在区域为非零，在区域非零，则： 当时，； 当时，。在此情况下，具有如下特性： 当时，； 当时，；当时，可为任意值，当然可以规定为。 由以上讨论可见，在与不重叠时，具有理想滤波器特性。-2-101210.5（d）根据图p9.6(b)和（b）的结果可得： 9.7 题9.6讨论了当两个信号的频谱有重叠时，为了从加性信号中分离出一个信号，选择连续时间滤波器频率特性的一种特殊准则。试对离散时间的情况，导出与题9.6（b ）中所得结果相对应的结果。 分别用，和代替题9.6中的，和有： 假定为实函数，相应有： 令，得：同样， 如果在某一个频率处有，则此时，从而有。对此频率来说，可以取任意值。9.8 在许多滤波器应用中，往往不希望滤波器的阶跃响应出现过冲。例如图象处理中，滤波器阶跃响应的过冲会产生图象轮廓的勾边现象。当滤波器的冲激响应始终非负时，可以消除过冲现象。（a）证明：如果连续时间滤波器的 始终大于或等于零，即，则该滤波器的阶跃响应是单调非减的函数，因而不会发生过冲。(b) 证明：如果离散时间滤波器的单位脉冲响应总大于或等于零，即 ，则其阶跃响应是单调非减的函数，因而不会发生过冲。解：(a)设为连续时间LTI滤波器的阶跃响应，则有： 因此，当时，有，这表明是单调非减的函数，因而不会发生过冲。（b）设为离散时间LTI滤波器的阶跃响应，则有： 因此，当时，有，这表明是单调非减的函数，因而不会发生过冲。9.9 对因果的离散时间LTI系统，试推导出其频率响应的实部和虚部之间的依从关系。即离散时间的实部与虚部自满关系。 解: 设因果系统的单位脉冲响应为,则根据系统的因果性,有:对上式两边同时取傅立叶变换,有: 整理后有: 令: ,带入上式并整理后有: 所以: 9.10对图P9.1所示归一化滤波电路，分别求出其去归一化的实际元件参数，已知工作频率，负载电阻。解: 由公式9.24,9.26,9.28得实际阻抗和归一化阻抗,实际感抗和归一化感抗,实际容抗和归一化容抗间满足如下关系: (a) ; (b) ;(d)9.11设计一个巴特沃思模拟低通滤波器，技术指标为： , 要求得到归一化滤波器的系统函数和归一化电路及归一化元件参量。 解：（1）根据技术指标知此时，对阻带频率归一化可得： （2）查图9.8(b)可得5阶巴特沃思模拟低通滤波器满足时，的要求，故定阶为。 （3）查表9.1可得5阶巴特沃思模拟低通滤波器归一化系统函数为： （4）查表9.2可得归一化电路结构和元件参量如下图所示。 其中， 9.12 设计一个巴特沃思模拟低通滤波器，技术指标为： 要求得到归一化滤波器的系统函数，并求出该滤波器的3dB带宽。解：（1）根据9.32式确定滤波器的阶数。 取整数后为：。（2）确定3dB带宽阶数取整数后滤波器有富裕量，将其留给阻带，则将阶数代入公式9.30得： 代入数据后解得： 阶数取整数后滤波器有富裕量，将其留给通带，则将阶数代入公式9.31得： 代入数据后解得： （3）确定归一化滤波器系统函数 当，时，查表9.8（b）得5阶巴特沃思模拟低通滤波器满足。当，时，查表9.8（b）得5阶巴特沃思模拟低通滤波器满足。故归一化滤波器系统函数为： 913设计两个切比雪夫模拟低通滤波器，它们的技术指标分别为：（a） （b）要求得到归一化滤波器的系统函数.解：（a）阻带频率归一化得： 查表9.12(b)可得切比雪夫模拟低通滤波器阶数为.再查表9.3(2)可得切比雪夫模拟低通归一化滤波器的系统函数(b)切比雪夫模拟低通滤波器衰减函数为：当时，此时有：当时， 又归一化阻带频率为： 将代入公式9.37得滤波器阶数为： 9.14若巴特沃思模拟低通滤波器技术指标为：试通过计算和查图表两种方法确定滤波器的阶数并设计出归一电路。解：（1）查表法：（a） 根据技术指标知此时，对阻带频率归一化，可得： （b） 查图9.8(b)可得巴特沃思模拟低通滤波器阶数为。（c） 查表9.1可得3阶巴特沃思模拟低通滤波器归一化系统函数为： （2）直接计算法： （a）由公式9.32可得阶数为： 取整数得巴特沃思模拟低通滤波器阶数为。（b）查表9.1可得3阶巴特沃思模拟低通滤波器归一化系统函数为： 归一化电路如下图所示。 其中，9.15 若巴特沃思模拟低通的技术指标为： 试通过计算确定该滤波器的阶数。并算出其3dB带宽。解：由公式9.32可以确定滤波器的阶数。 取整数后有：。 将富裕量留给阻带，则将阶数代入9.30后有： 将富裕量留给通带，则将阶数代入9.31后有： 9.16 试求切比雪夫模拟低通滤波器的系统函数表达式。技术指标为：时， 时， 解：（1）对阻带频率进行归一化，有： （2）查表9.12(b)得切比雪夫模拟低通滤波器阶数为：。（3）再查表9.3(2)得切比雪夫模拟低通滤波器归一化系统函数为： 9.17（a）一个二阶巴特沃思低通和一个二阶切比雪夫低通都满足通带衰减，阻带衰减的要求，若它们的通带截止频率相同，通过查图表确定并比较它们的阻带频率。（b）若给定 ，试确定满足该技术指标的巴特沃思低通与切比雪夫低通的最低阶数。解：（a）对巴特沃思低通滤波器，查图9.8 (b)得： 对切比雪夫低通滤波器，查表9.12得： 在通带截止频率相同的情况下，可以看到切比雪夫低通滤波器的阻带截止频率小于巴特沃思低通滤波器的阻带截止频率。 （b） 对巴特沃思低通滤波器有： 取整数后有：。对切比雪夫低通滤波器有： 取整数后有：。9.18 设计一个巴特沃思高通滤波器，技术要求为：时阻带衰减大于40dB；时，通带衰减小于3dB。解：（1）对高通进行频率归一化，以为归一化因子有： ； 根据9.39式得相应的低通原型的归一化截止频率为： 从而，低通原型滤波器的技术指标为： 。（2）查表9.8(b）可得三阶巴特沃思低通滤波器满足上述要求。低通原型的归一化系统函数为： （3）巴特沃思高通滤波器系统函数为： 9.19 设计一个切比雪夫高通滤波器，其技术指标为： 解：（1）对高通进行频率归一化，以为归一化因子有： ； 根据9.39式得相应的低通原型的归一化截止频率为： 从而，低通原型滤波器的技术指标为： 。（2） 查图9.12(b）可得6阶切比雪夫低通滤波器满足上述要求。低通原型的归一化系统函数为： （3）切比雪夫高通滤波器归一化系统函数为： 9.20 设计一个满足下列技术指标的巴特沃思高通滤波器： 通带 , 阻带 解：（1）先设计对应的低通原型滤波器，其技术指标为： ； 由公式9.32得滤波器的阶数满足： 4阶低通滤波器的归一化系统函数为： （2）巴特沃思高通滤波器系统函数为：9.21用切比雪夫滤波器实现题9.20的技术指标。解：（1）先设计对应的低通原型滤波器，其技术指标为： ； 查图9.21可得切比雪夫低通滤波器的阶数为。 3阶低通滤波器的归一化系统函数为： （2）切比雪夫高通滤波器归一化系统函数为： 9.22 设计一个满足下列指标的带通滤波器： 通带 ， 阻带 电源内阻 （a）用巴特沃思滤波器设计。(b) 用切比雪夫滤波器设计。解：（a）按巴特沃思滤波器设计。 将给定的带通指标转化为低通指标，有： 归一化低通的通带截止频率为： 归一化低通的阻带截止频率为： 低通原型的指标为： 取整数后为：. 4阶低通滤波器的归一化系统函数为： 根据表9.4，将上式中的换成即可获得带通滤波器的实际系统函数. （b）按切比雪夫滤波器设计。 取 ，可得三阶切比雪夫低通滤波器的归一化系统函数为： 将上式中换成，即可以得到三阶切比雪夫带阻滤波器的系统函数。9.23设计满足下列指标的带阻滤波器： 通带 ，, 阻带 , 电源内阻 (a)用巴特沃思逼近。(b)用切比雪夫逼近。解：（a）按巴特沃思滤波器设计。 将给定的带阻指标转化为带通指标，再转化为归一化低通指标，有： 归一化低通的通带截止频率为： 归一化低通的阻带截止频率为： 低通原型的指标为： 取整数后为：. 4阶低通滤波器的归一化系统函数为： 查表9.4可以获得带阻滤波器的实际系统函数为： （b）按切比雪夫滤波器设计。 取 ，可得三阶切比雪夫低通滤波器的归一化系统函数为： 将上式中换成，即可以得到三阶切比雪夫带阻滤波器的系统函数。9.24求出图P9.24所示有源滤波器电路的系统函数。大致绘出其频率响应的波特图，说明它们分别是什么类型的滤波器。说明图P9.24（c），（d）中与构成的反馈电路决定该电路的放大倍数。 解：（a） :低通滤波器 (b) ：高通滤波器(c)：带通滤波器(d）：带通滤波器 925 某电子设备采用一个巴特沃思低通与一个巴特沃思高通级联构成一个带通滤波器。带通的通带上、下截止频率分别为200kHz和100 kHz；通带内衰减不大于3dB；低频段在50kHz时；在高频段时，试分别求出所需高通与低通的系统函数与。 解: 通过分析可知，满足如下技术参数的高通滤波器和低通滤波器级联后可以构成所需带通滤波器： 高通滤波器：时，； 时， 低通滤波器：时，；时，（1） 高通滤波器设计：（a）对高通进行频率归一化，以为归一化因子有： ； 根据9.39式得相应的低通原型的归一化截止频率为： 从而，低通原型滤波器的技术指标为： 。 由公式9.32得滤波器的阶数满足： (b) 4阶低通滤波器的归一化系统函数为： （c）巴特沃思高通滤波器系统函数为： （2） 低通滤波器设计 解法同上述低通原型设计，可以得到：9.26 用脉冲响应不变法将以下转换为，设采样周期为。 解：（a）将进行部分分式展开，有： 从而有： （b）将进行部分分式展开，有： 从而有： (c) 将进行部分分式展开，有： 从而有： (d) 没有单重极点，不能进行部分分式展开。 根据脉冲响应不变法，有： ，对其进行变换有： 9.27用脉冲响应不变法设计一个三阶巴特沃思数字低通滤波器，采样频率为，截止频率。并画出该系统的并联型结构。解：三阶巴特沃思模拟低通滤波器的归一化系统函数为： 去归一化后得系统函数为： 将其进行部分分式展开，有： 根据（9.55）和（9.56）式有： ，将代入上式，整理后有： 。其并联型结构如下图所示： DDD0.36780.57741.212-0.3678678-0.7 9.28 用双线性变换法设计一个三阶巴特沃思数字低通滤波器，采样频率为，截止频率。解：对模拟低通截止频率进行预畸变，有： 三阶巴特沃思模拟低通滤波器的归一化系统函数为： 对上式去频率归一化，得： 将 代入上式整理后有： 对进行双线性变换，有： 9.29利用双线性变换法设计满足下列技术要求的数字低通滤波器：;抽样频率.(a)用巴特沃思型设计。 （b）用切比雪夫型设计。解：（a）用巴特沃思型设计 对频率进行预畸变，有： 由公式9.32得滤波器的阶数满足： 滤波器阶数为查表9.1可得9阶巴特沃思模拟低通滤波器的归一化系统函数为： 根据表9.5，得巴特沃思数字低通滤波器的系统函数为： =(b) 用切比雪夫型设计,根据(9.37)计算低通原型的阶数 故阶数查表9.3可得5阶切比雪夫低通滤波器的归一化系统函数为： 根据表9.5，得切比雪夫数字低通滤波器的系统函数为： =9.30利用双线型变换法设计数字低通滤波器。指标为：通带最大波动；阻带最小衰减；通带截止数字频率,阻带截止数字频率，抽样频率。(a)用巴特沃思型设计。 (b)用切比雪夫型设计。解： 对频率进行预畸变，得到模拟滤波器的技术指标： （a） 用巴特沃思型设计计算模拟低通滤波器的阶数：滤波器阶数为.选用39阶的巴特沃思低通滤波器进行低通原型设计，再采用表9.5从模拟低通原型变换到数字低通。（b） 用切比雪夫型设计 滤波器阶数为.选用13阶的切比雪夫低通滤波器进行低通原型设计，再采用表9.5从模拟低通原型变换到数字低通。9.31用双线性变换法设计一个三阶巴特沃思数字高通滤波器。采样频率，截止频率（3kHz以上的频率分量不计）。解：对频率进行预畸变，得模拟截止频率 又三阶巴特沃思模拟低通滤波器的归一化系统函数为： 查表9.5可得三阶巴特沃思数字高通滤波器的系统函数为： 9.32 用双线性变换法设计数字带通滤波器，技术指标为： 通带，通带截止频率, 抽样频率.解： 如采用巴特沃思型设计，则滤波器阶数为：取整数后为：9.33利用双线性变换法设计巴特沃思数字带通滤波器，已知抽样频率，其等效的模拟滤波器指标为： 解： 通带上截止频率为： 通带下截止频率为： 阻带截止频率为： 按表9.6进行预畸变，有： =9.34用矩形窗设计线性相位高通滤波器。已知 （a）求出单位脉冲响应的表达式，确定与的关系。 （b）该滤波器有几种类型，分别属于哪一种线性相位过滤器？ （c）改用海宁窗进行设计，求出的表达式。解： (a) =为了保证线性相位，。 (b) 当为奇数，为第一种情况，滤波器偶对称。若N为偶数，为第四种情况，滤波器奇对称。 (c) 。9.35 若线性相位高通滤波器的特性为 重复9.34题的各项要求。解：(a) (b) 为了保证线性相位若N为奇数，设N=2k+1则a=kh(n)满足奇对称，即h(n)=-h(N-1-n)属于第III类FIR滤波器若N为偶数，设N=2k则a=k-1/2h(n)满足偶对称，即h(n)=h(N-1-n)属于第II类FIR滤波器(c)9.36 用矩形窗设计线性相位带通滤波器，已知 （a）取为奇数，设计。（b）取为偶数，设计。（c）若用汉明窗设计，分别求出以上两种情况的表达式。解： (a) N为奇数时，设N=2k+1，h(n)满足于偶对称，属于第I类FIR滤波器(b) N为偶数时，设N=2k,a=k-1/2h(n)满足偶对称，属于第II类FIR滤波器(c) N为奇数时，用升余弦窗设计N为偶数，用升余弦窗设计9.37 用矩形窗设计线性相位正交变换网络。已知 （a）求的表达式。（b）选奇数好还是选偶数好？还是性能一样好，为什么？（c）若用凯塞窗进行设计，求的表达式。解：（a） (b)N为奇数时，a=(N-1)/2=kN为偶数时，a=(N-1)/2=k-1/2N为偶数时性能好.(c) 9.38用频率采样法设计线性相位低通滤波器。，幅度采样值为 （a）设计采样值的相位，并求出和的表达式。 （b）用横截型和频率采样型两种结构实现该滤波器。画出其结构图。 （c）比较这两种结构所需的乘法和加法数目的多少？解：(a)(b)横截型x(n) 频率采样型 H(0) x(n) H(1) 1/15 y(n) H(14) (c)横截型用的乘法器多，频率采样型用的加法器多9.39 已知是一个的偶对称序列，是圆周移动以后所得的序列，如图P9.39所示。，（a）试问成立吗？与有何关系？（b）分别以和作为单位脉冲响应构成的低通滤波器是否是线性相位滤波器，其时延是多少？（c）这两个滤波器的性能是否相同，若不相同，谁优谁劣，为什么？解：(a)为的圆周移位(b) 如图所示，又知，均关于n=3.5偶对称，所以属于线性相位滤波器,时延为3.5(c) 滤波器性能不一样。9.40 用频率采样法设计线性相位高通滤波器，截止频率，边沿设置一个过渡点，试设计采样值。（a）取N=33，（b）取N=34。解：(a) N=33(b) N=349.41用频率采样法设计线性相位带通滤波器，其通带上下截止频率为，不设边沿过渡点，试对N=33和N=34的情