毕业设计（论文）-求解抛物线问题的一种谱方法.pdf

毕业设计（论文）任务书毕业设计（论文）任务书毕业设计（论文）任务书毕业设计（论文）任务书数学与计算科学学院数学与应用数学专业06-02班题目求解抛物问题的一种谱方法任务起止日期：2010年4月5日2010年6月25日学生姓名王成宇学号200664090221指导教师姜英军教研室主任2009年12月25日审查院长2009年12月29日批准一、一、毕业设计（论文）任务毕业设计（论文）任务课题内容1.本课题使用谱方法求解下面二阶微分方程：)(22xfxutu=并分析算法的收敛性2.进行相应的数值试验，验证分析理论结果课题任务要求：1.根据毕业设计（论文）任务书完成开题报告；2.得出离散方程；3.能够编程进行数值实验并得出相应结论；4.研究要系统、完整、科学、严谨；5.按时完成毕业论文；6.论文及相关材料符合长沙理工大学毕业设计（论文）管理条例和数计学院毕业设计（论文）工作条例课题完成后应提交的资料（或图表、设计图纸）1.规范的毕业设计（论文）一本（撰写规范见教务处网页）；2.任务书一份；3.开题报告（含文献综述）一份；4.译文（5000字）及原文影印件各一份；5.论文电子文档由学院收集保存主要参考文献与外文翻译文件（由指导教师选定）1李庆杨数值分析华中科技大学，2006150-1572全惠云数值分析与应用程序武汉大学出版社200724-25，22卷3何松年.谱方法及其应用J.中国民航学院学报2000:30-3218卷.4向新民.一类半线性抛物方程的Laguerre-Fourier全离散谱逼近上海师范大学学报2002:8-125ChenglongXuBen-yuGuoLaguerrepseudospectralfornonlinearpartialdifferentialequationsJ.Comp.Math.20(2002)413_428.MR1914675(2003e:65184)Ben-yuJ.ShenMastroianniCheng-long.6T.TangX.XuJ.ChengOnspectralsforVolterratypeintegralequationsandtheconvergenceanalysisJ.Comput.Math.26(6)(2008)825_837.7C.CanutoM.Y.HussainiA.QuarteroniT.A.ZangSpectralsFundamentalsinSingleDomainsSpringer-Verlag2006.外文翻译文件:JournalofAirTransportManagement8(2002)325337同组设计者无注：1.此任务书由指导教师填写。如不够填写，可另加页。2.此任务书最迟必须在毕业设计（论文）开始前一周下达给学生。3.此任务书可从教务处网页表格下载区下载二、毕业设计（论文）工作进度计划表二、毕业设计（论文）工作进度计划表二、毕业设计（论文）工作进度计划表二、毕业设计（论文）工作进度计划表序序序序号号号号毕毕毕毕业业业业设设设设计（论计（论计（论计（论文）工文）工文）工文）工作作作作任任任任务务务务工工工工作作作作进进进进度度度度日日日日程程程程安安安安排排排排周周周周次次次次11112222333344445555666677778888999910101010111111111212121213131313141414141515151516161616171717171818181819191919202020201搜集资料一2英文翻译一一3撰写毕业论文一一一一一一一一一一一4中期检查一5毕业论文修改一6毕业论文答辩一7毕业论文资料整理一8910注：1.此表由导师填写；2.此表每个学生人手一份，作为毕业设计（论文）检查工作进度之依据；3.进度安排请用“一”在相应位置画出。三、学生完成毕业设计（论文）阶段任务情况检查表三、学生完成毕业设计（论文）阶段任务情况检查表时间第一阶段第二阶段第三阶段内容组织纪律完成任务情况组织纪律完成任务情况组织纪律完成任务情况检查记录教师签字签字日期签字日期签字日期注：1.此表应由指导教师认真填写。阶段分布由各学院自行决定。2.“组织纪律”一档应按长沙理工大学学生学籍管理实施办法精神，根据学生具体执行情况，如实填写。3.“完成任务情况”一档应按学生是否按进度保质保量完成任务的情况填写。包括优点，存在的问题与建议4.对违纪和不能按时完成任务者，指导教师可根据情节轻重对该生提出忠告并督促其完成。四、学生毕业设计（论文）装袋要求：四、学生毕业设计（论文）装袋要求：1.毕业设计（论文）按以下排列顺序印刷与装订成一本（撰写规范见教务处网页）。(1)封面(2)扉页(3)毕业设计（论文）任务书(4)中文摘要(5)英文摘要(6)目录(7)正文(8)参考文献(9)致谢(10)附录（公式的推演、图表、程序等）(11)附件1：开题报告（文献综述）(12)附件2：译文及原文影印件2.需单独装订的图纸（设计类）按顺序装订成一本。3.修改稿（经、管、文法类专业）按顺序装订成一本。4.毕业设计(论文)成绩评定书一份。5论文电子文档由各学院收集保存。学生送交全部文件日期学生（签名）指导教师验收（签名）求解抛物问题的一种谱方法求解抛物问题的一种谱方法摘要谱方法是一种既古老又新兴的求解偏微分方程的数值方法它的最大魅力是具有所谓“无穷阶”收敛性，即如果原方程的解无穷光滑，那么用适当的谱方法所求得的近似解众多的实际应用和数值实例也证实了该方法的有效性本文要求解一个抛物方程，先找到它的一个近似函数，然后运用谱方法的知识对该近似函数进行求解则可得到原抛物方程的近似解通过对近似解的分析，可得到原函数的结论关键字：谱方法；无穷阶；近似函数求解抛物问题的一种谱方法SolvingtheproblemofthrowingaspectralABSTRACTSpectralisbothancientandnewnumericalforsolvingpartialdifferentialequations.Itsgreatestcharmisaso-calledinfiniteorderconvergencethatmeansifthesolutionoforiginalequationisinfiniteandsmooththencanusetheappropriatespectraltocalculateobtainedapproximatesolution.Manypracticalapplicationsandanumericalexamplealsoconfirmstheeffectivenessofthe.Thispaperrequirestosolveanparabolicequationatfirstfindanapproximatefunctionandthenusetheknowledgeofspectralstosolvetheapproximatefunction.Theoriginalapproximatesolutionofparabolicequationscanbecalculated.Accordingtotheanalysisoftheapproximatesolutiontheconclusionoftheoriginalfunctioncanbegot.KeywordsKeywordsKeywordsKeywords：Spectral；Infiniteorder；Approximatefunction求解抛物问题的一种谱方法目录1111绪绪论论.11.1数值分析研究的对象与特点.11.2谱方法的基本介绍.22222谱方法的基本思想与特征谱方法的基本思想与特征.42.1谱方法的基本思想.42.2谱方法的特征.63333基本理论基本理论.83.1Chebyshev逼近.83.2投影误差分析.123.3插值误差分析.164444求解方法及数值实验求解方法及数值实验.194.1求解方法.194.2数值试验结果.20结论结论.22参考文献参考文献.23致谢致谢.24附录附录数值实验程序数值实验程序.25求解抛物问题的一种谱方法第1页共25页1绪论1.1数值分析研究的对象与特点数值分析是研究各种数学问题求解的数值计算方法在电子计算机成为数值计算的主要工具以后，人们迫切要求研究适合于计算机使用的数值计算方法为了更具体地说明数值分析的研究对象，我们来考察用计算机解决科学计算问题时所经历的过程（见图1.1）由实际问题的提出到上机计算求得结果，整个过程都可看做应用数学的研究对象如果细分的话，针对实际问题应用有关科学知识和数学理论建立数学模型这一过程，通常作为应用数学的研究对象，而根据数学模型提出求解的数值计算方法直到编出程序上机算出结果这一过程，则是计算数学的研究对象，也是数值分析的研究对象因此，数值分析就是研究用计算机解决数学问题的数值方法及理论，它的内容包括函数的数值逼近、数值微分与数值积分、非线性方程数值解、数值线性代数、微分方程数值解等，它们都是以数学问题为研究对象的因此，数值分析是数学的一个分支，只是它不像纯数学那样只研究数学本身的理论，而是把理论与计算紧密结合起来，着重研究数学问题的数值方法及其理论数值分析也称为计算方法，但不应片面地将它理解为各种数值方法的简单罗列和堆积同数学分析一样，它内容丰富，研究方法深刻，有自身理论体系的课程，既有纯数学的高度抽象性与严密科学性的特点，又有应用的广泛性与实际试验的高度技术性的特点，是一门与计算机使用密切结合的、实用性很强的数学课程它与纯数学课程不同，例如，在考虑线性方程组数值解时，“线性代数”中只介绍解存在的唯一性及有关理论和精确解法，运用这些理论和方法，无法在计算机上求解上百个未知数的方程组，更不用说求解十几万个未知数的方程组了程序设计数值计算方法实际问题数学模型上机计算求得结求解抛物问题的一种谱方法第2页共25页求解这类问题还应根据方程特点，研究适合计算机使用的、满足精度要求的、计算省时间的有效算法及其相关的理论；在实现这些算法是往往还要根据计算机容量、字长、速度等指标，研究具体求解步骤和程序设计技巧；有的方法在理论上虽不够严格，但通过实际计算、对比分析等手段，只要能证明他们是行之有效的方法，也应采用这些就是数值分析具有的特点，概括起来有四点第一，面向计算机，要根据计算机特点提供实际可行的有效算法，即算法只能包括加、减、乘、除运算和逻辑运算，它们都是计算机能直接处理的第二，有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求，对近似算法要保证收敛性和数值稳定性，还要对误差进行分析这些都要建立在相应的数学理论的基础上第三，有好的计算复杂性时间复杂性好是指节省时间，空间复杂性好是指节省存储量，这也是建立算法要研究的问题，它关系到算法能否在计算机上实现第四，有数值实验任何一个算法，除了从理论上要满足上述三点外，还要通过数值实验证明它是行之有效的21.2谱方法的基本介绍谱方法是一种既古老又新兴的求解偏微分方程的数值方法早在1820年，Navier就运用双重三角级数求解弹性薄板问题但是，长期以来，由于它计算量大而一直没有被广泛使用，直到1965年快速Fourier变换的出现，才给谱方法带来了生机近几十年来，谱方法得到了蓬勃的发展，不仅广泛地运用于物理、力学、大气、海洋等领域的数值计算这部分可参看文献7，而且他的数值分析理论也不断地完善至今，谱方法已和有限差分法、有限元法一起成为偏微分方程数值求解的第三种基本方法谱方法起源于Ritz-Galerkin方法，它是以正交多项式（三角多项式、Chebyshev多项式、Legendre多项式等，它们分别是正则和奇异Sturm-Liouville问题的普函数）作为基函数的Galerkin方法、Tau方法或配置法它们分别称为谱方法、Tub方法或拟谱方法（配点法），统称为谱方法谱方法的最大魅力是它具有所谓“无穷阶”收敛性，即如果原方程的解无穷求解抛物问题的一种谱方法第3页共25页光滑，那么用适当的谱方法所求得的近似解将以1N的任意幂次速度收敛于精确解，这里N为所选取的基函数个数这一优点是有限差分和有限元法无法比拟的，众多的实际应用和数值实例也证实了该方法的有效性因此，谱方法日益受到人们的重视本文将使用谱方法求解下面抛物方程=+=0)1()1(.11)()0(1011)()()(022tutuxxuxutxtxfxtxuttxu接下来的内容组织如下：第二章介绍关于谱方法的基本思想，其中会举一个常用的物理中的例子来具体说明谱方法的基本思想第三章主要是关于谱方法的基本理论，其中主要讲解Chebyshev逼近第四章是关于求解抛物方程的方法及数值实验求解抛物问题的一种谱方法第4页共25页2谱方法的基本思想与特征2.1谱方法的基本思想谱方法的由来已久早在1820年，Navier就提出了四边铰链支承的长方薄板问题的重三角级数解法用一个简单的例子来说明谱方法的基本思想例热传导方程的Fourier-sine谱方法考虑抛物型方程初边值问题=tNetxutxutNN由上可见，谱方法解题过程包括两个步骤第一步是选取基函数（通常要求它们满足边界条件若不满足边值条件，则将导出称为Tau逼近的方法），并由此确定近似解Nu所属的逼近空间NV在上面例子中，基函数取为).21(sinNnnx=而.1|sinNnnxSpanVN=显然，nxsin是用分离变量法求解问题（2.1）时导出关于变量x的特征值问题的普函数但对于一般的问题，要求出相应的普函数是十分困难的即使能够求出普函数，也还可能存在按其展开收敛速度太慢，运算量太大及计算不够稳定等问题因此，在目前谱方法基本上不考虑和求解问题相联系的普函数，而总是采用逼近性质良好，且便于利用快速变换来计算的三角多项式和Chebyshev多项式等作为基函数9求解时第二步是如何将无限维问题简化为有限维问题假设在一个hilbcrt空间中考虑原问题，则上面所用的截断方法实际上就是定义了一个从NVH的Galerkin投影算子Np，然后要求方程两端在NV中的投影相等事实上在Galerkin方程()=)()0()()(22NNNNNVfuVxtuttu(2.6)中用（2.4）式代入，即导出谱逼近方程（2.5）需要说明的是，本例中的微分算子不是自伴的，因此不存在自然地极小能量原理所以不要把上述方法同Ritz法相联系对于具有极小能量原理的问题，例如上面提到的长方薄板问题，完全可用Ritz方法从求泛函的极小出发来导出上述逼近这同有限元法中的有关情况相类似8求解抛物问题的一种谱方法第6页共25页2.2谱方法的特征通过列证我们发现，为了求出nf必须借助于数值积分如果方程中有右端项，变系数项和非线性项，则当计算它们的Galerkin投影系数时同样存在这个问题因此，对于一般的方程实际上无法严格实施谱方法此外，在计算时虽然可借助于FFT，但工作量仍较大为了避免这个困难，产生了基于配置法的拟谱方法对于问题（2.1），拟谱逼近是找NNVu使得=.21)()0(.21)()(22NjxfxuNjxtxuttxujjNjNjN(2.7)其中)1(+=Njxj，称为配置点或插值点拟谱方法就是在选定逼近空间NV之后，在适当选取求解区域上的N个点jx，使得NV中的任一函数由自由度集合Njxj1)(唯一确定，然后要求方程在这些配置点上相等这实际上是定义了一个以jx为插值点的，到NV上的插值投影算子jx的取法保证了插值投影的唯一可解而拟谱方法逼近就等价于要求方程两端的插值投影相等因此，若将Nu的系数记为na，f的插值投影系数记为nf，则（2.7）就等价于=.21)0(.21)()(2NnfaNntandttadnnnn(2.8)根据插值条件得到jNjjnxxfNfsin)(121=+=显然，这里只需要一个简单的求和过程对于变系数项和非线性项也可同样处理，相当简捷计算时又可利用FFT，使得工作量大为减少容易推出，系数nf和nf之间满足下列关系式求解抛物问题的一种谱方法第7页共25页()11)1()1(NnfffflnNlnNln+=+可见，nf中混杂了高频项系数nNlf+)1(（.21=l），此种现象称为混迭效应（aliasing），它反映了谱方法同拟谱方法的内在区别，是拟谱方法中一个很重要的问题，因为它有时会影响非线性计算的稳定性，造成虚假的能量增长而毁坏计算（不过对此颇有争议）求解抛物问题的一种谱方法第8页共25页3基本理论3.1Chebyshev逼近由于Chebyshev多项式与三角多项式存在着密切的关系，常常通过变换化为三角多项式，所以Chebyshev多项式的逼近在谱方法中具有特殊的地位，尤其是它可运用于求解非周期边值问题然而由于Chebyshev多项式是带权(x)=212)1(x正交的，(x)具有弱奇性，这样就需要重新建立一系列Sobolev空间嵌入结果和相应的投影、插值等误差估计这里我们从带权的Sobolev空间的定义出发导出不同空间的投影和插值误差记mH(-1，1)=mH(I)为以(x)=212)1(x为权的m阶Sobolev空间，其内积和范数分别定义为=mkIkkmdxxxxuu0)()()()()()(，21)(|mmuuu=(3.1)()+=pdxxxuupIpILp1)(|)(|1)(3.2)当p=时=)(|)(|sup|)(ILIxILuxuessu(3.3)容易证明mH(I)为Hilbert空间，2)1)(+ppILp为Banach空间设)()(2ILxu，它的Chebyshev展开为)(2)(0kkkkkkTucuxTu=+=，其中)1(120=kcck，而且有=0220|2|kkkucu和=NkkxTuxu000|)()(|，当N时(3.4)求解抛物问题的一种谱方法第9页共25页注意到当20时，若令=0cos)(cos)(kkuuu，(3.5)那末=201)()(21)()(ILududxxxuI(3.6)为了证明逆不等式，先引进如下几个不等式:引理3.1.1设)(xpn为11x的n次代数多项式，则有|)(|max1|)(|2xpxnxpnIxn(3.7)引理3.1.2对任意次数1n的代数多项式)(1xpn，有|)(1|max|)(|max121xpxnxpnIxnIx(3.8)证明令|)(1|max12xpxnMnIx=，故只需证明当Ix时，Mxpn|)(|1即可注意到n次Chebyshev多项式)(xTn的零点为2)12(cosnkxk=nk.21=于是当1xxxn时nnxx12sin2cos1112212=，由此Mxpxnxpnn|)(|1|)(|121另外对)(1xpn的Lagrange插值可知knknnkkknxxxTxpxnxp=)()(1)1(1)(11211(3.9)这是由于knxxxT)(为一)1(n次多项式，且当ki时，0)(=kiinxxxT，而求解抛物问题的一种谱方法第10页共25页)()()(lim|)(knkknnxxxxknxTxxxTxTxxxTkk=，又)arccoscos()(xnxTn=，故nkxxnxnxTkn2)12(arccos)arccossin(1)(2=，从而211)1()(kkknxnxT=这样当kxx=时，(3.9)左右两端均为)(1knxp另外(3.9)的左右两端均为次数1n的多项式，它们在n个点)21(nixi=上相等，故必恒等这样当nxx1及11xx时，由于)1(nkxxk=均为同号，故有knknnkknxxxTxpxnnxp=)(|)(1|1|)(|11221=nkknnkknxxxTnMxxxTnM1212)()(另外)(2)(11knknnxxxT=，=nkknjnkjjnknnxxxTxxxT1111)()(2)(令cos=x，由nnsinsin可知2sinsin|)(|nnnxTn=，从而Mxpn|)(|1证毕引理3.1.3(Markov不等式)对于任意次数n的多项式)(xpn，均有|)(|max|)(|max2xpnxpnIxnIx(3.10)引理3.1.4对任意次数n的多项式，均有|)(|max2|)(|max2xpabnxpnbxanbxa(3.11)求解抛物问题的一种谱方法第11页共25页利用上述结果，类似于三角多项式有对任意NP，当+qp1时，有)(11)(|ILqpILpqcN(3.12)和逆不等式)(2)()(|ILrILrppcN，(3.13)其中12+rp为整数证明对任意NP，有)(cos)(=，于是由Nikolskii不等式(3.13)()qqqIqILddxxxq1201)(|)(|21)(|)(|=)(1112011|)(|21ILqpppqppcNdcN=对逆不等式(3.13)，我们仅需考虑12=rp的情形即可设=NkkkT0，则=10)1(NkkkT，从+=为奇mpmppmmupcu1)1(2，=.1102kkck有+=Nksksskksc为奇1)1(2，=.1102kkck(3.14)如果=p，由于=LL|，不等式(3.13)既是Markov不等式对12=rp，由(3.14)(4)(12122)1(+=+=NkskssNkskskksc为奇为奇=+NssNNN02)12)(1(614(3.15)另一方面，从=102)1(2)()(|2NkkkILr，其中2kkcr=，于是将(3.15)代入得求解抛物问题的一种谱方法第12页共25页=+NssNkkILcNNN02102)(1)12)(1(3|22)(42|ILcN，逆不等式对2=p成立对于一般的+p2，可用=102pp作内插空间)(21pppLLL=，其中101110l情形可用归纳法得到，而对10=er的正则椭圆，则当00时，有NcHNNeeNMxIxucu2121)coth()(8|)()(|1，(3.35)求解抛物问题的一种谱方法第18页共25页其中rEzcEerzuM0|)(|max)(0=为焦点在1，两半轴和为r的正则椭圆.)1)()(2.|)1(|)(11212022211+=+=dTpxHppppHcc证明由于)(xu在-1，1上解析，故+=pppxTuxu)(21)(，其中ppppuuxTxT)()(=，而且pu与pu间有+=+=kkNppuu2(3.36)于是在变换)(211+=z下，z平面上的正则椭圆0rE变为平面的圆环010|rr，而且+=+=pppuu)(212)(1(3.37)实际上，令ie=且注意到ppuu=，那么(1.60)在-1，1上即为=0)cos()(cospppuu其中表示0=p项需乘21根据Laurent展开(1.60)中的系数00)(21|1erediurpp=+(3.38)Chebyshev展开中关于振幅的Cauchy积分公式相同，相应的混迭关系也一样，故可得结果求解抛物问题的一种谱方法第19页共25页4求解方法及数值实验4.1求解方法在应用谱方法求解抛物问题时，先建立抛物问题原函数的一个近似函数，通过对近似函数的求解即可求得原函数的近似解设=njjjxTtatxU0)()()(为)(txu的近似函数，则求解的抛物问题为：求)(txU使得=njiijjnjrjjnjljjinjijjnjijjxuxTtatuTtatuTtanitxfxxTtaxTtta00000220)()()()()1()()()1()(210)()()()()(下面要做的是将区间10分成L等分，步长为Ldt1=，进而可得谱方法=+=+=+=+=njiijjnjnrjkjnjnljkjinjijkjnjijkjkjxuxTatuTatuTaLknitxfxxTtaxTdtaa000011011022101)()()()1()()1(.0210)()()()(当k固定的时候，上述方程组是一个含有1+n个未知数的线性方程组，通过对这个方程组的求解即可求得原问题的近似解4.2数值试验结果当取22)(=ttxf，则原方程的精确解为，22)(txtxu+=我们通过已知的ka计算1+ka的数值试验来得到本题的结论求解抛物问题的一种谱方法第20页共25页下面是已知ka计算1+ka的程序：f=(xt)x2+t2n=13；xx=linspace(pi(2(n-2)+2)pi(2(n-2)+1)(2(n-2)+2)n-1)x=cos(xx)A=zeros(n+1n+1)B=zeros(n+1n+1)C=zeros(n+11)fori=1:n+1A(2:ni)=cos(i-1)arcos(x)A(1i)=cos(i-1)arcos(-1)A(n+1i)=cos(i-1)arcos(1)endfori=1:n+1forj=1:n-1ifj=1|n+1B(2:ni)=B(:i)+n(n2-j2)2cos(j-1)arcos(x)elseB(2:ni)=B(:i)+n(n2-j2)2cos(j-1)arcos(x)endendendfori=1:n+1C(i)=f(x(i)t_n)enda_ka1=(A+B)C计算结果见下面表格：n678910111213error5.36e-012.54e-15.67e-28.18e-32.34e-34.31e-45.65e-54.87e-6求解抛物问题的一种谱方法第21页共25页结论通过应用谱方法求解问题，可以看到谱方法的最大魅力是它具有所谓“无穷阶”收敛性，即如果原方程的解无穷光滑，那么用适当的谱方法所求得的近似解将以1N的任意幂次速度收敛于精确解，这里N为所选取的基函数个数这一优点是有限差分和有限元法无法比拟的，众多的实际应用和数值实例也证实了该方法的有效性在数值试验中可以得到对于一个抛物方程，先找到它的一个近似函数，然后对该近似函数中的时间x在-11内取1+n个点，使得近似函数在这1+n点上都成立，则通过对近似函数的求解，可得到原抛物方程的近似解求解抛物问题的一种谱方法第22页共25页参考文献1奥特加JM数值分析M张丽君，张乃玲，译北京高等教育出版社，19832冯康等数值计算方法M2版北京：高等教育出版社，19873何松年谱方法及其应用J中国民航学院学报，2000；30-324托德，函数构造论导引M冯慈璜泽上海：上海科学技术出版社，19805李庆杨数值分析，华中科技大学，2006；25-216黄友谦李岳生数值逼近M2版北京：高等教育出版社，19877全惠云数值分析与应用程序，武汉大学出版社，2007；24-258YMaday，(1990)，Analysisofspectralprojectorsinone-dimensionaldomains，MathCompu，Vol55，No192，5375629JBerghJLfstrom，(1976)，Interpolationspaces，AnintroductionSpringer-Verlag，BerlinandNewYork10WILKINSONJHRoundingErrorsinAlgebraicProcessMLondon：HMStationeryOffice，196311STOERJ，BULIRSCHRIntroductiontoNumericalAnalysisMNewYork：Springer-verlag，198012Abe，K，Inoue，O，Fourierexpansionsolutionofthekdvequation，JCompPhya，34（1980）202-21013Bernardi，C，Canuto，C，MadamationoftheNavier-stokesconditionforChebyshevapproxi（1986），1-6514JWCooleyandJWTukeyAnalgorighmforthemachinecalclationofcomplexFourierSeriesMathComp，19：297-30115YingjunJiangOnspecialsforVolterra-typeintegro-differentialequations，JournalofComputionalandAppliedMathematics230(2009)333-340求解抛物问题的一种谱方法第23页共25页致谢我的毕业论文是在姜英军老师的悉心指导下完成的，从选题开始姜老师就对我逐步安排任务，并对我在解题过程中遇到的问题及时给予帮助，正是有了姜老师耐心指导与细心关怀我才不会在写论文的过程中迷失方向、失去前进动力，真正使我在完成每次任务的过程中学到了很多东西同时，姜老师有严肃的科学态度，严谨的治学精神和精益求精的工作作风，这些都是我所需要学习的，感谢姜老师给予了我这样一个学习和提高的机会，谢谢！感谢与我并肩作战张殿麒还有舍友与同学们，感谢关心我支持我的朋友们，感谢学校领导、老师们，感谢你们给予我的帮助与关怀；感谢数计学院四年来为我提供的良好学习环境，谢谢！王成宇2010年6月求解抛物问题的一种谱方法第24页共25页附录数值实验程序L=1000n=13solu=zeros(NL+1)dt=1Lf=(xt)x2+t2xx=linspace(pi(2(n-2)+2)pi(2(n-2)+1)(2(n-2)+2)n-1)x=cos(xx)A=zeros(n+1n+1)B=zeros(n+1n+1)C=zeros(n+11)fori=1:n+1A(2:ni)=cos(i-1)arcos(x)A(1i)=cos(i-1)arcos(-1)A(n+1i)=cos(i-1)arcos(1)endfori=1:n+1forj=1:n-1ifj=1|n+1B(2:ni)=B(:i)+n(n2-j2)2cos(j-1)arcos(x)elseB(2:ni)=B(:i)+n(n2-j2)2cos(j-1)arcos(x)endendenda_k=zeros(N+11)fork=1:Lfori=1:n+1C(i)=f(x(i)t_n)enda_ka1=(A+dtB)(Cdt+a_k)solu(:i+1)=a_ka1a_k=a_ka1endfunctionerror_my(soluLndt)x=linspace(-111001)error1=zeros(L+1)y=zeros(10011)fork=1:L+1U=solu(:k)fori=0:ny=y+U(i)cos(i)arcos(x)end求解抛物问题的一种谱方法第25页共25页error1(i)=max(abs(x.2+dt(k-1)-y)enderror1=max(error1)毕业设计毕业设计(论文论文)开题报告开题报告题目题目：求解抛物问题的一种谱方法法法课课题题类类别：别：设计设计论文论文学学生生姓姓名：名：王成宇王成宇学学号：号：200664090221班班级：级：数学数学06-0206-0206-0206-02班班专业（全称专业（全称）：数学与应用数学数学与应用数学指指导导教教师：师：姜英军姜英军2010201020102010年年4444月月一、本课题设计（研究）的目的：使用谱方法求解抛物问题，并进行相应的数值实验。培养学生科学的思维方式，综合运用所学理论、知识和技能分析和解决实际问题的能力，是学生毕业前全面素质教育的重要实践训练。二、设计（研究）现状和发展趋势（文献综述）：谱方法是一种高阶数值方法，自从1965年Cooley和Tukey在文章4中提出快速傅氏变换后，这种方法越来越受到众多学者的重视。谱方法的发展历史参见5其理论结果参见7。当前谱方法正被不断地用于求解各类问题，如常微分方程，偏微分方程，积分方程，参见589.由于其高阶收敛性，众多学者正在不断的应用其求解各类问题。三、设计（研究）的重点与难点，拟采用的途径（研究手段）：1、本文设计的重点是：（1）本课题使用谱方法求解抛物问题并分析算法的收敛性；（2）进行相应数值实验，验证分析理论结果。2、本文设计的难点是：对谱方法的知识的掌握，以及如何利用MATLAB进行编程。3、拟采用途径：得到求解抛物问题的谱方法的离散方程，并进行数值实验得出实验结论。四、设计（研究）进度计划：第5周第6周收集有关论文方面的资料，开题报告，英文翻译第7周第15周撰写毕业论文第11周毕业论文中期检查第16周毕业论文修改毕业论文答辩，第17周毕业论文资料整理五、参考文献：1李庆杨.数值分析，华中科技大学，2006；25-212全惠云.数值分析与应用程序，武汉大学出版社，2007；24-253何松年.谱方法及其应用J.中国民航学院学报，2000；30-324J.W.CooleyandJ.W.Tukey.AnalgorighmforthemachinecalclationofcomplexFourierSeries.Math.Comp19:297-301.5C.CanutoM.Y.HussainiA.QuarteroniT.A.ZangSpectralMathodsFundamentalsinSingleDomainsSpringer-Verlag2006.6ChenglongXuBen-yuGuoLaguerrepseudospectralfornonlinearpartialdifferentialequationsJ.Comp.Math.20(2002)413-428.MR1914675(2003e:65184)Ben-yuJ.ShenMastroianniCheng-long.7D.GottliebandS.A.Orszag.NumericalAnalysisofSpectrals:TheoryandApplications.SIAM-CBMSPhiladlphia1977.8T.TangX.XuJ.ChengOnspecialsforVolterratypeintegralequationsandtheconvergenceanalysisJ.Comput.Math.26(6)(2008)825-837.9YingjunJiang.OnspecialsforVolterra-typeintegro-differentialequationsJournalofComputationalandAppliedMathematics230(2009)333-340指导教师意见签名：月日教研室（学术小组）意见教研室主任（学术小组长）（签章）：月日JournalofAirTransportManagement8(2002)325337TheNortheastAsianairtransportnetwork:isthereapossibilityofcreatingOpenSkiesintheregionTaeHoonOumaYeongHeokLeebaCenterforTransportationStudiesTheUniversityofBritishColumbiaVancouverBCCanadaV6T1Z2bDepartmentofAirTransportationHankukAviationUniversityGoyang-shiGyunggi-do412-791SouthKoreaAbstractUnlikeintheUSandtheEuropeanUnionaviationmarketstheNortheastAsianmarketsarestillveryfragmented.Asaresultthepassengerandairfreightcollectiondistributionsystemsintheregionareveryinefficientlyorganized.TheprimaryreasonfortheinefficientandinconvenientaircarriernetworksintheregionistherestrictivebilateralairservicesagreementsbetweenAsiancountries.ThispaperdocumentsthenatureandextentoftherestrictivebilateralagreementsamongChinaJapanandKoreauatesseveralbilateralortrilateralapproachesforliberalizingtheregionalairtransportmarketsandmakesaproposalwhichwouldincreasesubstantiallytheprobabilityofachievinganOpenSkiesmarketintheregion.InparticularthecurrentapproachtoliberalizethebilateralairservicesagreementsamongChinaKoreaandJapanhaslimitationseveninthemediumtermbecauseofChinasandtoalessextentJapansreluctancetoremovepriceandcapacityrestrictions.Thereforeasanins