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文档简介
生活的色彩就是学习平面向量与三角形的应用举例一、平面向量与三角形的心1、重心(中线交点)(1)是的重心(2)是的重心(是平面上的点)证明:是的重心,即由此可得。例如:已知向量,满足条件,求证:是正三角形。 分析:对于本题中的条件,容易想到,点是的外心,而另一个条件表明,点是的重心。故本题可描述为,若存在一个点既是三角形的重心也是外心,则该三角形一定是正三角形。又如,若一个三角形的重心与外接圆圆心重合,则此三角形为何种三角形?与本题实质是相同的。 显然,本题中的条件可改为。2、垂心(高线交点)(1)是的垂心由,同理,。故是的垂心。反之亦然。(2)是(非直角三角形)的垂心,则有且。3、外心(边垂直平分线交点,外接圆圆心)(1)是的外心(点到的三个顶点距离相等)(2)是的外心(为三边垂直平分线交点)(3)是的外心,则有且。4、内心(角平分线交点,内切圆圆心)(1)是的内心(2)是的内心(3)引进单位向量,使条件变得更简洁。记,的单位向量为,则是的内心(4)是的内心,则故或(5)是的内心(6)向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)(7)设是所在平面内任意一点,为内心例如:是平面上一定点,是平面上不共线的三个点,动点满足则的轨迹一定通过的( )A、外心 B、内心 C、重心 D、垂心分析:已知等式即,设,显然都是单位向量,以二者为邻边构造平行四边形,则结果为菱形,故为的平分线,选。5、外心与重心:若是的外心,是重心,则6、外心与垂心:若是的外心,是垂心,则7、重心与垂心:若是的重心,是垂心,则8、外心、重心、垂心:若分别是锐角的外心、重心、垂心,则证明:按重心定理:是的重心;按垂心定理:,由此可得:。9、三角形的外心、重心、垂心的位置关系:(1)三角形的外心、重心、垂心三点共线,即欧拉线;(2)三角形的重心在欧拉线上,且为外心、垂心连线的第一个三分点,即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。例如:在中,已知分别是三角形的外心、重心、垂心。求证:三点共线,且。证明:以为原点,所在的直线为轴,建立如上图所示的直角坐标系。设、,分别为的中点,则有:,由题设可设,即,故三点共线,且。二、应用举例1、已知在所在平面内,且,且,则点依次是的( C )A、重心 外心 垂心 B、重心 外心 内心 C、外心 重心 垂心 D、外心 重心 内心2、是所在平面内的一点,满足,则点是的( D )A、三个内角的角平分线的交点B、三条边的垂直平分线的交点C、三条中线的交点D、三条高的交点解:由,得 是的垂心,即三条高的交点。3、在同一个平面上有及一点满足关系式:,则为的( D )A、外心 B、内心 C、重心 D、垂心4、已知,为三角形所在平面上的动点,且满足:,则点为的( D )A、外心 B、内心 C、重心 D、垂心5、已知是所在平面内任意一点,且,则是的( C ) A、外心 B、内心 C、重心 D、垂心解:若是的重心,则有(是的中点),。与重合,即是的重心。6、已知的顶点及平面内一点满足:,则为的( C )A、外心 B、内心 C、重心 D、垂心7、已知是平面上一定点,是平面上不共线的三个点,动点满足:,则的轨迹一定通过的( C )A、外心 B、内心 C、重心 D、垂心8、已知,为三角形所在平面上的一点,且点满足:,则点为的( B )A、外心 B、内心 C、重心 D、垂心9、在中,动点满足:,则点一定通过的( B )A、外心 B、内心 C、重心 D、垂心10、已知是平面内的一个点,是平面上不共线的三点,动点满足,则点的轨迹一定过的( B )A、外心 B、内心 C、重心 D、垂心11、已知是平面上不共线的三点,是的重心,动点满足,则点一定为的( B )A、边中线的中点 B、边中线的三等分点(非重心) C、重心 D、边的中点分析:取边的中点,则,由,得3,即点为三角形中边中线的一个三等分点,且不过重心。12、非零向量与满足且,则为( D )A、三边均不相等的三角形 B、直角三角形 C、等腰非等边三角形 D、等边三角形13、的外接圆的圆心为,两边上的高的交点为,则实数 。解:当为时,不妨设,则是的中点,是直角顶点,。14、若是的外心,是三边中点构成的的外心,且,则 。(其实是的中点,;也可用特例时得)15、在四边形中,=,则四边形的面积是 。解析:由题知四边形是菱形,其边长为,且对角线等于边长的倍,所以,故,。16、如图,已知点是的重心,过作直线与两边分别交于两点,且,求证:。证明:点是的重心,得,有。又三点共线(不在直线上),于是存在,使得,有,得,于是得。17、已知为的外心,求证:。分析:构造坐标系证明。如图,以为坐标原点,在轴的
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