信号检测与估计各章作业参考答案~章.doc

第二章 随机信号及其统计描述 1求在实数区间内均匀分布的随机变量均值和方差。解： 变量的概率密度 均值 方差 2设是具有概率密度函数的随机变量，令的函数为试求随机变量的概率密度函数。解： 反函数雅可比式为 所以 4. 随机过程为式中，是常数，和是两个互相独立的高斯随机变量，而且，。求的均值和自相关函数。7. 设有状态连续、时间离散的随机过程，式中只能取正整数，即，而为在区间上均匀分布的随机变量，试讨论的平稳性。8.平稳随机过程的自相关函数为，求均值、二阶原点矩和方差。解： 可按公式求解。但在求解周期性分量时，不能得出，为此把自相关函数分成两部分： 由于 的对应的随机过程为所以而对于，有 ，即 所以可理解为从而有 ， =4因此的均值、二阶原点矩和方差分别为 9. 若随机过程的自相关函数为，求的功率谱密度。解:自相关函数与功率谱密度函数是一对傅立叶变换对，所以有利用欧拉公式，可得11. 已知平稳随机过程具有如下功率谱密度求的相关函数及平均功率。解：而自相关函数与功率谱密度是一对傅立叶变换，所以有总功率为平均功率为 随机过程通过线性是不变系统的习题1、设白噪声的相关函数为 ，通过幅频特性如下图所示的理想带通放大器，求放大器输出的总噪声功率。解: 由于 ， 所以其功率谱 线性系统的幅频特性如图所示，因此输出端的噪声功率谱为总噪声功率为2、零均值平稳随机过程加到一线性滤波器， 1）当滤波器的单位冲激响应为求滤波器的输出功率谱密度；2）当滤波器的单位冲激响应为求滤波器的输出功率谱密度。解：1）滤波器的输出功率谱密度2）滤波器的输出功率谱密度 第三章 经典检测理论1、在二元数字通信系统中，发送端等概发送2V 和0V的脉冲信号，信道上叠加的噪声服从均值为零、方差为 的正态分布，试用最大后验概率准则对接收信号进行判决。要点： 答：略2、在存在加性噪声的情况下，测量只能是1V和0V的直流电压。设噪声均值为零、均方根电压为，再设代价因子 。信号存在的先验概率。试确定贝叶斯准则下的门限值并给出判决结果，同时计算出相应的统计平均代价。计算得出 结果： 答：略3、只用一次观察值对下面两个假设作出选择，样本是均值为零、方差为的高斯变量；样本是均值为零、方差为的高斯变量，且。试用最大似然函数准则回答下述问题：（1）根据观察量值，确定判决域和。（2）画出似然比接收机的框图。（3）求两类错误概率和的表达式。解：（1）由题意得采用最大似然函数准则，似然比与判决规则为 判决域为，求(2)接收机结构：（3）两类错误概率要点：（1） （2）见图（3） 4、根据一次观测，用极大极小准则对下面两个假设作出判断其中是均值为零、方差为的高斯过程，且。试求判决门限以及与之对应的两种假设的先验概率。解: 根据题意得按照极大-极小方程: 代入 ,得到 另一方面，由于 得到判决规则为 再令 ，于是有 按照 ，得到 所以 有 即 考虑到 而 从而解得 ，6、假定两个假设分别为其中的均值为零、方差为2的高斯白噪声。根据M个独立样本，采用奈曼皮尔逊准则进行检验。令，试求（1） 判决门限；（2） 相应的检测概率。解：（1） 由题意得得到 又由于是正态分布的，且 所以有于是 即而判决门限（2）检测概率或者 要点：（1） （2） 7、设观察信号在两种假设下的似然函数如下图所示，求贝叶斯准则的判决公式。1-1 0 11/3-1 0 2式中贝叶斯门限 附：高斯误差函数表第四章 确知信号检测2题、5 题 、7题 4.2 现有两个假设其中 均为确知常数，是功率谱密度为的高斯白噪声，试设计一个似然比接收机。 解：令 则接收信号的似然函数似然比由于假定门限值为 ，则有所以判决规则（似然比接收机）为： 还应当求出不等式右端的积分值.4.5 二元通信系统中，在每种假设下传送的信号为假设两种信号是等概发送的，并且为确知常数，是均值为零、功率谱密度为的高斯白噪声，试用最小总错误概率准则确定最佳接收机形式，并计算平均错误概率。 解：由于 按照高斯白噪声下二元确知信号的判决规则 可得 这里选用最大后验概率准则时 接收机的结构为题4.5 图 最佳接收机结构下面考虑平均错误概率令检验统计量为判决规则为 两种错误概率为平均错误概率为由于 定义两信号的平均能量为 ，两信号的时间相关系数为有 故两种假设下检验统计量的条件概率密度为所以 同理所以可得7. 设矩形包络的单个脉冲信号为其中为矩形函数，即信号的波形如图4.14所示。（1）求信号的匹配滤波器的系统传输函数和单位冲激响应。（2）若匹配滤波器输入噪声是均值为0、功率谱密度为的白噪声，求匹配滤波器输出信噪比。解：（1）信号的频谱函数白噪声下匹配滤波器的系统函数为匹配滤波器的单位冲激响应为（2）匹配滤波器的输出信噪比 输入信号的能量为匹配滤波器输出最大的信噪比（3） 可以求出匹配滤波器的输出有用信号选取观察时间点，按照可以求出匹配滤波器的输出为简写成（4）选取观察时间点，可画出单个矩形中频脉冲信号的各个波形：第五章 随机参量信号的检测思考题1. 什么是复合假设和简单假设？有何区别？复合假设检验和简单假设检验各适用于何种场合？ 答：在概率密度函数中含有未知参量的假设，称为复合假设。而在概率密度函数中不含有未知参量的假设，称为简单假设。 例如：如果其中是含有未知参量或随机参量的信号，而 是确知信号，是加性噪声。这样假设下的条件概率密度函数(即条件似然函数)为 ，涉及到参量；而假设下的条件概率密度函数(即条件似然函数)为 ，不涉及任何未知参量，所以是复合假设，是简单假设。 简单假设和复合假设的区别是，简单假设中的有用信号是确知信号，在给定噪声统计特性后，其似然函数只是观察数据的函数；而复合假设中的有用信号是含有位置参量或随机参量的信号，在给定噪声统计特性后，其似然函数既是观察数据的函数，又与信号中的未知参量或随机参量有关，需要通过统计平均的办法来消除参量对似然函数（甚至似然比）的影响。 适用场合: 简单假设检验是解决单个确知信号的存在问题，而复合假设检验则是解决依赖于一组未知参量或随机参量的信号存在问题。思考题2. 什么是随机参量信号？其似然比检验的核心是什么？ 答：把含有随机参量或未知参量的信号称为随机参量信号。例如中，若是未知参量或随机参量，则该信号就是随机参量信号。 针对与复合假设检验，贝叶斯准则给出的判决规则为式子表明，检验的核心是：对用代价因子加权后的含有随机参量的条件概率密度函数进行统计平均后得到似然比，再用似然比与门限值比较，从而作出判决。特别是当代价因子与随机参量无关时，上式等效为由此可以看出，复合假设检验的核心是用统计平均的方法去除随机参量对似然函数的影响，或去除对似然比的影响，接着再用似然比和门限值比较得出判决结果。 习题1. 考虑检测问题：其中是已知常数，是上均匀分布的随机参量；是高斯白噪声。(a)求判决公式及最佳接收机结构形式。(b)如果，证明最佳接收机可用作为检验统计量，并对此加以讨论。解：（a）设是均值为0、功率谱密度为的正态白噪声，则有 由于所以按照贝叶斯准则或者 两边取对数得到 最佳接收及结构为：（b）不论是否有条件，都可选作为检验统计量。 当时，由于所以判决规则为第六章 多重信号检测思考题1：为何要进行多重信号的检测？ 答：利用多重信号检测的优势是可以增加检测系统的信噪比，从而增强系统的检测性能。思考题3：何谓随机相位相干脉冲串信号和随机相位非相干脉冲串信号？答：通常把多个脉冲信号组成的一串信号称为脉冲串信号，各个脉冲叫做子脉冲，整个信号叫做脉冲串信号。如果脉冲串信号的初相随机，但各个子脉冲信号的相位一致，则称之为随机相位相干脉冲串信号。如果各子脉冲信号的相位都是随机变化的，且彼此独立变化，则称之为随机相位非相干脉冲串信号。习题1.考虑如下检测问题,其假设是 设上均匀分布，是功率谱密度为的高斯白噪声,并设所有其他参数都已知.试分析似然比接收机的形式,并求检测概率及虚警概率的表达式. 解： 该题目与教材“6.2.1 随机相位非相干脉冲串信号的检测 ”基本一致，按照教材介绍，可写出判决规则（见式6.28和式6.29），可画出接收机的形式，见图6.3。 对于小信噪比情况，可给出近似的判决规则（见式6.32）和接收机的近似形式（见图6.4）。对于大信噪比情况，可给出近似的判决规则（见式6.35）和接收机的近似形式（见图6.5）。这里只针对小信噪比情况下的平方率检波器性能进行分析：参照教材P109中“2.平方率检波器的检测性能”，检测概率为式6.42，虚警概率为式6.41。第七章 序贯检测思考题1、与固定观察样本数的检测方法相比，序贯检测的优越性体现在哪里？答：在满足给定的检测性能条件下，序贯检测可以减少观察样本数目，节省观察时间。（此外序贯检测可以针对不同信噪比的情况，或者做出快速判决或者积累信号能量后再进行判决。）习题2 .二元假设问题中，已知信号地观察模型为若此处和都是独立同分布的高斯随机变量，均值都是0，方差分别为和。已知虚警概率，漏报概率，。如果进行顺序独立采样，问 1）序贯概率比检验的判决规则是什么？ 2）平均观察样本数为多少？ 解：（1）根据题意，单次观察所得随机变量的似然函数为 似然比及其对数形式为 由于是顺序独立取样，所以第步的似然比为 两个检测门限为 因此序贯概率比检验的判决规则为 （2）由于 可得 总的平均取样数为 因此采用序贯概率比检验所需的平均观察样本数为5次。第八章 经典估计理论习题1. 令观察样本由给定，其中是均值为0、方差为1的高斯白噪声。假定的先验概率密度为试求的贝叶斯估计（最小均方估计和条件中位数估计）。解：按最大后验概率方程 ，先来求最大后验概率分布： 由于 可得 因此 由于噪声干扰和被估计量都是正态分布的，规定的代价函数又是对称的偶函数，所以有： 答：最小均方估计和条件中位数估计都为习题2. 令观察样本由给定，其中是均值为0、方差为1的高斯白噪声。证明的最大似然估计是无偏的和一致的。证明：由于似然函数 最大似然函数方程，由此解得 因为 ，所以的最大似然估计是无偏的。又因为所以的最大似然估计是均方一致的。习题4. 观察样本 彼此独立。已知， 而 ，求对于及的最小二乘估计。解：根据最小二乘原理，有 对上式左边分别求及的偏导数，并令之等于0，得到整理得解得把， 代入，可求出习题6. 设观测量，是均值为0、方差为1的高斯随机变量。（1）求的最大似然估计。（2）若已知的概率密度 求的最大后验概率估计。解：（1）由题意可写出似然函数按最大似然估计方程，由此解得 （2）当时，可按最大后验概率方程求解，得到，即当，而当，因此 习题7. 给定一个平稳高斯过程的个独立样本为。（1）已知样本的方差为，证明均值的最大似然估计量为。此估计是无偏的吗？是有效的吗？求估计方差。（2）已知样本的均值为，证明方差的最大似然估计量为。此估计是无偏的吗？是有效的吗？求估计方差。解：由题意，可得条件概率密度 （1）当样本的方差为时，似然函数为按最大似然估计方程 从而有 由于，所以是无偏估计。又因为 这里，满足克拉美-罗不等式取等号的条件，所以是有效估计。再者 所以 答：估计是无偏的，是有效的，估计方差为 。直接按定义计算估计的方差：计算中考虑了（2）当样本的均值为时，似然函数为按最大似然估计方程 从而有 由于，所以是无偏估计。又因为 这里 ，满足克拉美-罗不等式取等号的条件，所以是有效估计。再者 所以 答：估计是无偏的，是有效的，估计方差为 。第九章 信号参量的估计思考题: 2.积分器为何又称为低通滤波器或平滑滤波器?答: 可从几种不同的角度回答问题1) 从 锁相环的推衍过程来看，锁相环中相乘器的