张量分析课件.ppt

第十章 张量分析,第一节 问题的提出,第二节 矢量的基本运算,第三节 坐标变换及张量的定义,问题的提出,自然法则与坐标无关，坐标系的引入方便分析，但也掩盖了物理本质；,坐标系引入后的相关表达式冗长,如何解决?,引入张量方法,A1 指标符号,下标符号 i 称为指标；n 为维数 指标 i 可以是下标，如 xi 也可以是上标，如 xi,记作,指标的取值范围如不作说明，均表示从13,定义这类符号系统为指标符号，一般采用下标,xi（ i=1,2,3） x1，x2，x3 x, y, z ui（ i=1,2,3） u1，u2，u3 u, v, w,一若干约定 哑标和自由标,1. Einstein求和约定,凡在某一项内，重复一次且仅重复一次的指标，表示对该指标在它的取值范围内求和，并称这样的指标为哑指标。如：,又如：,重复不止一次的指标，求和约定失败,求和约定仅对字母指标有效，如,同一项内二对哑标应使用不同指标，如,注意：,1,2,3,4,哑标可以换用不同的字母指标,2.求导记号的缩写约定,k,3.自由标,定义：凡在同一项内不重复出现的指标。如,j 为自由标,j=1,注意：,同一个方程中各项自由标必须相同,不能改变某一项的自由标，但所有项的自由标可以改变,1,2,wrong,right,如：,二克罗内克（Kronecker-）符号,定义：,由定义,性质：,三Ricci 符号,定义：,即：,共27个分量，亦称为排列符号、置换符号,-恒等式,由此得,A2 矢量的基本运算,说明,任意矢量可以表示为基矢量的线性组合,1,2,基矢量不是唯一的,1.点积,基矢量点积,任意两矢量的点积,1,2,1,2.叉积,基矢量的叉积,由于,特别地：,（比较：,）,两个任意矢量的叉积,2,3.混合积,基矢量混合积,故也有定义,1,矢量混合积,表示的是以 为边长的平行六面体的体积。,2,4.并矢（并乘）,定义：,展开共9项， 可视为并矢的基,为并矢的分解系数或分量,A3 坐标变换 与张量的定义,1.平面笛卡儿坐标系旋转变换,为正交矩阵,引用指标符号：,由,又,讨论:上式的几何意义,说明,1,基矢量具有与坐标分量相同的变换规律,2,矢量的分量也具有与坐标分量相同的变换规律,2. 三维情况,考虑一位置矢量,同理,同二维问题，可得,（正交性）,可试证：,3. 张量定义,定义：在坐标变换时，满足如下变换关系的量称为张量,自由标数目n张量的阶数；对于三维空间，张量分量的个数为3n个，变换式也有3n个。,采用并矢记号（不变性记法或抽象记法）,可写成上式的量也称为张量（第二种定义）,讨论,1,2,上述表达式具有不变性特征；,张量分量 与坐标系有关；,3,在坐标变换时遵循相同的变换规律,符合 ,为一新张量,A4 张量代数,以二阶张量为例说明,加减法 只有同阶张量才能加减，仍为同阶张量,如：张量 A,B,另证：,符合 ,为一新张量,交换律：,结合律：,2.矢量与张量的点积,1,2,左点乘：,右点乘 :,点乘得到的新张量比原张量低一阶,3.矢量与张量的叉积,左叉乘,1,2,右叉乘,叉乘得到的新张量与原张量同阶,4. 张量与张量的点积,两个张量点积的结果仍为张量。新张量的阶数是原两个张量的阶数之和减2。,5. 张量的双点积,两个张量双点积的结果仍为张量，新张量的阶数是原两个张量的阶数之和减4。,6. 张量的双叉乘,两个张量双叉乘的结果仍为张量，新张量的阶数为原两个张量的阶数之和减2。,7. 张量缩并,对A进行缩并,将其中的二个基矢量点乘，得到比原张量低二阶的新张量。二阶张量相当于将对角元素求和，高阶张量相当于分量的某两个指标相同。,8. 指标置换,若对该张量的分量中任意两个指标交换次序，得到一个与原张量同阶的新张量。如：,指标置换也可以通过交换相应的基矢量位置来得到。,9. 对称化和反称化,对于二阶张量：,对称，有6个独立分量,反对称，有3个独立分量,高阶：对称形式多样,关于j,k对称的四阶张量,关于j,i反对称的三阶张量,对称化：,反对称化：,10.商法则,证明,next,证明:,举例,A5 二阶张量,二阶张量也称仿射量，它相当于一个方矩阵，在向量空间，类似线性变换算子的作用。如：,2019/11/16,49,可编辑,B的作用如同一个算子，将空间内一个向量变换成另一个向量。或者说B能把一个向量空间映射为另一向量空间。,B 是一个线性算子,1.转置,定义：,对于:,性质：,2.仿射量的逆,性质：,定义：,3.对称仿射量的主向和主值,对于仿射量B，若存在三个相互垂直的方向i，其映象 Bi，B，B也相互垂直，则称该三个方向为B的主向。,定义：,对称仿射量 T 必存在三个主向和三个相应的主值。主值S满足如下特征方程。,其中，称为仿射量T的第一、第二、第三不变量,由特征方程 可求解出三个主值为：,其中，,4. 各向同性张量,定义：在坐标任意变换时，各分量保持不变的张量，称为各向同性张量。,性质：,零阶张量(即标量)总是各向同性的。,一阶张量(即矢量)总不是各向同性的。,对于对称二阶张量，必存在三个主向和主值，如果其三个主值相等，即3，则是各向同性的。,1,2,3,因为：,因此：,4,可以证明：四阶各向同性张量有,T 是各向同性的,A6 张量分析,一 .梯度、散度、旋度,力学中：,几何方程与位移场的梯度有关,转动量与位移场的旋度有关,平衡方程与应力场的散度有关,1、哈密顿(Hamilton)算子(梯度算子),梯度、散度、旋度均涉及到Hamilton算子,可以表示为:,可以证明, Hamilton算子具有张量的属性,相当于一阶张量。,2、梯度,1,标量场,为一阶张量矢量,2,张量场,（1）左梯度,（2）右梯度,3、散度,1,矢量场,为一标量,2,张量场,（1）左散度,（2）右散度,4、旋度,1,矢量场,2,张量场,（1）左旋度,（2）右旋度,二. 高斯Gauss公式,式中，S是空间体积的封闭边界面，ni为边界面S的外法向方向余弦。,讨论：,1、标量场,2、矢量场,推广到任意阶张量的情形：,其不变性记法为 :,称为广义高斯公式，或称散度定理。,3,A7 曲线坐标中的张量分析,1、曲线坐标,坐标变换：,逆变换：,上述变换一一对应的充要条件是：,*,fi，gi 为单值连续可微函数,*,在域内任意点处：,可以调整 的次序，使J0 ，称为正常容许变换,满足以上二个条件，称为容许变换,因为,2、局部基矢量,在笛卡儿坐标系，空间任意向量(张量)都可以在基上分解。这种做法可进行两种不同的解释：,1. 固定在原点,2. 在每个考察点上,此处 仅表明方向的作用,在曲线坐标系，我们采用第二种做法,定义：切向量,作为该点的局部基，也称自然基,为书写方便，曲线坐标也不带撇,一般： 不是单位矢量，大小和方向随考察点而变,定义：,对于正交曲线坐标系,称为度量张量,例1 求圆柱坐标系的自然基和度量张量。,解：,例2 球坐标系,笛卡儿坐标系中关于张量的定义和张量的运算等，可以推广到曲线坐标系，如：,这时的基矢量 及变换系数 是空间点位置的函数,自然基矢量 量纲为1的单位矢量,对于正交曲线坐标,这样定义的局部标架与笛卡儿直角标架相当，称这种正交单位标架为物理标架，或称物理基。,例1 圆柱坐标系的物理基为,例2 球坐标系的物理基为,3、张量对曲线坐标的导数,(1) 曲线坐标系的Hamilton算子,以标量场 为对象（在曲线坐标中）,类似直角坐标，该表达式具有不变性,另：,称为形式导数,(2) 克里斯多弗（Christoffel）符号,物理基 随位置点而变化,涉及对它的导数,定义：,为 在物理基上的分解系数，称为克里斯多弗符号。,注意到：,涉及,代回后，可得：,若干性质：,*,证明：,共有9个,在正交曲线坐标系中，当时，,*,例1 求圆柱坐标系的,解： 在