一元微积分高难度习题.doc

第一章、极限与连续1 求。 2。求()。3 设，求常数。 4。求已知存在，且，求 5。极限，并记此极限为，求函数的间断点并指出其间断类型。 6。求常数，使在所定义的区间上连续 7。设为常数，求的分段表达式，并确定常数的值，使在上连续8设, (),试证数列极限存在,并求此极限。第二章、导数1设其中在处可导，则（）（A）连续点；（B）第一类间断点；（C）第二类间断点； （D）不能确定。2函数不可导点的个数是（）. (A)3； (B)2； (C)1； (D)0。3其中是有界函数，则在处（）（A）极限不存在；（B）极限存在但不连续；（C）连续但不可导；（D）可导。 4设，则（ ）（A）处处不可导；（B）处处可导；（C）有且仅有一个不可导点；（D）有且仅有两个不可导点。 5设函数可导，当自变量x在处取得增量时，相应的函数增量的线性主部为，则（ ） （A）； （B）； （C）；（D）。6设，则使存在的最高阶导数阶数为（ ）（A）0；（B）1；（C）2；（D）3。 7已知，则 。 8设，则 。 9已知，则。 10.设，则。 11.设函数由方程确定，则 12.设，则 。13.已知函数由方程确定，则 。 14.设，则。 15.已知，且，则 。 16.设有一阶连续导数，求。 17.设曲线在点（1，1）处的切线交x轴于点，求。18.设函数，（1）求的表达式；（2）讨论的连续性和可导性。 19.(1)已知，求；（2）设，求. 20.设函数由参数方程（）所确定，求。 21.设，其中f具有二阶导数，。 22（1）设，求；（2）已知，求。23.已知（k为正常数），讨论为何值时存在二阶导数。24.设函数由方程确定，求的驻点，并判断它是否为极值点。25.设是常数，试讨论方程在开区间内根的个数。并证明你自己的结论。三、中值定理及导数应用1设不恒为常数的函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且有，证明：在内至少存在一点，使得。 2。已知，求常数。 3求函数的极值点和拐点。 4。设在可导，且有，证明：存在，使得。5设在二阶连续可导，证明存在，使得。6 设在上连续，在内可导，且，证明：存在不同的，使得。7。已知在连续，内二阶可导，则存在，使得。 8。求由方程确定的函数在内的极值。9。设在内二阶可导，且，又，证明：在内，。10。设二阶连续可导，且，则有（ ） （A）是的极大值；（B）是的极小值；（C）是曲线的拐点；（D）不是的极值，也不是曲线的拐点。 11。设，比较的大小。12。证明：方程在内有且仅有两个不同的实根。13设函数在上连续，在处可导，且。（1）证明：对于任意给定的，至少存在一点，使得；（2）求。14。设函数在上连续，函数在上满足，又，问在上是否一定恒为常数？15 求，其中为不等于的正数。 16。求。17。求。 18。设，其中，求。19。求使得存在，并求此极限。20设具有二阶导数，在的某去心邻域内，且，求。21。设在处具有二阶导数，且，试求及。22证明：时，。23设方程在内有且只有一个实根，求的取值范围。24设，则有。25设在内存在，且，证明：存在一点，使得。26。求曲线的凹凸区间和拐点。27设是抛物线的弦，且它在这条抛物线过点的法线上，求弦的长度的最小值。28设由方程所确定，求的极值。29设，。（1）证明：数列收敛；（2）求。30宽为6公分的长方形纸片，用其右下角折叠到左边的沿线上的处（见图），问在什么位置时，折痕为最短？第四章、不定积分1（1）证明：奇函数的原函数是偶函数。（2）判断命题“偶函数的原函数是奇函数”是否正确，如不正确，举反例说明。2设是的一个原函数，若当时，有，试求。3已知是函数的一个原函数，求。计算下列不定积分：4。； 5。； 6。7； 8。； 9。； 10。11 ； 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 求不定积分的递推公式. 19. 20. 21. 22. 第五章、定积分及其应用1极限等于（ ）（A）（B）（C）（D）2证明不等式 。 3设函数在上连续,且, 。试证：在内至少存在两个不同的点和，使 .4设 ，下面结论中正确的是（ ） （A）在处不连续；（B）在内连续，在处不可导；（C）在内可导，且满足；(D) 在内可导，但不一定满足。5设函数， （1）当为正整数，且时，证明；（2）求极限。 6求函数的极值7把时的无穷小量排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是（ ）（A） （B） （C） (D) 利用递推公式计算积分 计算反常积分设平面上有正方形及直线，若表示正方形位于直线左下方部分的面积，试求第六章、多元函数微分学 1设函数，则在点处（ ）.（A）连续，偏导数存在；（B）连续，偏导数不存在；（C）不连续，偏导数存在；（D）不连续，偏导数不存在。2设，则（ ）.（A）； （B）； （C）； （D）。3函数的极小值点是（）（A）（0，0）；（B）（2，2）；（C）（0，2）；（D）（2，0）。4.已知函数在点(0,0)的某个邻域内连续, 且, 则（）.(A)点(0,0)不是的极值点； (B)点(0,0)是的极大值点.(C)点(0,0)是的极小值点；(D)根据所给条件无法判断点(0,0)是否为的极值点.5，、具有二阶偏导数，则。6设，其中具有二阶连续偏导数， 则 。7.设,具有二阶连续导数, 则=_.8.设由方程所确定,则曲线在点处的法线方程为_.9设函数由方程确定，其中连续偏导数，则 ， .10设，其中是由方程所确定的隐函数，则。11.设二元函数则12.函数由关系式确定, 其中函数可微, 且, 则=_.13设具有连续的偏导数，且，。令，求，。14.设具有二阶连续偏导数,且,求.15设函数具有连续偏导数，且由方程所确定，求。16设变换，可把方程化简为(其中z有二阶连续偏导数)，求常数。17设函数由方程组确定，其中可微，且，求。18. 设在上有连续的二阶导数，且二元函数 满足 ，求在的最大值。19.过曲线在第一象限部分中哪一点作的切线与原曲线及坐标轴之间所围成的图形面积最小？20某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告，据统计资料，销售收入（万元）与电台广告费及报纸广告费之间有如下经验公式： ，求（1）在广告费用不限的情况下，求最优广告策略；（2）若提供的广告费用为，求相应的最优广告策略。21.求曲面的一张切平面，使其在三个坐标轴上的截距之积为最大。22.求证：时成立不等式 。23.设是由方程确定的函数,求的极值点极值.第七章、二重积分及其应用1计算，其中是由及所围成图形的公共部分。2计算，其中为由所围成的第一象限部分3计算，其中D是由直线，以及曲线 所围成的平面区域4计算，其中：5求：，其中：是以为顶点的三角形区域6求由直线及曲线所围成的平面区域面积 7求锥面被柱面所割下部分的曲面面积 8估计积分