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Stolz 定理定理 Stolz 定理： 设数列 n b严格递增且 n b ()n .如果 1 1 lim nn n nn aa A bb ， 则 lim n n n a A b . 证明: 由定理条件, 0, N 使得当kN时,有 1 1 22 kk kk aa AA bb . 即 111 () ()() () 22 kkkkkk AbbaaAbb . 在此不等式中分别取1,2,kNNn ,再将它们相加,便得到 () ()() () 22 nNnNnN AbbaaAbb , 即 | 2 nN nN aa A bb (1) 注意到 | |() | nNNnNnN nnnnN aab Abbaa AA bbbbb . (2) 由于 n b ()n , 1 N使得当 1 nN时,有 | 2 NN n ab A b . (3) 再注意到当nN时, |1 nN n bb b . (4) 结合(1),(2),(3),(4)式即得,当 21 max ,nNN N时, | 2 n n a A b . 所以lim n n n a A b .
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