中考数学综合题专题训练【以三角形为基础的综合题三】专题解析.doc

数学专题之【以三角形为基础】精品解析中考数学综合题专题训练【以三角形为基础的综合题三】专题解析 1已知：在ABC中，ACB90，点P是线段AC上一点，过点A作AB的垂线，交BP的延长线于点M，MNAC于点N，PQAB于点Q，AQMN（1）如图l，求证：PCAN；（2）如图2，点E是MN上一点，连接EP并延长交BC于点K，点D是AB上一点，连接DK，DKEABC，EFPM于点H，交BC延长线于点F，若NP2，PC3，CK : CF2 : 3，求DQ的长QAPBCMN（图1）QAPBCMN（图2）KDEFH（1）证明：方法一：如图1，BAAM，MNAP，BAMANM90PAQMANMANAMN90QAPBCMN（图1）PAQAMNPQAB，MNAC，PQAANM90AQMN，AQPMNAANPQ，AMAP，AMBAPMAPMBPC，BPCPBC90，AMBABM90ABMPBCPQAB，PCBC，PQPC，PCAN方法二：如图1，BAAM，MNAC，BAMANM90PAQMANMANAMN90PAQAMNPQAB，AQP90ANMAQMN，PQAANMAPAM，PQAN，APMAMPAQPBAM180，PQMAQPBAMPQAPBCMN（图2）KDEFTGHAPMBPC，QPBBPCBQPBCP90，BPBPBPQBPC，PQPC，PCAN（2）解：方法一：如图2，NP2，PC3，由（1）知PCAN3APNC5，AC8，AMAP5AQMN 4PAQAMN，ACBANM90ABCMANtanABCtanMAN tanABC ，BC6NEKC，PENPKC又ENPKCP，PNEPCK， CK : CF2 : 3，设CK2k，则CF3k ，NE k过N作NTEF交CF于T，则四边形NTFE是平行四边形NETF k，CTCFTF3k k kEFPM，BFHHBF90BPCHBFBPCBFHEFNT，NTCBFHBPCtanNTCtanBPC 2，tanNTC 2CT k ，k CK2 3，BKBCCK3PKCDKEABCBDK，DKEABC，BDKPKCtanPKC 1，tanBDK1过K作KGBD于GQAPBCMN（图3）KDEHFRGtanBDK1，tanABC ，设GK4n，则BG3n，GD4nBK5n3，n ，BD4n3n7n AB 10，AQ4，BQABAQ6DQBQBD6 方法二：如图3，NP2，PC3，由（1）知ANPC3APNC5，AC8，AMAP5AQMN 4NMBC，NMPPBC又MNPBCP，MNPBCP ， ，BC6作ERCF于R，则四边形NERC是矩形ERNC5，NECRBHFBCP90，EFR90HBF，BPC90HBFEFRBPC，tanEFRtanBPC ， ，RF NEKC，NEPPKC又ENPKCP，NEPCKP， CK : CF2 : 3，设CK2k，则CF3kNECR k，CRCFRF3k 3k k，k ，CK3，CR2，BK3在CF的延长线上取点G，使EGRABCtanEGRtanABC， RG ER ，EG ，KGKCCRRG DKEEKCABCBDK，ABCDKEBDKEKC，BDKGKE， BDEGBKKG，BD 3 ，BD AB10，AQ4，BQABAQ6DQBQBD6 方法三：如图4，NP2，PC3，由（1）知ANPC3QAPBCMN（图4）KDEFGRHAPNC5，AC8，AMAP5AQMN 4NMBC，EMHPBC，PENPKC又PNEPCK，PNEPCK，PNMPCB ， CK : CF2 : 3，设CK2k，则CF3k ， ，NE k，BC6BF63k，MEMNNE4 ktanABC ，BP3sinEMHsinPBC EFPM，FHBFsinPBC ( 63k )，EHEMsinEMH ( 4 k )过E作ERBF于R，则四边形NCRE是矩形，ERNC5RFEREFRFEPBC90，REFPBCtanREFtanPBC tanREF ，RF ，EF EHFHEF，( 4 k ) ( 63k ) ，k CK2 3，BKBCCK3PKCDKEABCBDK，DKEABC，BDKPKCtanPKC1，tanBDK1过K作KGBD于GtanBDK1，tanABC 设GK4n，则BG3n，GD4n，BK5n3，n BD4n3n7n AB10，AQ4，BQABAQ6DQBQBD6 2已知ABC中，ACB2BAC，点E在边AC上，且AEBE，CD平分ACB交AB于点D，连接DE（1）如图1，求证：BDED；BDACPEQB图2（2）设线段CD、BE相交于点P，将BAC沿直线AC翻折得到BAC（如图2），射线AB 交BE延长线于点Q，连接CQ若DE : BC2 : 3，求ACQ的正切值BDACE图1（1）证明：，CD平分ACB，ACB2ACD2BCDAEBE，AABEACB2A，ACDBCDAABEADCDBECAABE2A2ACD，BECACBBCBE，BCAEADECDB，BDED（2）解：DE : BC2 : 3，设DE4k，则BC6kAEBEBC6k由（1）知BDED，DEBDBE，EABDEB又DBEEBA，BDEBEA ， ，AB9k，ADCD5kBDACPEQBFHADCD，BDED，CADEBDCADEBD， ，AC kDBPBCD，BDPCDB，BDPCDB ， BP k，PD k过D作DFBE于FBDED，BFEF BE3k，DFksinFBD ，cosFBD QACBACFBD，sinQAC ，cosQAC ACDBAC，QACACDPDAQ，PBDQBA ，QA PD k kQHQAsinQAC k k，AHQAcosQAC k kCHACAH k k ktanACQ 3在ABC中，ACB90，点P、D分别在边AB、AC上，且PCPD（1）如图1，若tanB1，请写出线段CD与线段PB的数量关系；（2）如图2，若tanB2，求证：2BCAD PB（3）如图3，在（2）的条件下，若点B关于直线CP的对称点E恰好落在边AC上，连接PE、BD，BD分别交PE、CP于M、N两点，且AD2，求线段MN的长PBACD图2PBACD图1PBACE图3DMN解：（1）CDPB（2）作PFAC于F，PGBC于G则四边形PFCG是矩形，CFPGPCPD，CF CD在RtPBG中，tanB2，即 2，PG2BGPBACDGFF由勾股定理得PBBG，PG PBCF PB，CD PB在RtABC中，tanB2，同理可得AC2BCACADCD，2BCAD PB（3）连接BE点B关于直线CP的对称点为点ECP是线段BE的中垂线，CECB，PEPB又CPCP，CEPCBPECPBCP ACB45作PFBC于F设PBa，由（2）得BC1 aPBACEDMNFBGBHB在RtCPF中，PCF45，PFCF a而BF BP a由BFCFBC，得 a a1 aa，即BPBC3，AC2BC6，AB3，AP2，CD4，DE1，AE3BD5过点D作AB的平行线分别交EP、CP于点G、H由EDGEAP，得 ，DG 由GDMPBM，得 ，DM BD2由CDHCAP，得 ，DH AP 由DNHBNP，得 ，DN BD MNDNDM 2 4（哈尔滨模拟）已知ABC中，ACB2ABC，AD为BAC的平分线，E为线段AC上一点，过E作AD的垂线交直线AB于F（1）如图1，当点E与点C重合时，求证：BFDE；ABDNCEFM图2ABDCF图1(E)（2）如图2，连接BE交AD于点N，M是BF的中点，连接DM若DMBF，DC4，SABD : SACD3 : 2，求DN的长ABDCF图1(E)K（1）证明：如图1，连接DF，设AD与EF交于点KAD为BAC的平分线，BADCADEFAD，AKFAKE90AFKAEK，AFAE又ADAD，AFDAEDDFDE，AFDAED又ACB2ABC，FBDFDBBFDF，BFDE（2）解：如图2，连接DF，作APBC于P，DQAC于QSABD : SACD3 : 2，BD : DC3 : 2DC4，BD6，BC10AD为BAC的平分线，DMAB，DQAC，DMDQABDNCEFM图2KPQSABD : SACD3 : 2， ， 由图1中ACAF，DCBF，可得ACDCAB DC4，AC8，BD6，BC10，AB12设PCx，则BP10x由勾股定理得：AB 2BP 2AC 2PC 2AP 2即12 2( 10x )28 2x 2，解得x1，DP3又AD 2DP 2AC 2PC 2AP 2，即AD 23 28 21 2AD 272，AC6EFAD，AKFAKE90DA平分BAC，FADEADAFEAEF，AFAE又ADAD，AFDAEDDFDE，AFDAEDM是BF的中点，DMBF，DBDFDBDE6，BFDDECDBF180CDEC180CDBFEDCBAC2DAE又EDC2DEN，DAEDENADEEDN，DAEDEN ， ，DN35（辽宁沈阳）已知，如图，MON60，点A，B为射线OM，ON上的动点（点A，B不与点O重合），且AB4，在MON的内部、AOB的外部有一点P，且APBP，APB120（1）求AP的长；（2）求证：点P在MON的平分线上；（3）如图，点C，D，E，F分别是四边形AOBP的边AO，OB，BP，PA的中点，连接CD，DE，EF，FC，OP当ABOP时，请直接写出四边形CDEF的周长的值；若CDEF的周长用t表示，请直接写出t的取值范围APBOMN图CDEFAPBOMN图解：（1）过点P作PQAB于点QPAPB，APB120，AB4APBOMNTQSAQ AB2，APQ APB60在RtAPQ中，AP 4（2）过点P分别作PSOM于点S，PTON于点TOSPOTP90，SPT120APBSPT=120，APS=BPT又ASPBTP90，APBPAPSBPT，PSPT点P在MON的平分线上（3）84 44t 84APBOMNCDEFQ提示：由三角形中位线定理知四边形CDEF的周长的值是OPAB当ABOP时，设OP与AB交于点Q则AQ AB2，OQ 6，PQ 2OPOQPQ8四边形CDEF的周长的值是84当ABOP时，OP的值最大，此时四边形CDEF的周长t的值最大，t84PBOMN(A)当点A或点B与点O重合时，四边形CDEF不存在此时OP 4，t44t的取值范围是44t 846（辽宁抚顺）如图，在RtABC中，ACB90，ABC30点D是直线BC上的一个动点，连接AD，并以AD为边在AD的右侧作等边ADE（1）如图，当点E恰好在线段BC上时，请判断线段DE和BE的数量关系，并结合图证明你的结论；（2）当点E不在直线BC上时，连接BE，其它条件不变，（1）中结论是否成立？若成立，请结合图给予证明；若不成立，请直接写出新的结论；（3）若AC3，点D在直线BC上移动的过程中，是否存在以A、C、D、E为顶点的四边形是梯形？如果存在，直接写出线段CD的长度；如果不存在，请说明理由BAC备用图BDACE图BDACE图解：（1）DEBE证明：ADE是等边三角形，ADDE，ADE60BDACEFABC30，DAB90BD2AD2DE，DEBE（2）成立证明：过E作EFAB于FADE是等边三角形，ADAE，DAE60ACB90，ABC30，AB2AC，CAB60BACE(D)DACEAF60CAERtADCRtAEF，ACAFAB2AF，AFBF，AEBEBDACEDEBE（3）CD 或3ABPGCEFHQMNRSD7（辽宁模拟）如图，在ABC中，ABAC，ADBC于点D，BC6，AD4矩形EFGH内接于ABC（FG在BC边上），正方形PQMN内接于AEH（QM在EH边上），PN、EH分别交AD于点R、S设AEx（1）试用x的代数式表示线段EH、PN的长；（2）设SS正方形PQMN S矩形EFGH求S关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；当x取何值时，S有最大值？（3）连接FH，当HFC是等腰三角形时，求x的值解：（1）在ABC中，ABAC，ADBC，BC6，AD4BDDC3，ABAC5EHBC，AEHABC ，即 EH x，AS xSDADAS4 x，ARASRSASPN xPNPNBC，APNABC ，即 ABPGCEFHQMNDPN x（2）SS正方形PQMN S矩形EFGH PN 2EHSD( x )2 x(4 x )即S x 2 x（0x 5）a 0，b 当x 时（在0x 5范围内），S有最大值（3）当HFC是等腰三角形时，有以下三种情形：ABPGCEFHQMND当HFHC时HGBC，FGCGDG FG EH x，CD BC3 x3 x，解得x 当FCHC时在RtHCG中，CG3 x，cosC CH 5xABPGCEFHQMNDK x3 x5x，解得x 当FCFH时作FKAC于点K，则CK CH ( 5x )CKFCcosC，( 5x )( x3 x )解得x 综上所述，当HFC是等腰三角形时，x ，或x ，或x 8（四川成都）如图，ABC和DEF是两个全等的等腰直角三角形，BACEDF90，DEF的顶点E与ABC的斜边BC的中点重合将DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q（1）如图，当点Q在线段AC上，且APAQ时，求证：BPECQE；（2）如图，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：BPECEQ；并求当BPa，CQ a时，P，Q两点间的距离（用含a的代数式表示）APFBQCE图DAPFBQCE图D解：（1）ABC是等腰直角三角形APFBQCE图DABAC，BC45APAQ，BPCQE是BC的中点，BECE在BPE和CQE中BPCQ，BC，BECEBPECQE（2）BEFCCQE，BEFDEFBEP且DEFC45，BEPCQE在BPE和CEQ中BEPCQE，BC，BPECEQ 又BECE，BE 2BPCQAPFBQCE图D当BPa，CQ a时，BE 2a a a 2BE a，BC3aABC是等腰直角三角形，ABAC3aAPABBP2a，AQCQAC aP，Q两点间的距离PQ a9（四川南充）在RtPOQ中，OPOQ4，M是PQ中点，把一三角尺的直角顶点放在点M处，以M为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与POQ的两直角边分别交于点A、B（1）求证：MAMB；MPQOAB（2）连接AB，探究：在旋转三角尺的过程中，AOB的周长是否存在最小值若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由（1）证明：连接OM，RtPOQ中，OPOQ4，M是PQ的中点MPQOABOMPM PQ2 ，POMBOMP45PMAAMOOMBAMOPMAOMB，PMAOMBMAMB（2）解：AOB的周长存在最小值PMAOMB，PAOBOAOBOAPAOP4令OAx，ABy则y 2x 2( 4x )22x 28x162( x2 )288当x2时，y 2有最小值8，从而y2 故AOB的周长存在最小值，其最小值是42 10（四川攀枝花）如图所示，在形状和大小不确定的ABC中，BC6，E、F分别是AB、AC的中点，P在EF或EF的延长线上，BP交CE于D，Q在CE上且BQ平分CBP，设BPy，PEx（1）当x EF时，求SDPE : SDBC 的值；（2）当CQ CE时，求y与x之间的函数关系式；（3）当CQ CE时，求y与x之间的函数关系式；当CQ CE（n为不小于2的常数）时，直接写出y与x之间的函数关系式ACBPFEDQ（2）ACBPFEDQ（1）解：（1）E、F分别是AB、AC的中点EFBC，EF BC，DPEDBCSDPE : SDBC PE 2 : BC 2PEx EF，PE BCSDPE : SDBC 1: 36（2）延长BQ交EF的延长线于点GACBPFEDQGEFBC，QEGQCBCQ CE，CQEQ又GQEBQC，GQEBQCEGBC6EFBC，GQBCBQ平分CBP，PBQQBCGPBQ，PGPByPEPGEG，xy6y6x（3）延长BQ交EF的延长线于点GACBPFEDQGCQ CE，EQ2CQEFBC，GQEBQC 2，EG2BC12BQ平分CBP，PBQQBCGPBQ，PGPByPEPGEG，xy12y12xy6( n1)xACBFEDM11（四川宜宾）如图，在ABC中，已知ABAC5，BC6，且ABCDEF将DEF与ABC重合在一起，ABC不动，DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE始终经过点A，EF与AC交于M点（1）求证：ABEECM；（2）探究：在DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；（3）当线段AM最短时，求重叠部分的面积（1）证明：ABAC，BCABCDEF，AEFB又AEFCEMAECBBAECEMBAE，ABEECM（2）解：AEFBC，且AMECAMEAEF，AEAM当AEEM时，则ABEECMCEAB5，BEBCEC651当AMEM时，则MAEMEAMAEBAEMEACEM即CABCEA又CC，CAECBA ，CE BE6 （3）解：设BExABEECM， ， CM x ( x3)2 AM5CM ( x3)2 当x3时，AM最短为 又当BEx3 BC时，点E为BC的中点AEBC，AE 4此时，EFAC，EM SAEM 12（四川某校自主招生）已知RtABC中，ACB90，CD、CE分别是高和角平分线，若BCE的面积为15，CDE的面积为3，求ABC的面积解：CE平分ACB， CDBEA ACB90，CDAB，ACDBCD ( )2设ACD的面积为xAEBDC当E在BD上时，则 ( )2解得x12，x24.5SABC 231520，或SABC 4.531522.5当E在AD上时，则 ( )2解得x3 ，x4 3（舍去）SABC 153 EAFDBC13（四川模拟）已知三角形纸片ABC中，BAC90，AB6，AC8折叠纸片，使点A落在BC边上的点D处，折痕为EF（点E在AB上，点F在AC上）（1）当D是BC的中点时，求EF的长；（2）当以B、D、E为顶点的三角形与ABC相似时，求EF的长；（3）BDE能否成为以DE为腰的等腰三角形？若能，求AE的长；若不能，说明理由解：（1）连接AD交EF于G，过A作AHBC于H在ABC中，BAC90，AB6，AC8，BC10EAFDBCGHAH D是BC的中点，AD BCBDDC5EAGB由折叠知，ADEF，AG AD EADBC(F)RtAGERtBAC，得EF （2）当BDE90时，则DBEABC得 设AEx，则DEx，BE6x ，x BDEEDF90，BDEEDF180即B、D、F三点共线，此时F与C重合EF EAFDBC当BED90时，则EBDABC得 设AEx，则DEx，BE6x ，x BED90，AED90AEFDEF45AEF是等腰直角三角形EF AE EAFDBC（3）若BEDEAEDE，AEBEBEDE，BDEBBDECDF90，BC90CDFC，CFDFAFEF是ABC的中位线EF BC5若BDDE连接AD，过D作DHBE于HEAFDBCH设BDDEAEx，则BE6x，BH BE3 x由HBDABC，得BH BD3 x x，x 若BDBE过B作DE的垂线，垂足为M，交AC于N，过N作NKBC于K则BM是ABC的角平分线，ANNK设BDBEx，则DEAE6x，EM DE3 xEAFDBCMNKHSABC ABAN BCNK ABACAN 3AB2AN，BN ANsinABN ，BE EMx (3 x)，x3012 AE6x12 2414（湖南娄底）如图，在ABC中，ABAC，B30，BC8，D在边BC上，E在线段DC上，DE4，DEF是等边三角形，边DF交边AB于点M，边EF交边AC于点N（1）求证：BMDCNE；（2）当BD为何值时，以M为圆心，以MF为半径的圆与BC相切？ACBFDEMN（3）设BDx，五边形ANEDM的面积为y，求y与x的函数解析式（要求写出自变量x的取值范围）；当x为何值时，y有最大值？并求y的最大值ACBFDEMNH（1）证明：ABAC，BCDEF是等边三角形，FDEFED而FDEBDMB，FEDCENCDMBENC，BMDCNE（2）解：设BDx，则DMx作MHDE于H，则MH x，MF4x又由题设知MHMF，得 x4x解得x168 当BD168 时，以M为圆心，以MF为半径的圆与BC相切（3）由BDx，DE4，BC8得EC4x，则ENEC4xySABC SBDM SECN x 2 ( 4x )2即y x 22 x 由M、N分别在线段AB、AC上，得BMAB，CNAC 解得 x y x 22 x ( x2 )2 当x2时，y有最大值，最大值为 15（湖南邵阳）如图所示，直线y xb与x轴相交于点A（4，0），与y轴相交于点B，将AOB沿着y轴折叠，使点A落在x轴上，点A的对应点为点C（1）求点C的坐标；（2）设点P为线段CA上的一个动点（点P与点A、C不重合），连接PB，以点P为端点作射线PM交AB于点M，使BPMBAC求证：PBCMPA；是否存在点P使PBM为直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由ACBOxy备用图APMCBOxy解：（1）A（4，0），且点C与点A关于y轴对称C（4，0）（2）证明：BPMBAC，PMABPMPBM，BPCBACPBMBPCPMA又点C与点A关于y轴对称，BCPPAMPBCMPA解：直线y xb与x轴相交于点A（4，0）0 4b，b3y x3B（0，3）情形一：当PBM90时，则有BPOABO ，即 ，PO P1（ ，0）情形二：当PMB90时，则PMA90PAMMPA90BPMBAC，BPMAPM90即BPAC过点B只有一条直线与AC垂直此时点P与点O重合，即符合条件的点P2的坐标为：P2（0，0）使PBM为直角三角形的点P有两个：P1（ ，0）、P2（0，0）16（湖南岳阳）（1）操作发现：如图，D是等边ABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方作等边DCF，连接AF你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论（2）类比猜想：如图，当动点D运动至等边ABC边BA的延长线上时，其它作法与（1）相同，猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？（3）深入探究：如图，当动点D在等边ABC边BA上运动时（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在其上方、下方分别作等边DCF和等边DCF，连接AF、BF，探究AF、BF 与AB有何数量关系？并证明你探究的结论如图，当动点D在等边ABC边BA的延长线上运动时，其它作法与图相同，中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论BC图ADFFBC图ADFBC图ADFBC图ADFF解：（1）AFBD证明：ABC是等边三角形，ACBC，ACB60DCF是等边三角形，FCDC，DCF60ACBACDDCFACD，即ACFBCD在ACF和BCD中 ACFBCDAFBD（2）仍然成立（3）AFBFAB证明：由（1）知，ACFBCD，AFBD同理ACDBCF，ADBFAFBFBDADAB中的结论不成立此时AFBFAB证明：在ACD和BCF 中 ACDBCFADBF又由（2）知，AFBDAFBFBDADAB17（湖北武汉）在锐角三角形ABC中，BC5，sinA （1）如图1，求ABC的外接圆的直径；（2）如图2，点I为ABC的内心，若BABC，求AI的长BCA图2IBCA图1BCAD解：（1）作ABC的外接圆直径CD，连接BD则CBD90，DA sinDsinA BC5，CD ，即ABC的外接圆的直径为 （2）连接BI并延长交AC于H，作IEAB于EI为ABC的内心，BI平分ABCBABC，BHAC，IHIEBCAIEH在RtABH中，BHABsinBAH4，AH 3 SABI SAHI SABH ，即： IHIE，IH 在RtAIH中，由勾股定理得：AI 18（湖北武汉）已知ABC中，AB2，AC4，BC6（1）如图1，点M为AB的中点，在线段AC上取点N，使AMN与ABC相似，求线段MN的长；（2）如图2，是由100个边长为1的小正方形组成的1010正方形网格，设顶点在这些小正方形顶点的三角形为格点三角形请你在所给的网格中画出格点A1B1C1，使得A1B1C1与ABC全等（画出一个即可，不需证明）试直接写出所给的网格中与ABC相似且面积最大的格点三角