《计算方法》实验报告.docx

计算机科学与工程学院计算方法实验报告学号 姓名班级实验项目名称计算方法实验一、实验名称实验一 插值与拟合二、 实验目的：(1)明确插值多项式和分段插值多项式各自的优缺点；(2)编程实现拉格朗日插值算法，分析实验结果体会高次插值产生的龙格现象；(3)运用牛顿插值方法解决数学问题。三、 实验内容及要求(1) 对于要求选取11个等距插值节点，分别采用拉格朗日插值和分段线性插值，计算x为0.5, 4.5处的函数值并将结果与精确值进行比较。输入：区间长度，n(即n+1个节点)，预测点输出：预测点的近似函数值，精确值，及误差（2）已知用牛顿插值公式求的近似值。输入：数据点集，预测点。输出：预测点的近似函数值四、 实验原理及算法描述算法基本原理：(1)拉格朗日插值法(2) 牛顿插值法算法流程五、 程序代码及实验结果（1） 输出：A拉格朗日插值法 B.分段线性插值X y(精确) y(拉格朗日) y(分段线性) 误差(拉) 误差(分)0.5000000.8000000.8434070.750000 -0.054259 0.0500004.5000000.0470591.578720 0.0486425 -32.547674 -0.033649（2） 输出：X y(精确) y(牛顿插值) 误差(牛顿插值) 5.000002.2360682.266670 -0.013686 源码：（1）A.拉格朗日插值法#include #include #include using namespace std; double Lagrange(int N,vector&X,vector&Y,double x); int main() double p,b,c;char a=n; do cout请输入差值次数n的值：N; vectorX(N,0); vectorY(N,0); cout请输入区间长度(a,b)：p;cinb;c=b-p;c=c/(N-1); for(int i=0;iN;i+)Xi=p; Yi=1/(1+p*p);p=p+c; cout请输入要求值x的值：x; double result=Lagrange(N,X,Y,x); cout由拉格朗日插值法得出结果： resultendl; couta; while(a=y); return 0; double Lagrange(int N,vector&X,vector&Y,double x) double result=0; for(int i=0;iN;i+) double temp=Yi; for(int j=0;jN;j+) if(i!=j) temp = temp*(x-Xj); temp = temp/(Xi-Xj); result += temp; return result; ; B：分段线性插值#include #include #include using namespace std; double fenduan(int N,vector&X,vector&Y,double x,double c ); int main() double p,b,c;char a=n; do cout请输入差值次数n的值：N; vectorX(N,0); vectorY(N,0); cout请输入区间长度(a,b)：p;cinb;c=b-p;c=c/(N-1); for(int i=0;iN;i+)Xi=p; Yi=1/(1+p*p);p=p+c; cout请输入要求值x的值：x; double result=fenduan(N,X,Y,x,c); cout由分段线性插值法得出结果： resultendl; couta; while(a=y); return 0; double fenduan(int N,vector&X,vector&Y,double x,double c) double result=0; int b; b=0; while(x-Xbc) b=b+1; result=Yb*(1-(x-Xb)/c)+Yb+1*(x-Xb)/c); return result; ;（3） 牛顿插值法#include #include #include using namespace std; double ChaShang(int n,vector&X,vector&Y); double Newton(double x,vector&X,vector&Y); int main() char a=n; do int n; cout请输入插值点个数：n; vectorX(n,0); vectorY(n,0); cout请输入插值点对应的值及函数值(Xi,Yi)：endl; for(int i=0;iXiYi; cout请输入要求值x的值：x; cout由牛顿插值法得出结果： Newton(x,X,Y)endl; couta; while(a=y); return 0; double ChaShang(int n,vector&X,vector&Y) double f=0; double temp=0; for(int i=0;in+1;i+) temp=Yi; for(int j=0;jn+1;j+) if(i!=j) temp /= (Xi-Xj); f += temp; return f; double Newton(double x,vector&X,vector &Y) double result=0; for(int i=0;iX.size();i+) double temp=1; double f=ChaShang(i,X,Y); for(int j=0;ji;j+) temp = temp*(x-Xj); result += f*temp; return result; 六、 实验总结1. 通过实验一数据发现，拉格朗日插值在低次插值时，同源函数偏差并不大，但在高次插值时同原函数偏差大、存在明显的龙格现象，而分段线性插值可以避免出现的龙格现象，与原函数比较吻合，但是分段线性插值由于其分段属性，使得插值函数失去光滑性，可以考虑采用Hermite插值优化。2. 通过实验二计算过程发现，拉格